Galitskii-1 (1185111), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Решение. 1) Понятия кгезиглергие и кгагазиерггмичггяеге сссмсялия (КЭС) возникают при рассмотрении квантовой системы, гамильтоннаи которой является периодической (с периодом Т = 2я/и) функцией времени. КЭС определяются как такие состояния системы, зя Нссмсгвя иг егаимоасвствис инглт глиалами систснм. э тс» числе и псасхалм мсилу «аналэми! »'таков простя вид эффективного (оптического) псмипнааа (7), (8] яеляемя спсш>фихад рассматриваемое системы с точечным юаимолелствис». В сбшси сл>чгс таков зффсктиеиые потсипиал хеляегс» нслакальимм оператором. засиоплим ст зисрпгн системы.
где а,„(Е) = ив шрг (8) ша + гйгйг(Е) Таким образом, динамика в одном из каналов исходной двухканальной системы может быть рассмотрена на основе волновой функции талька этого канала'", причем соответствующее уравнение имеет вид стационарного уравнение Шредингера с одноканальным гамильтонианам. Отметим следующие свойства эффективного (оптического) потенциаяа в таком шмильтоннане 1) Он сам зависит ат энергии, так что соответствующий ггамнльтониань не является самосопряженным оператором. 2) Как видно из (7) н (8), прн значениях энергии в рассматриваемом канале, превышающих порог другого канала (т с.
в случае Е > >>с), оптический потенниал приобретает мнимую часть, причем знак мнимой части потенциала — отрицатсльныя. Это соответствует тому, что с точки зрения исходного канала переход системы в другой, открытый канал выст>таст как лсмешгиег, сравнить с 6ЗВ. дуб Глава 6. Изменнице состояния Во Времени волновые функции которых являются решением временнб»о уравнения Шредингера н удо- влепюряют условию б,(»+ т, д) = е с™й,(г, д), (!) при этом е нюыаается квазивнергней (сравнить с понятиями кввзннмпульса н с блоховскими функпиями для частицы в пространственно периодическом потенциале, см. 2.53). Волновую функпии КЭС можно записать в виде дг,(», д) = е дн,(», д), (2) где и,(», д) — уже периодическая функция времени.
Ее разложение в рвд Фурье и,(», д) = ) е Ссь»х, ° (д) (3) йыь = гь-г, Лэйы, в =О, »,2,..., тле еь,„— уровни квазнэнергии, при этом возможны и значения и = Л. Интенсивности же г»ерсхо*лов для различных з зависят от амплитуд квазиэнерштическнх гармонмк в (3). 2) Перейдем к решению задачи. При этом шкпольэуемся описанием электрического псла с помощью векторного потенциала: б(») = -шд, которыЯ в случае ЩВ = 0 являстсв периодмческой функцией временин~.
Гамнльтоннан частицм принимает вид ! ( е чэ П(») = — (р- -Л(»)) . 2»п! с (4) Так как оператор импульса комму»пруст с гамнльтонианом, то обобщенный импульс является интегралом движения. Прн этом его с.ф., сг ехр (»рг/й), яваяется также собствекной функци- ей мгясегнясгс гэмнльтониана, отвечающей с. з. П(»), получающемуся иэ Ы(») заменой а нем оператора р на импульс р Это позволяет сразу записать решение уравнения Шрединшра: й (г,») = — ехр» - »рг-/» П(»') 4»'/! Э, П(») = — ~р — -Л(»)/», (5) с эз! Об изменении калибровки пстснциавсв см. 6.27. определяет кеаэвэяергеннчсскве гармоники усь(д).
Квазиэнергня (как и кваэиимпульс) определена не однозначно, а лишь с точностью до ела»вемопг, кратного Лйм. Пля однозначного определения обычно используется либо условие приведения ее значения к одной зоне, например -йм/2 < г < йы/2, либо условие, требующее, чтобы при зднабатнческом выключении зависящей от времени части шмильи! тонивна квазиэнергия совпадала с соответствующим значением энергии йа стационарного гамильтониана. Понятие КЭС является естественным обобщением понятна стапнонарного состояния, а система шиновых функций КЭС облавает свойствами во многом аналогичными с.ф. стационарного гамильтониана.
Твк, волновые функции КЭС с раэлнчнымн квазиэнергиями ортогональнм, причем в любой момент времени; онм образуют полную систему. Соответственно аналогичное (3»».2) разложение по волновым функциям КЭС с постоянными коэффициентами определяет общее решение временнбго уравнения Шлезингера. Существенное различие межлу КЭС н стационарными состояниями прояввя шея, однако, в вопросах об излучении системы и о резонансном воздействии возмущения на нее.
Если дяя системы со стационарным гамнльтонианом Йс частоты излучаемых фотонов (при спонтанных переходах между стационарными состояниями) и частоты гармонического возмущения, вызывающего резонансные переходы в системе, определяются лишь частотами перехода, йьг», -- и — П,, то вля КЭС ситуация иная. Соатштствуюшне частоты для них определи-»в! »с! ются соотношением 6 6.
КВеэистикионорнме и ярпэиэнерэетичеслие состояния 171 казарес при периодическая зависимости всктарнага пагеипиалв А(Ц от времени описывает ССЭС а каазнзнсргисд (ниже ты апреаелснаостн считаем, что А(С) = 0) г р ро г г с ш В(С) в — С/ Е(С)баю —, рл ш — Аг(С), 'Х / 2п» ' с» л (б) 6.41. Исследовать кваэизнергетичвские состояния (КЗС), возникающие нэ двукратно вырожденного уровня гамильтоннана )та под влиянием периодического возмущения г (С). матричные элементы которого мткду двумя рассматриваемыми состояниями иевоэмущенного гамильтониана равны "» Сг»» — — ггг = О, Р» = (г»» —— (та мпыС, при этом (га — — Иа'.
Выполнить разложение волновых функций КЭС по квазнзнвргетическим гармоникам, см. 6.4О. Наличием других состояний пренебречь, сравнить с двукуровне. еой системой 6.9. Решение. записав в ф системы в виде Ф(с) = ~ /с с "'/ . глс функпни Я»(с) язлявтсл »Сд = М(С)/ амплнтулами»(2)-га стационарных аостояиил исвозмувеинага гамнльтаниана Йв а зиергнсэ сл, находим, что уравнение шрслиишрз сэРФ/дс = (йл + Р)Ф сводится к системе уравнений Сафу ш улвп(ыС)р», Сдр» — улз!и (ыС)р,. Отошла инеем р, пр»=А ехр(жС/(С)), /(С) = — ~тпыт и саатвегствеино С,,ССС»», л» /С'( С м» этл злллчл малслпрулг, нлпрлнлр, ыллинл злсктричсскап» лола а(с) = пг»!лис нв»лршнллую члстлау в»ю»сланшн с внаажллиныил л- и р-тралилми (гл- и 2р-сасгалллл с С, = З, ааь л аваль 4, с алане залазалв) Прн нварлжмшасги пава, ипат испьвса лтаинаа, исккщние пмиоввс Фуивта мала а наибаллл сушссглсилмм лллллтсл лл псалмсшнвлиис влсшнни пален равиад срслнсму значению энергии чагины за период.
В отношении физического смысла р и р,', заметим, чта твк как еА(С) р- — =п»т(С) н А(С) юр, с та р = гпт, т.с. сохраняющийся импульс частицы определяет среднюю скорость частицы. Далее, из приведенных саатновеннд следует -А(С) = т(Э вЂ” т(С)), — А»(С) = »п»(т — т(С))», с' таК Чта Рл/2т ОПРЕДЕЛЯЕТ СРЕДНВВ КнистпЧЕСКУЮ ЭНЕРПСЮ ОСЦНЛЛЯЦИД ЧэетпЦЫ В ЭЛЕКтРИ- чсакаы полл (иа фолс равномерного явплмния сс со аКараетьв р). длялинедна-поляризованной маиахрамзтнчсская вопим имеем сгд» с — — =— (у) 2п» сп кл» (прн Паи:кении частицы в поле цнркуляцнаииап волны в правую чвать следует имети дополнительный множитель 2). Расхадимасть с лри ш О соответствует неограниченному увеличению скорости частицы а постоянном однородном электрическом папе. Зависимость же бс сх!/н' для изменения кзазиэиерпщ под влиянием паха при значениях частагм ы ао носит общий характер и справедлива для частицы, ивхадявсяся в достаточно пронзвалыюм шжснцнапс, сравнить с резулывтам нэ 1.42.
Глава б. Изменение состояния Во Времени Каждое из слагаеммх в жжновой функции (1) описывает независимое КЗС, при этом кваэнэнергии обомх состояний одинакоем и равны се. Разложение (см. [33, с. 987]) (2) бм где .7ь — функция Бесселя, позволяет определить в соответствии с формулой (3) нз 6.40 амплитуды каазиэнерютических гармоник полученных КЗС. Их интенсивности, и уьз(з), осциллнруют по мере увеличения рс.
Отметим в заключение следуюшес обстоятельства Если у гамильтоннаиа Йс имеются н другис уровни с„, то резонансному переходу в иевозмушснной системс с частотой ие ю 1ег гс) се — е при наличии возмушення У будет соответствовать серия резонансных переходов с частотами, равныин ыь = ьчЯЬи, где Ь = О, 1,..., Амллигушс таких перехолов определяются кеазиэнергстическнни гармониками. 6А2. Показать, что рассмотрение квазиэиергетнческих состояний и вычисление спектра квааиэиергни для системы, находящейся а электрическом поле циркулярно поляризованной волны, т.
е. Вс = Вь сов ы1, ~ = аг яп ы(, Вт = 0 может быть сведено к решению стационарного уравнения Шредингера. Решение. Доказательство утверждения зажчи основано на переходе во врашаюшуаюя с угловой скоростью ы систему координат, в которой гамихьтоннан снсюмы Й, уже не зависит ст времени н энергия сохраняется, см. задачу 6.29. При этом станноиарнсе состояние и его энсрпы ао врашаюшейся системе являются КЗС н квазиэнерпюй относительно исходной системы координат, а соотштствуюшне волновые фуиюши связаны соотнои~сннем (1) нз 6.29.
Глава 7 Движение в магнитном поле (т/П.2) (У/1!.4) ! =)ора+)сс, где первое слагаемое связано с орбитальным движением зей е2 1ше = ((туФ )Ф Ф 27Ф) АФ Фг 2из гас а второе — со спиновым магнитным моментом частицы ),„ш — с го! (Ф' з Ф). 3 (т/П.5) (Н1.6) ~1 оператор спинового мы нитною момента И = реа/з. твк что пссаеднсс гдашемое в (тц1 11 имшт вна -Ряс; дпя частипм с з = 1/2 оио равно -мое Я'.
В стоя главе мьг нспояьзус» координатное прсдсгввяспис в шрбдиншровскоа картина двинские и возтоиу опускаем, как обычно, симеон опсратпра иад физическими шдичинвмн, мвисяшнми ншмш сс г; см., однако, 7.15. Обратны такта внимание на нсппчьзоааннс в рсшсиияк задач сясдуюонш обозначения: буквы и— как дая массы, тзк н дяя магнитного «вантового чнсяа, а и — как дш магнитного моненш, так и юш мессы. 21 т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
