Galitskii-1 (1185111), страница 46
Текст из файла (страница 46)
~п Зеистии, чта Ве/В! = -!е/мс)ВА/Ш =- О, де/д! =- О и хавтану луг/Ш = !г/а)(Й, ез ! = О. 'г! Дяя ессспнназаа ««стены з! а«храня«тех арх хенк«пни н е неазназавнам магннтнаи поле. Глава 7. Дбнэсение 6 магнитном поле Это обстоятельство лежит в основе экспериментального мстолв'Зг определения аномальной части магнитном момента ей Рв и СМ - 2тс в случае, котла она яавяется малой велнчиноя, 3) Соображения сб отсутствии связанных состояний при лвижеиии зерюкснной бесспиновой частицы в магнитном поле, высказанные при решении задачи 7.6, непгюредственио перенвкится и иа шмильтониан (1) (в случае р = О).
$2. Изменение состояний во вренени 7.11. Показать, что при движении заряженной частицьс с отличным от нуля спином и спиновым магнитным моментом в однородном переменном во времени магнитном поле йг(8) (и произвольном электрическом) зависимость волновой функции частицы от спиновык и пространственных переменных разделяется. Решение. В условипх рассматриваемой задачи в шмнльтониеие паули (7711.1) первые ява слагаемых не зависят от спина, а послелнее — от пространственных коорлииат.
Поэтому уравнение Ш04аингера имеет частные решения с разделенными переменными вива Ф(г, 8) = Ф(г, 8)Х(8), в которых функции Ф и Х улоалетворяют соответствующим у. Ш. з вй — = — р — -А + ер Ф, гд — = — — Л.'(8) зХ. (П 08 ~т (, с ) ~ ' ГИ Общее же решение уравнения Шрсаингсра описывастсв суперпозицией (2з+ 1) (в соот- ветствии с числом независимых спиновых состояниЯ) таких частных решений. При этом, записав волновую функцию произвольного состояния частицы в момент времени С = 0 в вилс (лля наглядности считаем в = 1/2) 0(,сш0) = (,",,",",) ы Ф,(до) С,').Ф,(до) (',), гле каждое из двух слвтемых прелставшст в ф. с разлелеинымн переменными, в силу линеЯности у. Ш. получаем в произвольный момент времени Ф(г,г) = Ф>(г,г)Х1(8)+о (г,г)Х (С), гле функции Фьз и Хсз уловлетворкют уравнениям (1) и соответствующим начальнмм условиям.
7.12. Найти зависимость от времени спинозой волновой функции и средних значений компонент вектора спина частицы со спином з = 1/2 и магнитным моментом д, находящейся в однородном стационарном магнитном поле (о разделении слиновых и пространственных переменных в эгон случае см. предыдущую задачу). Решение. Направив ось з вдоль магнитного поля, имеем спиновую часть гамильтониана частицы в виде Й = -р Хв 9,. При этом у, Ш.
(вй)дФ(8)/08 = ЙФ(8) лля спинозой в.ф. Ф(8) = (;) С,(с) т /с сводится к уравнениям С> = вшСы Сз = -сшСз, тле и = Ргдг/й. Отсюда с,(с) / С,(8) = е"'С,(0), С,(8) = с-~Сз(0), где посгояннме Сьз(0) определяются начальными условиями, причем лля нормировки волновой функции 1С, 1з + (Сз)з = 1.
'Зг Си, поасгвечши принвчвиив к рвысиию 7.15. 5 2. Изменение состоянийдо бремени Средние значения компонент вектора спина раеньс з(С) = Ф'(С)-Ф(С), з,(С) = з,(0) соз 2нг+ Ут(0) мп 2нг, 2 Ут(с) = зт(о) 2 с — У.(о)ып2нс, У,(с) = з,(о) = зс, т.е. вектор з(С) прецессирует вокруг магнитного поля с угловой скоростью, равной 2н. 7.13. Обобщить результат предыдущей задачи на случай нестационарнаго магнитного поля, направление которого остается неизменным, т.
е. йе(С) = йг(С)пе. Решение. Результат прсдылушей задачи непосредственно обоешвется иа случай магнитного поля Ж(С) = (О, О, М'(С)). Теперь у. Ш. принимает вид СЬСю = -РЖ(С)Си ьйСС = РРР(С)Ст, а его решение С~(С) = е'СГЕС~(0), Ст(С) = е 'ССОСС(0); Г(С) = Р- / РР(С) ОС, й,/ е Средние значения компонент вскюрв спина з(С) описываются формулами (!) преды- дущей задачи с заменой в ник ьц на С(С), твк что вектор у(С) вращается (вооОше говоря, неравномерно) вокруг направления магнитного поля. а 14. Частица со спином з = 1/2 и магнитным моментом р находится в однородном магнитном поле йг (С) вида 'Ц, = йг! сохнет, йгт = йг( мише(, А; = рчш где ягод, ые — постояннью величины. При С = 0 частица находилась в состоянии с з„ы 1/2.
Найти вероятности различных значений з, в момент времени С. Обратить внимание иа резонансный характер зависимости вероятности «переворота» спина от частоты ые в случае (~~/Л(( ~ 1. Решение. Спнцоьтя часть гемильтонизнв частицы имеет вид -® / йтЬ йг; ехр (-знег) ) ~ А( ехр (хне г) — и( /а(С) т При етом у.Ш. дхя спинозой в.ф. Ф(С) = ~ ) сводится к системе уравнений тйа = -РУГсп — РтбехР (-тнег)Ь, СЬЬ = -РУ4 ехр (тнзг)а + ЛМЬ. С помощью полстановок е = схр ( — — ) о, Ь = ехр ( — ~ Ь она приводится к системе дифференциальных уравнений лля функций о(С), Ь(С), уже с постоянными коэффициентами, что позволяет легко найти ее решение (сравнить с 6.9): о(С) = Сс ехр (тнЦ + Ст ехр (-йег), 7~ . и+71 6(С) = — С, ехр (тнг) — — Ст ехр (-Снг); 7т 72 РЯ~ ° РЯ' Г 1 7~ = — + —, тт = — н = )(7~ + 7т.
Л 2' й ! пава 7. Ддихсение б магнитном поле Учитывая, что, согласно начальным условиям, о(0) = 1, Ь(0) = 0 находим окончательный вид нормированной в.ф. Ф(С) =— 1 / ((ы + Г )с '+ (ы — у )с ') е 2ы ~, 2гт,ыпиг ° е "Г! (2) так что вероятность переворота спина, т е, значения проекции з„= -1/2, в момент времени С равна Иг (з,= — —,С/ = ~ — ) нв ьйыдцп ы1, 7! .
! (3) ВеРоятность переворота спина, как н значение параметра д, при выполнении условия,Х! < Гге мала при всех значениях частоты ыв, эа исключением узкой обяасти частот ВбЛИЗИ тОЧКН ЫЕ, , = -2РЛлв/Л И ШИРИНОЙ НаряПКа ЬЬЧ Лу!р/Л. ОтМСЧЕННЫй РЕЭОИВНС- цый характер зависимости вероятности перевороте спина от частоты лежит в основе од!юге иэ экспериментальны» методов оиусдслсиия мап!итиых моментов частиц. 7.$5. Для заряженной частицы со сонном з = 1/2 и спиновым моментом р, на- ходящейся в однородном стационарном магнитном лоле, найти в гейэенберговском представлении операторы радиуса-вектора, скорости, импульса н вектора спина.
Век- торный потенциал выбрать в виден! А = (О, йех, О). Задачу решитьодним из способов, укаэанных в 6.20. Сравнить зависимость ог времени средних значений векторов скорости ч(С) и спина з(С), см. также 7.10. /гешение. Засыча решается аналогично 6.20. Приведем выражения лля гейынбсрговских операторов компонент рааиуса-вектора, импульса и спина частицы: е(с) = Всоэывс+ — з1пьвс+ — "(1 — соьыес), и!же тыв д(С) = у — а жп ггег + — (созе!вг — 1) + —" з!п ь!ег, пь !в Ср, з(С) = з+ —, р,(С) = р, созывг+р„з1пиег — тыейз1пыег, рг(1) = Рт р (С) =р* д (С) = з, созыг+зг звпыг, з„(С) = э! созыг — з,з!выг, э.(С) ы з., ' СЭте классическое выл!жение теперь, в гслыибсэговскоп каргкис движения, эолжио бмть ыиснсио ссотвсмэвжеыкм кыитоэомехвническии мвмибсуюаскии оыпэтевоц А(с) = (О,.лвд(с),0).
вЛ$2р Ле Злесь Е„рч з, — соответствуюшие операторы в шредингеровском представлении. Оператор скорости частицы т = Ог(С)/ЕС находится непосрелствеииыи дифференцированием оператора 7(С). Изменение со временем срелних значений т(1) и э(С) описывает процессию этих векторов с угловыми скоростямн, равными ые и и соответственно, так что в случае ие = ы угол мегкду ними остается неизменным.
Подчеркнем, что этот случая соответствует частице, имсющсд спиновый магнитный момент р, равнмй ро = ей/2тс, сравнить с 7.10. Если же ыз Д и, то угол мсжау векторами т(С) и з(С) в аэимугальной плоскости (перпенликУлЯРной мвгнитиомУ палю) изменнетсЯ совРеменем: сто(с) = (д-2)нес/2, зассьд = 2Р/Ро. б 3.
Магнитное лоле орбитальным тояоб и спинодого магнитного момента 167 Это обстоятельство лежит в основе экспериментального метода определения 'зс у-факмора частицы, когда он мапо отличается ат значения ро = 2, слелуюшего из уравнения Дирвка; экспериментальные данные согласукпся с предсказыввемым квантовой электродинамикой небольшим отличием р-фактора ллв электрона и мюона от значения ро = 2 [29[.
7.16. В условиях задачи 7.12, найти временную слиновую функцию Грина С„д(С, С') частицы (о, )у = 1 и 2 — спиновые переменные). Решеиие. ФУнкпнЯ ГРинв О,г(бс') по опРедслеиию УдовлетвоРЯет по пеРемениым о, С уравнению Шредингера с гамнльтонианом Й = -Рйгй, (асы направлена вдоль магнитного ПОЛЯ) И При С = С' раВНа С,В = б Л. Ес яВНЫй Вид (и м РРГ/Л): 1'ехр (ии(с - С')) О О схр (-Си(с — С )) / 7Л7, То же в условиях задачи 7.13. Омгем. Функпия Грина получается из выразшння предыдущей задачи заменой в нем ш(с -с') ! »а ((с, с') = (Р)Л) )' рг(с) лс.
7.18, Для нейтральной частицы со спинам в = 172 и магнитным моментом и, находящейся в однородном стационарном магнитном поле, найти временную функцию Грина Сиз(г, С; г', С'). Решение. В соответствии с полученным ранее в 7.11 результатом о разделении пространственных и сливовых переменных при движении частицы в одноролном мвпситпом поле, искомая функция Грина является произвелением С г(г,с;У,с') = С(г,с;г',с') С„в(с,с') временнбй функпии Грина своболноя бесспииовой частицы, см (УС.7), и спинозой функпии Грина из 7.16. 7.19. Обобщить результат предыдущей задачи на случай однородного нестационарного магнитного поля, направление которого остается неизменным, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
