Galitskii-1 (1185111), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. РГ(С) = йг"(С)пе. Омгелг. Функция Грина имеет такой же вид, как и в арсаыдушей заавче, но теперь временная спиновав функпия Грина в соотвегствуюшем выражении определяется результатом из 7.17. $3. Магнитное поле орбитальных токов и спннового магнитного момента 7.20. Найти средние значения компонент плотности тока для заряженной бесспиновой частицы, находящейся в однородном магнитном поле в стационарном сосюянии йп см. 7.1б). Решение. Учитывая явный вил в.ф. Е„„, (см.
формулы (4)-(б) из 7П), используемую при этом калибровку векторного потенциала А = [ймг[/2 и выражение (тгс1.5) лля плотности тока заряженноп бесспнновой частицы в мвпопном поле, находим 2Р / 'тт Изменение угле Ьи(С) со временен — ивквпливеюшяася эффект. Поэтоиу зз лсствючво большое ввемя ввижеиня чвстиаы ьи может стать повплкв 1, по позимяег нвпежио опваил~пь (г — 2) в сягчве ивюго зявчеикя этол величины. Глава 7.
Дбижение д могнитном лале заесь нспользощны цилинлрические координаты. Подчеркнем, что !Ф(з лля рассматриваемых состояний зависит только от радиальной переменной р, 7.21. То же, что н в предыдущей задаче, для частицьь со спнном з = 1/2 и магнитным моментом де в стационарном состоянии Ф„мрьн нз 1.9.
Решение. Волновые функции рассматриваемых состояний имеют внл г. ° Ф плиь гпе Մ— спиновые с.ф, оператора з,; см. 7.9, а татке лргдызьущую задачу. При этом реФ'йФ = (0,0,2!ьсзь!Ф„чр,( ). Учитывая, что значение (Ф„, (' зависит только от переменной р, согласно (М 1.6) находим (в цилиндрических координатах) «омпоненты плотности тока, связанного со сливовым магнитным моментом частицы: г уь,г уьь. 0 у».г 2рэеэ !Ф р 1 'др (1) Результирующая плотность тока определяетсв суммой (1) н соответствующих компонент орбитального тока частицы из предыдущей задачи. (2) (4) 'я!Физическая арнчина рьылсма иулм магнитного поли е ь-состояниях связана. конечно, с ми оесгоятсльстаои, что онн язляьнся сфсричсски-скммстричнмии.
7,22. Найти среднее значение магнитного попа йс(0), создаваемого в начале координат заряженной бесспиновой частицей, находящейся в кулоновском поле ядра (7 = -Вез/т в 1з- и 2р-состояниях. Решение. Согласно известной формуле классической электродинамики (27), имеем „, 1 Г()(г),(й-гН„ (1) =л В отсутствии внешнего мапьитного поля плотность тока опрсяеляется вырюкением (УП.5) с А = О. Дяя стационарных з-состояний в.ф. являются вещественными, так чтои! 1 = 0 и А'= О. Волновая функция наиболее общего 2р-состояния частицы имеет вид йт Фм = (32яп ) (ег)е 'г, а = —,, )к(э = 1 яеэр (по поводу угловой зависимости в.ф. см.
342). Согласно (1) и (У31.5), при А = О получаем (заряд час!или обозначен через -е) ьей Г е"'г РР(0) м — — / — [г, е'(ег) — с(с'г)[ ИФ 64яразс,/ (заметим, что при вычислении тока следует действовать оператором т7 лишь иа сомномитсли ег и с'г в в.ф., так ках (гол) = 0; тг(ег) = е). Вводя вектор Ь= (е'е), замечаем, что интеграл в выражении (2) принимает вил —,.'[(Ь)- ") 1 (3) гт )3дя его вычисления рассмотрим сначала интеграл ! — е 'Г'*,*ь ИУ = Сбь. Выполнив звесь свертку по индексам ь н а. получаем 3С = г! -е 'Н ИУ = 4яа . (5) г б 3. Мазнитное иоле орбитальных токоВ и слинобозо москитного момента 1ВВ Из (3)-(5) следует значение ! = -Зяаза/3 м окончательное выражение лля магнитного поля мгв шцю М'(О) = — (с'с!.
тей 24!зсаз (6) Отсюда, используя явный вил векторов е(яз), см. 3.42, находим гд рр(0). =0, рр(0)„... = (0,0,~ — т!. ,). (7) Заметим в заключение, что если атомное ядро обладает магнитным моментом, то шаимогшйствие его с магнитным полем эс'(О) приводит к сверхмаикаму расщеплению атомного уровня, ам. П.2. (2) г'.24. Найман среднее магнитное поле, создаваемое в начале координат частицей со свином з ю !/2 и магнитным моментом Ра, находящейся в стационарном е-состоя- нии в произвольном центральном потенциале. Решение.
Иаксднм из формул (1), (2) прешэлушей заазчи: А(К) = -рь(йтгл/(К)), /(К) = 7/ — П, Г (р(г)(з (1) / (К вЂ” г! гле ф(г) — а.ф. рассматриваемого з-состояния. При этом магнитное поле (Р = лье) лг (К) = гаг А(К) = -Ргз/(Л) + (Рту) чу/(К), 'т! Ею зизчьниь апрслсяяггся Вюульмтан из 4 а, так как мат интмззл описывает вюиа в зффектнеиыа лаченнивл, сшзаинмэ с зхехтраннии «абзахаи .
У.23. Найти среднее магнитное поле, создаваемое в пространстве электроном, находящимся в основном состоянии в кулоновском поле ядра с зарядом Ее. -~гз Решение. Волнамш функция рассматриваемого состояния электрона имсаг вил Ф= (яа') х е 'мх, где х — его спиновзя фуикния, а .= А'/Яе'Р.
плотность така, связанного а орбитальным движением эвектроиа, равна нулю, так что ток определяется талька спиновым магнитным моментом. Согласно (тгП.6), имеем ! м !=К„=-нас!птур); а = Х'оХ р(г) = — е :газ Имея в зилу выражение лля векторного потенииава (27) (1) выполним в нем слслуюшие преобразования: тгр / ( р(г) 1 ) Г р(.) — ВР = 7! ! '7 — — р 17 — 1 ВР = т7л ( — 4!г (К-г! / ( (К-г( (К-'г!) / (К-г( (ЗЛЕ СЬ ИаПОЛЬЗОВаиа таарСМа Оетратраае хан!-Гауаеа И СаатНОШ Синс тггр(К- Г) М -ттар(К- Г)). Вхоляший в (2) интеграл равен 'г! ( )'= — ер = — — ( — + -! е- ' ш /(К).
р(г) ! /1 1т (3) (К-г! К (,К ! Таким образом, получаем А(г) = -!гз(о ту/(г)). Приведем также предельные выражения двя магнитного поля Ил = ю! Аг ВР 3(мг)г - Рг' рг(0) = — „Лт(г) ш з ! !з = рье (иа больших расстояниях это — поле магнитного диполя). Глава 7. Дйихение В мазнитнолг поле так что шы его компонент имеем Вг 2Г;(й) = -иь (бьбк — — ~у(В), В»,В»ь У (2) рассмотрим таперь вырыксннс Вг У(Л)~ = С бгм (3) Выполнив в нем свертку по ннлсксам г и ь.
получаем Зс = ьг(бг)1я е, а учтя явное еырыкеине (!) лля у(Я) и соотношение Ь/й — г( ' = -аеб(н — г), ивхолим ЗС = -ае!р(0)~з. С учетом этого значения. нэ формул (2) н (3) сяелуст Рзг(0) = — )гз(0)! М, 3 (4) сравнить с прпаьшушсй зааачеа, а тасис с результатом 7.22. Гл(»Ва 8 Теория возмущений. Вариационный метод. Внезапные и адиабатические воздействия где Е„, Ф, — спектр и с.ф. невозмущенного гаиильтониана. При этом, если <е) (о> (о> не возмущенный уровень Е не вырожлен, то ,,г (3) <Ф(в)!Р!Ф<о)> — ( (Р! > Е(г) Е ((тп! (и>< ( Л) (в сумме отсутствует слагаемое с тп = и), а лля с. ф. (о> р> П) (й((»!'з> с „ = 6»е, сяи = О, с„а - -> < , (с ~ и.
Ев Ев)' » (УП(.2) условие применимости приведенных результатов (и уа д): ((д(Р(п>! < (Е»йт — Еа>!. (ЧШ.З) Если невозмущенный уровень Е„является з-кратно вырохщенным и ему (а> отвечают взаимно ортогональные с. ф. Ф,,„, где а = 1, 2,..., и, то лравнлелые с. ф. (в> нулевого приближения Ф„= 2 с Ф»,» и соответствующие сдвиги уровней Е„ (о> <о) (<> е '>0 форне звиисн разложения ио сосствсннмм функниян см. иримечвние на с.
)О. Полчсркнен, что ниже матричные вленентм (Л<р(п) вмчислямтся с собственники функциями нее»вини»ни»то гвмилатонианв. Методы теории возмущений основаны на возможности представления гамильтона системы в виде Й = Йв+ Р, где есзмуи(еяне Р валяется малой поправкой, а решение уравнения Шредингера с невозмущенным гамильтонианом Йо при этом предполагается известным. Эти методы позволяют последовательными итерациями рассмотреть эффекты, связанные с действием возмущения.
1) В стационарном случае, когда Йо и Р, как н гамильтониан Й в целом, от времени не зависят, собственные значения последнего в дискретном спектре и соответствующие собственнь<е функции '> записываются в виде рядов по степеням кратности возмущения: 192 Глава 8. Теория Возмущений. Ворионионншй метод (ЧИ!.6) а(>)(1) = -- ( Уа„(1)ез""" 81. (ЧИ! 8) -ьь Если при 1 - +оо возмущение Р(1) исчезает, то а„„(1 = +сю) определяет, в первом О) порядке теории возмущений, вероятность перехода системы из начального и-го в конечное й-е (й ~ и) состояние за все время его действмя: г ( )кс — ~ „()Е" ). (ЧИ!.9) йг 3) Напомним формулу для вероятности перехода (в единицу времени) из начального 1-го состояния" в близкие конечные /-состояния непрермвного спектра >Если все корни В, различные, зо вырожаенис снимаешя полностью (при наличии кратиык н> корней происжжит лишь частичное снятме вырожмния уронил; лля твкиа подуровней соответствующие собственные Функиии нулево>о приближения по.прежнему определены мспанозначно).
> Подчеркнем, что временны зввисииосзь матричны» элементов ра„(З) опрозышскя волька опера. трои Р(з) (мномнтслн екр (-ТБ ца) выдслснм Отдельно). . (е> Оно нсжет Опюснтзси зшк к днскризнОму твк н к непрсрменому вытру. определяются решением системы уравнений ((па(Р)а)3) - Е(пб Л) сд = О. (ЧИ!.4) л Условие совместности ее приводит к секулярному уравнению: ((во!(г(п)у) — Еяббол( = О. (Ч) И.5) Корни его Ел (их число равно е) определяют расщепление уровня невозмушенного (О гамильтониана'>, а их последовательная подстановка в (ЧИ!.4) позволяет найти волновме функции соответствующих подуровней (в нулевом приблшкении).
2) При зависящем от времени возмущении У(1) дпя в. ф. Е(о)1 Ъ Ф(1) = ~ аа(1) ехр — — ~Ф„Ф(д) й из уравнения Шредингера (йдФ/д( = (Йо+ Р(1)) Ф следует' > зй — = ~ Ума(1) ехр (зы, «1) а», бам (Ч(И.7) где Уша(1) = ( Фмфн(у) У(1)Феф(у) бт„шша ш (Емф - Еа"') /й. Решение уравнения (Ч(И.7) последовательными итерациями аа(1) = а„(1) + (о> а„(1) + ... пРежле всего дает а(а>(1) = сопи. Далее, считаЯ, что Р(1) - О при 1 -ь -оо и что прн этом (т.
е, до включения возмущения) система находилась в и-м состоянми дискретного спектра Ф„(д) и поэтому аз(1 -со) бш (о) выбираем аа ш аа„= б„а (вместо аа(1) теперь пишем аа„(1) в соответствии с рас(о) (о) сыатри паемой постановкой задачи). Для поправки первого приближен ия из (Ч! И. 7) (О с учетом условия а(„)(1 = -со) = О имеем 9 1. Стационарная теория Возмущений (дискретный спектр) 193 Р(1) = Ре '+ Р" еы', (ЧШ.12) где Р— уже пе зависящий от времени оператор, дается формулой 27Г 2 >Ы(! /) = — !РГ,! б(Я вЂ” Е/ — Лы) >!ит.
Л (Ч!П.13) 9 т. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр) 8.1. Показать, что поправка первого порядка Д~ к энергетическим уровням частицы !>) е бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме для достаточно произвольного возмущения У(я) прн больших значениях и не зависит от и, Решение.
Собственные функции нсвозмушенного гамильтоннана инсют вил Е! > = /2/а х !о> ни (я(п + 1 )е/а) (цри О щ * б а). Заменяя в матричном элементе (г> ! У(с) !и) быстро осциллируюшнй при п лх ! квадрат синуса его средним значением, рьвным 1/2, получаем'> Е„П = (н ! У(я) ! н) ы — 1'(в) Лх. ау о 8.2. Для заряженного линейного осциллятора найти сдвиги энергетических уровней в однородном электрическом поле (направленном вдоль оси колебаний) в первых двух порядках теории возмущений, а также попяризуемости состояний. Сравнить с точным результатом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
