Galitskii-1 (1185111), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Для основного состояния частицы в одномерной б-яме, Ц>(х) = -а 6(х), найти варнационным методом сдвиг уровня под действием слабого однородного поля, т.е. за счет возмущению (г = -Еех, воспользовавшись пробной функцией Ф(х) = СФе (х)(1+ сЕехе " !) Ф,«(х) = ~~е ~! где Фа (х) — волновая функция иевозмущенного состояния, см. 2.7, а с н у— <е! варнационные параметры. Сравнить с точным результатом из 8.!2. (Данная задача иллюстрирует возможность вычисления членов ряда теории возмущений длл гамнльтоннана Я = Уе + (У вариационным способом. В связи с этим отметим, что использование в качестве пробной функции неаозмущенной собственной функции воспроизводит поправку первого порядка для сдвига уровня.) О 2.
Еарипцилллый метод и воспольтошвшнсь (1), получаем (ограничиваясь членами не вмше второго порялка по Р) ! 8сР (1+(1+7) )с Р Ь(с, у) = — - — — + 2 (2 + 7)э 4(1 + 7)э (3) Минимизация этого вмражсния ло параметру с дает 1 1 !28(1+7)~ Е(сэ 7) = -- — — дз(7)Р', дз(7) = 2 2 ' (2+7)с[1+(!+7)']' Наконец, минимиэапия по параметру 7 позволяет найти сдвиг уровня. Минимум реализуется при значении 7 = !э ю 0,34, лри этом получаем Д,„з = 1,225, в то время кзк точное значение /3з = 5/4 = 1,250. йзкз 2'=— 2т У =4х / г~Щг)е ~йг, В(н) =Т+У.
6 Так как Вэ < Е(к) (Еэ — основной уровень частицы), то сели при каком-либо значении параметра к ) 0 бувст й(к) < О, то в раасматриваемом потенциале заведомо имеется хотя бы одно состояние д.с. (пагснпнал сашнелем чаатицу). Поэтому искомое условие принимаю вид йт шак)к / )Г/(г)»г~с ~ йг~ Е— (1) 8т з (испольмшанис здесь максимального значенна соответствует оптимальному выбору параме- тра и.) Для потенциала !/ = -об(г — а) условие (1) принимает внд з -ы 2 тоа е шак)ока е ) ) —, или б = — > — ю 0,88, 8т' Дз 4 в то время кзк точное н совпапвюшес с ннм неабхадимае условие С ) 1/2. )(ля потенциала яз 4.8 б) согласно (1) получаем та!Уз 27 ( = — > — ш 0,84, йт 32 точное условие б > 0,72 а необходимое ( > 1/2.
Отметим, что доволыю существенное отличие результатов вариационного расчета б ат точных значениЯ связано с крайне простым выбором пробной волновой функции. (э.2(з. Пусть Фа с а = О, 1,...,// — ! представляет собой некоторую систему из тхГ взаимно ортогональных, нормированных на единицу волновык функций, а Ż— средние значения гамильтониана Й в таких состояниях.
Показать, что н-~ и-! Е,)~ Е!з1, (1) е з ь=э 'э! тэк как лэя всшеннл ээдачн важен лишь знак е(х), то нормировать пробную функцию необязательна. 6.27. Исходя из вариационного принципа и используя пробную функцию вида Ф(г) = Сс "', где и > 0 — вариационнын параметр, получить достаточное условие существования в центральном потенциале (/(т) (причем (/(г) - 0 при г оо) связанного состояния частицы. Применить полученное условие к потенциалам, рассмотренным в 4.0, н сравнить с точными результатами и с необходимым условием существования связанного состояния из 4.21. Решение.
Найдем среднее значение энергии частицы'" (Са = кз/я из условия нормировки пробной функции»: В(ф Глава 8. Теорил Возмущений. Еариоционныйметод где Е, — точные энергетические уровни для укаэанного гамильгониаиа, и сумми<о! рованне по ним (в порядке увеличения энергии) проводится с учетом кратности их вырождения. Решение. Рассмотрим следуюшую сумму: м-1 м-1 — ~ (Ф,(й(Ф.) = — ~;Й.. (3) .-е =е Выполнил здесь разложение волновых функций Ф, м 7; С„Ф, по с.ф. шмияьтониана Й, !ь) приходим к соотношению м-~ и м-~ — ~,~,(С„(тЕ!1= — ) Й,. (3) Важным свойепюм коэффициентов разкожсния Сгм кроме очевидного Я )С,„(з = 1, являстс» то, что лля ннх л-~ Е (С,!' б 1. (4) —.с Это свойство коэффициентов С явласшя следствием взаимной ортогонааьности юшковых функций Ф,.
Лействительно, из условия (Фг(Ф,) = б„имеем )~С Сь =бь. Умножив это соотношение на С' Сы н выполнив суммирование ло а и Ь, накодим (С„(з=) ф С„С;„.( = ~~ (С,н(~) +) ~) С„С;„~, (5) где штрих у суммы означает отсутствие в ней слагаемого с и = п'. Отсюда, очевидно, и слелует обсуждаемое неравенство. Теперь заметим, что левая часть в (3) может быть записана в внле м-1 Й> — ) Еп1, Рг (7) где Е, с и = 0,1,...,йг — ! являются значениями энергии нижних ДГ состояний, кэк !с! и в правой части соотноа|ения (1); нз (3) и (7) следует рассматриваемое иеравенстао"! (1).
В заключение отметим, что рсзуя ьтат эаяачи является обобщением соотношения Й > Ес, лежащего в основе озриационного метода расчета энергии основного состоянмя, иа случай возбужденных состояний. Существенно, что в нем фигурируют пробные функции, облэлаюшие лишь взаимной оргогональиосъю (при этом не требуется их оргогонакьность точным собственным функциям шмильтониана, отвечаюшим более низким уровням энергии). "! Раэснстао а (!) всалкзтсгса только в зом случае, если фуикцкк Ф, соалаааютс точнын» аолновмнн фуккцханн Ф„ .
!ег м-1 еж ч! ы,е!а1, гке м = — ) (с, (, причем м, яш1яется не которым нормированным на 1 распределением вероятностей, д, м„= 1, для которого согласно (4) и„< 1/дг. В этом случае, очевидно, 5 3. Стационарная теория Возмущений (иепрерыбиьгй спектр) 21! $3. Стационарная теория возыущеиий (иеярерывиый спектр) и сравнить с точными решеииами. Решение.
Иэ уравнения Шрбдингера, записанного в интегральной форме слезует выражение дяя амплитуды отрхкеиной волны А(р) = — — еоа У(я)Е+(я) Вя, (2) определяющей коэффициент отражения частиц Л = (А(г, см. 2.42. Решение уравнения (!) в виве ряда по сгспснян потенциаэа (кратности вэанмоаействиа) е,' = ерг+ ещ+ .. дает, очевидно, ФШ = е'мг г Фш = — — г схр г -((р)(я — я')+ря') ~ Щя') Вя'. соответственно имеем аналогичное раэхожснис и для амплитуды А(р) = Ао> + Ааг +...
где е А'О=- — ' (ск"ДУ2(я)бя, л(р) У шг А~ ~ = — — О схр — (ря +ря+(р((я — я () ~ У(е')0(я)ахах'. (4) Вводя фурье-компоненту пшсициада М й(р) = ~ е™~ (*) Вя 8.29. Основываясь на результате задачи 2.42, получить выражение для амплитуды отРагкениоу Волны в короткодействующем потенциале У(х) (У(х) -г 0 при х - хсо) в первых двух порпдках теории возмущений. Обсудить условия применимости теории возмущений для вычисление коэффициента отражения частицы.
Рассмотреть приложения полученных результатов к конкретным потенциалам: а) У = об(х); ) Усе И' при х) О, )О при х<0; В) У = Усе)т 'х/а; г) у =уев ™ Глава В. Теории Возмущении. Вориоционний метод 212 и используя соотношение (3(1.3), формулы (4) удобно записать в внле АО> = — — йРР), Лр( Вв> ввп' / У(р — 4)У(р+ 9) АО яйв(р( / Ов — рв — вс (5) Аг > = — —, Л'р'* выражения для амплитуды, см. 2.3Ф А >=-— вива Л(р! что полезно сравнить с разложением точново вта 1ща тва А=- — — — — + Л(р! + вова Л(р! Л'р' (с > Π— бесконечно ммвая величина).
На основе этих выражений, отрюкаюших структуру ряде теории возмущений дяя А(р), можно сделать саещлощие заключения относительно сс приненимосги. 1) всория возмущений ювсломо неприменима при р О, т.е. для мсдпсннмх частиц. Это неудивительно: согласно 2.39, имеем И 1 при р О, а применимость теории возмущений предполагает В ч, 1. 2) Обозначив через Ув и с характериыс величину и рапнус потенциала, замечаем, что в случае рс/Л < 1 (т.с. дяя не слишком быстрых частиц, при этом У(р) Уес) применимость теории возмущений предполагает вмполнение условия У.« —, ~ — ~1), Л)р( /(р(п (6) 'в, Л при котором как (Фгр ) « (фг >(, так н (Агв>( вь (Ав'>(.
3) В случае бмстрых частиц, р со, кота искажение волновой функции Фгв по сравне- нию с в. ф. Фв" всегва мало. вопрос о применимости теории жюмущеннй (и о сходимосгн ряда дяя А(р) вообще) существенно связан с характером убывания У(р) при р со. Как видно из (5), прн законе убывания У(р), удоюмтворяющем условию (У(р)! > Се р(-а(р("), Вв( оо с и <! (т.е. Лопес медленном, чсмэкспоненцнапьное св е "Ш) интеграл в (5) убываетбыстрес, чем У(2р) и аютветствеино )Агв>)/(Ав'>( О при р вю (аналогичное условие имеет место и двя членов Аае белес высоких порядков).
Это означает, что при р со теория жюмушений применима и ряд для А(р) сходится при любом значении Уе. В случае закона убывания (У(р)( < В ехр (-а(р("), и > 1, р оо, т.е. более быстрою, чем экспоненциальное с '"", наоборот, интеграл в (5) убывает белее медленно, чем У(2р) (см. нюке случай г)), так что (А>в>(/(А>'>( оо и ряд теории возмущений расходится. Отметим, что переходным между рассмотренными случзямн яюшется режим убывания У(р) а (р(вс""и> с т = 1 при у >! теория возмущений применима, а прн у < 1, наоборот, уже неприменима. В случае же у = ! интеграл в (5) убывает так жс, как и У(2р). При этом вопрос о применимости теории возмущениЯ н сходимости ряда дяя А(р) зависит от числового значения параметра тя'Ус/Л'. Рассмотрим прилщкения теории возмущений к конкретным потенциалам, указанным в условии эааачи.
с) Для б-потснцнаяа, согласно (4), находим О 3. Стационарная теория Возмущений /непрермВный спектр) 213 В согласив с (б) тсорня возмушсннй црвмсннма прн та «йр (лля б-потснцнала а = О, а (Гса а); ряд теории возмушсний лля А(р) является сходящимся прн выполнсннн условии та/йр < 1. Для расчста амплитуды А(р) в остальных случаях будем счнтать р > О н, учнтываа снммстрнчность лолмнтсгральной функцни в формуле (4), псрспншсч сс в видо 3 А! 1=- — / с'г'Г Щх)/ Щх)йх Ах. ь л йтрэ / (8) б) Для укаинного в условнн потснцнааа засмснтарнос ннтщрнрованнс в выражениях (4) н (8) даст »О) Иитсграл вычисляется с помощью вмчстов юмыканнсм контура ннтсгрировання в верхнюю полуплоскость комплексной псрсмснной х. Особммн точкзмн полынтсгральной функцнн— полюсамн второго порядка — являются х„= га (з н+ к/2), гдс и = О, 1,..., а > О.
Так как прн х х„нмссм сй Н=-, +О»х- „)) э * (х х) 4 т,а/ оэ н соотвстствснно прн этоы с'"*д ( а' 2!раз сйз (х/а) !1(х — х„)г й (х — х„)] ' то суммарный вклзл всех полюсов окаэывастся равным 1,! !тгус, т~ / 2зраэ э, 'т 2ттазт/з йр 2 (, й ! йзэй( р/й) (члсны рщм прсдстазляюг геометрическую прогрсссию), Далее, интщрал в выражснни лля А!э!, согласно (8) прннимаст вид 2тат/с Г (2эрх х! А!з! =— / схр! — + — )Ах (13) йэрз / сиз(х/а) ( Ь а) м и в результата простых прсобразований может быть выражен чсрсз ннтсграл (11), что поэволяст пОлучить (12) гра Х тзаз(Г» А! ! = -4гг (! + — ) (14) й,/ йэрзй (т! /8) Сравнсннс (!2) н (14) показывает, что при ра/Л 1 прнмсннмостьтсорни возмушсннй, как н следует, предполагает выполнсннс условия (б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
