Galitskii-1 (1185111), страница 58
Текст из файла (страница 58)
2 7 (здесь соотношение между в. ф. атражаст тат факт, что ареобразоеанне в.ф. состоят просто в замене импульса р на р' = р — шУ, сравннть с 6.26). Так как в. ф. связанного састояннл частицы в снстеме К получается нз Фо(я) с помощью замены и не л', то искомая вероятность, согяасно формуле (2) нз 8.47, оказывается равной гг во = ~ /г фо(л)Фо(а') цл'~ = г (1+ Уг/4иог) гле ео = а /П (заметны, пп ио совпаавст с е — средним значением кваарата скорости г г г г г в основном састолннн частнцы о б-Яме).
В схгтчас У < гч имеем во ш 1- Уг/2ео м !в частице с подавляющей вероятностью увлекается ямал. В обратном прелельном случае У Ъ ио, 4 наоборот, во м (2оо/У) < 1, твк чта частица с пшмвляюшей вероятностью покидает яму. 8.52. На заряженный осцнллятор, находящийся в основном состоянии.
внезапно накладывается однородное электрическое поле, направленное вдоль оси колебаннй. Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора после включения поля. Сравнить с результатом задачи 6.25. Региеиие. Искомые вероятности в(О и) = )(и, /)О, 1))г, см. Оюрмулу (2) нз 8 47. Наиболее пРосто матричный элемент можно вычнслнть, воспользовавшись формалнзмом оператарое рожлення н уничтожения а+, а, сравмнть с 6.25. Для невозмушенмога асцялляторв а, = (20) 'гг (Ая + гл 'р), где л = г/~; прн этом ега основное состояние определяется соотнашеннем а,)0,!) = О.
Наложеннс электрического поля эквивалентно смсшенню точки равновесия асцнллятара на расстаянне ло = езт/пзбг, так что теперь ат —— а, — Л(2бг) '1'ло, а конечныс (лрн ! > О, после наложения поля) стационарные состояния апрсделюатся соотношениями )и,/) = ~(а))"(О,/), аг)0 /) = О. Коэффнцненты а раэлолсеннн )О, г) = 2: с„)п, /) былн вычислены а 6.25. Воспользовавшись нх значениями, нахолнм искомые вероятности переходов г 1 го -ог в(О и)=)*) = — о "е о а=-— /7Д (как видно, зависимость вероятнастев аг номера и кеантовага состояния асцнллятара опн- сываисл распределенном Пуассона).
Глава 6. Теория бозмушеяий. Вориационный метод 6.53. у линейного осциллятора, находащегося е основном состоянии, в момент времени т = 0 сточка подвеса» приходит в движение с постоянной скоростью У Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора при г > О, Рщсение Поступим, как и в прсаыаушей залаче. Персию в движущуюся со скоростью У систему соответствует изменению импульса частицы на -шУ, так что теперь сг —— а,— зтУ/з/тЛ и распределение щроятностея определяется формулой (1) предыдущей юаачи. в которой следует полозкнть (а( = шУ/з/БЛ.
$6. Адиабатическое приближение о/ Адиаботическое приблизсение Е нестоционарных задачах 8.54. Гамильтоииан Й(р,д, Л(()) некоторой системы явно зависит от времени. Для каждого момента времени ( предполагаются известными спектр собственных значений Ес(ЛЯ) с мгновенного» (т.е. в данный момент времени) гамильтониана, являккцийся дискретным, н полная система соответствующик ортонормированных собственник функций Ф„(д, Л(()). Записать волновое уравнение для системы в представлении, базисом которого является система функций Ф„(д, Л(()). Показать, что при аднабатическом изменении гамильтониана (в пределе Л вЂ” ~ О) распределение по квантовым состояниям системы не зависит от времени.
Каков классический аналог этого результата? Решение. Запишем волновую функцию системы в виде разложенияш Ф(д г) = ) с (г)Ф„(д,г)схр(-- / е„(г')й/~, й / е лри этом й(о, д, л(т))Ф„(д, лд)) = е„(л(г))Ф„(д, л(г)), (2) а коэффициенты С„(Г) являются в.ф. в требуемом прсдстаааснии. Подставив (1) в у, Ш., умножив обе части этою уравнения на Фз(т) слева и проинтегрировав по координатам д с использованием ортогонааьности в.ф.
Ф„(д, Г), находим Сз(г) = — л с (г) скР— / (ез — е„) йг') / Фзфа йд. (й / с Это и есть искомое уравиеннсмз. Оно удобно лля исследования систем, гамильтониан которых медленно изменяется со временем. Действительно, так юк Ф = ЛВФ./ВЛ, то (Фз(Ф„) сс Л С! и в нулевом прнблихгении правую часть в (3) можно положить ржной нулю и получить"' С„(г) и Сгн = сопи, (4) ззз Для краткости записи иижс ииюси Ф (д с) витого Ф (д л(г)). причем зависимссть от казрдинат д часто ис ущзмааси.
зьГ ею, ссгссгасина, иомио записать в виве уравнения Шрслиимра, зйсз = 2: нз' с, и Й Сы Прн этом оператор (патриса) Й" яваястся зрмитовми и описывает ммиаьюниан сисмны в энсрмтичсском врелставлсиии иными ною щмюгьюиивна (оюмко сыть сю с похолим и ючюыои нанон, авилу ывисимости от арсисин ссотвсютвтющсго унитарною лрсгмразоеаиия, ыраисс не очсвиаиа, сравнить с азэ). зп уточнение условий принсиинссти этою результата расснттмио в сасауююсй заавчс Глава 6. Теория Возмущений. Еориоционнмй метод н, интегрируя прн зааанпом начальном условии, получасы СП>(1) = /' — ', ( — ',) схр(1/'ыы(1«)41"~,и. (3) Оцанка ог«по порядку эслнчннм нмсст внд «$> (вй П>( )д< ыь ~ )Е« — Е,( Справа стоит отношсннс мзмснсння гамняьтоннана за время порядка боровского псрнщш ы,„' к разности энергий соответствующих уровней, п нмснно мшккть этого отношения характсрн- зуст снтуацню, когда измснсннс имнльтоннанв можно счятать мсллсннмм (ш>вабашвчсскнч).
подчеркнем, что саян лрн измснснни Й(1) со врсмснсм возникает сблнжсннс уровнсй, так что Е,(Т) ш Е„(1'), то эднабвтичность нарушается, н нмснно в этн моменты врсмснн псрсходы в системс между и- и Л-состояниями пронсходвт нвнболсс ннтснснвно. 2) Для осциллятора в элсктричсском палс, -г Й = — + — — сд(1)я, 2ег 2 с.
ф, н с, з. чгнощнного имнльтонианв прнвсдсны в 2.2. Прн этом ВЙ/В1 = — сэ>е, в матричный элемент (дй/дг) для значсннй Л Р О отличен от нуля лишь прн Л = ! н равен -сай/«Г2, где я = «/й/(пял). По формулс (3) получасы (положено <с - --со) Ю <> Т ВВ , Сш (1 = Е о) = - — / —.ш Дг. /уд / В< (4) Соответственно всроятность единственного разрешенного в первом порялкс аанвбатнчсской теории возмущений парохода осцвиятора иг(о !) = (СД' = —,) / д(1) 'дг~ (5) (злясь, в прсцлоложснин, что электрическое поле выключается прн 1 -«+со, лрн подицновкс (4) выполняло н«псгрнроэаннс по частям).
Этат результат по форме совпадает с полу!энным рвнсс а 8.33 в рамках обычной нсстапнонарной творил зозмущсннйн> н мало отлнчаегся от точного, сн. 6.25 прн зр < !. Значснпя асроатностсй псрсхода длл указаннык в условна зависимостей 8(1) совпадают с приведенными а 3.33. Решеное. Рсшсння уравнсння Шрсдннгера в «нулсвом«прнбянжсннн ациабатнчсской творим возмушсннй прн псрноднчсской завнснмосгн гамнльтоннвна от врсмснн (см. прсшаущую и> Причаноа совл«являя рсэультвга апвабатич«ского црибаижснкя (условяя примслимссги кстсрогог г Ъ н ', «аз/дна« щ !) с разультатом тссрнн возмувмниа (условие прпнсннчсстл: «ад щ дн) являсшя сл«цяфичсскос лсаствис олпсроляого аовя ла осцаллятор, свшмшмся факгичсскн лншь к«данту точю« пслвсса, прк катаром натричпыс эл«нснтм возы>ашная отлнчям от нуля ляшь шш л«р«жжсэ к«аду ссссаялнв урознямн ссцшситора.
н>См 640 8.$6. Исследовать кваэиэнергетнчсскнс состояниям> в адиабатнчсском приближении. Энергцтнческий спектр мгновенного гамнльтониана считать дискретным н нввырожденным. Глава 6. Теория Возмущений Варианианный метод Времсннзя зависимость четной составляющей в.ф. существенно зависит от характера сближения ям, но если он носит зднабатичсскнй характер, то частица будет асташться в основном, связанном состоянии. Так как лля начав ьною состояния вероятность нахожвсння частицы в четном состоянии равна 1/2, то вероятность частице остаться свяшнной прн мсллснном сближении ям также равна 1/2, что н было указано в начале решения.
Усвоено применимости полученного рсзультшз: )Й) С а/Л. Фактически это условие колино выполняться лишь, когда ямы сближаются иа рассюянис порядка разисра области локализации частицы в основном состоянии лля б-патснциала, т. с. при 8 ж Л'/ша. На больших расстояниях такого жестком ограничения на скораать сближения яи уже нег, так кзк в этом случзс частица, яокэлизаэанная вблизи одной из ям, наличия лругой уже не «чувствует», а при движсинн ямы с произвольной (ио постоянной) скоростью в соатвстствни с принципом относительности никаких переходов нс происходит (фактически нв расстояниях Б З Л'/ша требуется яншь, чтобы нс было слишком большим ускорение Х). б) Адиабатичесхае приблизгсение В стационарных задач«ха 8.ай.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
