Galitskii-1 (1185111), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(999. т. ю7. с. !742; яФ. (99В. т.б!. с.еа!. е! ппячерккем, чтп тпвкепяе с в (7) епрелеляемя прежнем ееееппшеппем ((х.7). Звметпм твкже, етп «ввтпввппе пп Лап«вру, т.е. ест«веке (6), яяя пеппяпятсрв и чветякм в купе«песком пишпппеяе прквеппт к тсчпсму эпертетячеекему спектру. — = -8(и), 9(и) = т/2яяи" С' ! я 2р сче С 2 ' Г(и)' (8) сравнить с (1Х.4а ) и (!Х.46), Как видно, значение квазиклассической фазы -я/4 не изменнласть в отличие от соотношения между коэффициентами С и С'.
Заметим, что Б(1/2) = т/2/с = 0,8578, ((!) = т/2яяе ' = 0,9221, а с ростом х функция 8(х) выходит на единицу; 8(х) т 1 — !/!2х при х — со, так что при !» ! соотношения (8) персхолят в условия сшивания Крамерса (1Х.4). Установленная модификация условий сшивания отражается на значениях радиальной волновой функции в подбарьерноя области малых рассгоянийе!. Проиллюстрирусм сс роль на примере вычисления осимлтотиесского коэффициента в пупс с,! лля сферического осциллятора (7(г) = ыггг/2 (напомннм, что А = тн = 1).
Этот коэффициент (часто встречаемый в прило:кениях) определяет иовсление нормированной волновой функции связанного состояния частицы, ) Х~ 2(г)т(г = 1, на малых е Расстояниях (Гбозиклассическое лриблилгение 26! (Б) (ь) г«9,! (9) "ь((9) (12) характеризующие точность соответствующего приближения. (и Ч(9) 1,1642 0,9986 1, 1655 0,9997 1, 1658 1 1,! 620 0,9967 1,! 469 0,9838 Ч Ч 1,0531 0,9969 1,0555 0,9992 1,0563 ! 1,0293 1,0493 0,9744 0,9934 н) Ч(9) 1,0325 0,9988 1,0337 1 ),0251 0,9917 1,0295 0,9959 (,0039 0,971! Ч Ч(9) 1,0!53 ! 0,9826 1,0045 0,9678 0,9895 1,0095 0,9943 (,0133 0,9981 Как видно, устанояленная в (7), (8) модификация условий сшивания не только обеспечивает асимптотическую точность квазиклассического приближения для вычисления г ! при и« - со, но дает также вполне удовлетворительные результаты и дхя состояний с небольшими значениями радиального квантового и„в том числе и дхя основного состояния.
Зги свойства сохраняются и в случае другкх глааких потенциалов. Сшибоние при сгущении уродней, Е„-+ -0 Рассмотрим случай степенных потенциалов притяжения У(г) = -рг«с -2 < а < 0 (при а = -! — кулоновский потенциал), в которых имеется бесконечное число уровней, сгущающихся к точке Е = -О. Теперь в уравнении (3) в окрестности левой точки поворота можно пренебречь слагаемым с энергией Е = лт/2, что позволяет получить точное (не квазиклассическое) решение и с его помощью сшить квазиклассические асимптотики.
Зто приводит к прежним выражениям (7), в которых теперь С' 1 2!+1 — = -б(р) р =— С 2 ' 2+а (13) Проиллюстрируем их роль на примере вычисления асимптотического коэффициента в нуле в случае кулоновского потенциала (лля которого )! = 2(+ 1). Согласно (1Ч.З) точное значение 2!. т Г! Е! 4.1)93 Ч! (21+ 1)!и'+з ( и,! (14) а квазиклассические выражения лля них (сравнить с (!!)) м! «(» ) ! м! 2(ю тяп(+т (и и)( -«)Н (15) в которых гч, получены с помощью условий сшивания Крамерса. В приведенной (ю ниже таблице проведено сравнение значений этих коэффициентов. В ней для ряда состояний представлены значения отношений 2$2 Глава В.
Кдознклоссическое лрнблшкенле сравнение их с точными значениями проведено в сведующей таблице Как видно, именно модифицированные условия сшивания обеспечивают асимптотичсскую точность квазиклассичсского приблиэгсния при вычислении асимптотического коэффициента. $1.
Кеантоаанне энергетического спектра 9.1. В квазиклассическом прнблиюении найти энергетический спектр: о) линейного осциллятора; б) связанных состояний частицы в потенциале У(з) = -(/сей з(з/о). Сравнить с точным результатом (в случае б) см. [1, $ 23)). Решение. в) Для лннсвною ссниллятора злсмснтарнсс интчцзированнс в формуле (1Х5) даст Е„= Лм (н+ 1/2), что совпадает с точным результатом. б) Для указанного потснпивла интегрирование в (ГХ5) с помощью подстановки Я зэ — =нз!пс, к= — — 1 а ' ~((В„! позвсляст получить В точном результате пол корнем стоит 2ю1/раз/йз + 1/4, так что при значениях параметра квззикласснчностн ( и )/2глт/зят/Лт Ъ 1, когда э потснпналс имеется много связаннык состояний, квззяклвссичсскня и точныя результаты мало отличаются друг от прута и зля и 1.
Более того, квззиклзссичсскнй результат неплохо воспроизводит гачныя спектр ланс в том случае, котла в потенциале имеется всего 3-4 уровня д. с. Дсяствнтсльно, максимальное значсннс п определяется тем, что и+1/2 < с, т.с. и м( при (Ъ 1; при этом рвзянчнс точного и квазиклвсснчсского результатов яроявляюся в слагаемом туг(Г+ 1/4-( м 1/т( Ф 1 на фоне кввзиклассичсского вырзлмння ( — (н+ 1/2) в формуле (!). 9.2. Получить правило квантования энергетических уровней и найти соответствующие им квазикласснческие волновые функции в случае потенциала вида!>, приведенного на рис. 31. Применить полученный результат к потенциалу, рассмотренному в 2.8. Обратить внимание на близость квазиклассичвского и точного значений Е» даже прн и 1. т! Псзучся ныл результат нссссзскстзснно псэснссятся н нь очная ь-состоя нил часть аз в нснтрзльнан мисняньлс, см. 4.1. б 1.
/Тбонтобоние элерсетичеслага спектра 253 У- 9.3, Частица находится в центральном поле, представляющем суперпозицию едальнодействующегоь потенциала У(г) вида, приведенного на рис. 31 (с заменой в нем я на г, так что на малых расстояниях нег потенциального барьера), и «короткодействующего» потенциала, аппронсимируемого потенциалом нуледого ройирсо (и. н.р., см.
4.10, а также 4.31). Получить правило кеантоаания в-уровней н абсудитыюлрос о сдвиге уровней а потенциале У(т') под влиянием п. н. р. Обратить внимание на воэможность лересшройки слелтра, т.е. больших сдвигов, сравниммк с расстоянием между невозмущеннммн уровнями в потенциале У(г). Решение. Для радиальной функции Х„, = Н~„с а-уровня (см. (Гу.5)) имееч при г < Ь С 11 Г Х (г) = зп [ / Ряс+7~ Р= 2гл[Е~э У(г)[ ,/р(,) [л,/ ( у = 0 в отсутствие п.и.р.), так что лри г 0 /р(о) х„,(г) ш С [ип7+ ( — сост) г~ (при этом миду кэазиклассичностн достаточно учесть зависимость от г лишь в аргументе синуса н можно заменить р(г) на р(0)).
Сравнивая это разложение с граничным усло- вием иэ 4.!О, определяющим и, н, р., нахаанм'ьэ 7 = — ма!8(р(0)аз/й). Сшивая теперь, согласно (1Х.З), функцию (!) с убмемащим в классически недоступной области решением, приходим к прааилу кеантозання ь 1 / р„,(0)а, й/ 2гл[Енэ — У(г)] дг = л и, + — + — аюгэ ), 4 к Л (2) ь 'э! Здесь еч = «с ' — денна рассшиял дчя а.
н. р. Булучн хмрзжсинмнн чсрсз ланку рассеяния, пслтчсннмс лчл и.й.р. гмзультьтм ислссрсастсснна псрсииммя нэ случай дасмтечно нранэеальнша кароткадсястьумшсго ланнливлз. Решение. Сшиеанне кваэнкласснчсскнх решений е окрестности У(х) правой точки поворота (остановки) е = Ь производится абмчнмм образом с помощью Оюрмул (!Х.З). Теперь, алнако, вмраженис дяя в. ф, при и < Ь справедлива, вообще п>варя, н для значс- Ь ний л, нсвюреастаснно яриммкаюших к девай тачке поворота, 0 е = 0 (которая ухш не яаеястсл точкой остановки!).
Испольюваиие Е граничного условия Ф(0) = О приводит к правилу квантования ь ! / Л/ - / 2ш[Е„-У(а)[йл=л/и+-11, я=0,1,.... (!) 4/ ' Рис. 31 т Подчеркнем, что изменение условий сшивания отражается лишь на величине кяазикласснчсскай поправки: и+ 3/4 вчссга и+!/2 в щмлияе кланталания (!Х.5). Заметим также, что соотношение (1) можно получить и иэ правила Бора — Заммсрфсльда, примененного к нсчстнмм уровням л симметричном потенциале У = У()е0 (т.е.
заменив в нем п на 2п + 1, сравнить с 2.5). Для потенциала У = Рх при * > 0 согласна (!) находим Е.=( — ) (н+-) см ге=( — ) (2) Этот юмзн клас снчсский результат мала отличается от точ на голля лссх значений н (а нс талька при я л ° 1). Так, зиачсиия Е„/сь па формуле (2) лля п = 0 и ! раанм 1,842 и 3,240; точнмй результат даст 1,856 и 3,245 (клантошнис согласно (БХ.5) приаадиг, особенно прн п 1, к существенной патере точности: 1,405 н 2,923 вместо привсдсннмх вмшс значений).
Глава 9. Кбизинлассичеснае лриблимеиие при ао = 0 зто соотношение определяет спектр е1по яля з-уровней в потенциале У(г) (без л н р). В случае )р„,(0)ао/Л( ч, !значение аркгаигенсв в (2) также мала, саигвештвснио мал и савиг Уровня. Записав Е„„т й о+«ЛЕ„,« и выполнив Разложение радикала в (2): го! о «« /,'нч.П: ./(«нГ ° ], о о находим сдвиг уровня под влиянием п.н.р. где ы = !я ~ ) (шй /р„,(0)г!] — частота радиального лвижения классической частио пы с равным нулю орбитальным моментом в лотенпиале У(г). Используя соображения о нормировке квазиклассических в.ф. (сравнить с (!Х.У)), этот Результат можно представить в внлс (Ф = Х/ь/еяпг) 2яйт (4) что соответствует сдан~у уровня согласно тсорхн возмущений яо длине рассеянна, см. 4.29, В случае (рм(0)ао/Л( > 1, иаабарат, сдвиги уровней велики и сравнимы с рассюяимсм межлу невозмушсниыми уровнями в патснинале У(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
