Galitskii-1 (1185111), страница 64
Текст из файла (страница 64)
принимтт вид !2 / ки кй Х(г) ш е т — А ил (З вЂ” — + -) )(язе (, 2 4! и совпэласт с каазиклассическим выражением Х„= ~( — А ми 1 - З! Рйг+ т 1, У = — т/й - )/о.Ь - +- (3) (! ир(г) (Л )' 2 ~ Ч 4 2~' заесь р(а) = О. Действительно, иа рассматриваемых расстояниях имеем ! а р(г) шййс~1 — —; Ьз т! при этом интеграл в (3) легко вычисляется интегрированном по частям с послсдуюшей пс!ютановкой э = 1/г и при г > чо/ьз оказывается равным л(ьы — ятта/2) (отметим, что для свободной частиша, Уз(г) ш О, квазиклвссическал фюа радиальной в.ф., согласно (3), на больших расстояниях равна Ь вЂ” и!/2 и совпааает с точным выражением). формула (3) решает проблему !чета граничного условия Х(0) = 0 в квазиклассичсском решении в классически разрешенной области двюксния.
при а 0 также т 0 и из (3) слыует результат из 9.2. Наоборот, при а Ъ 1, барьер а/гт яаеяется уже квазиклассичсским, (Ад/Аг( сс и 'Л < 1; при этом у м 1г/4 в согласии с (1Х,4б), Воспользовавшись (3) и обычным условием сшивания (П(. 3) для правой точки поворота, приходим к слыуюшсму правилу квантования лля уровней с моментом ! в центральном потенциале У(г), ограниченном в начале ксорлииат: 0 !. Кбпнтобоние лнергетлческого спектра 2И Й 2/о 3 !' ит/о 2!! — — 2(г = [гт,! — — + 2/о аюип — ~~ ш с — — , (4) где о = 2/а, с ъ а (см.
замечание в прсаыаушсп задаче по поводу с!о вычмслсния), убеждаемся, что, действительно, различие лравык частей правил квантоваиив компенсируется разницей интегравов а их левых часшх. Отсюда и следует эквивалентность (с квазикласснческой точностью) всск трех правил квантования, укатанных а условии задачи. 2) Для сферического осциллятора, (/ = шызг'/2, все они приводят к одинаковому, совпадаюшему е точным выражением ллл спектра Ечл = Ды (2п, +1+ 3/2) результату (при этом вычисление особенно элементарно по последнему — без центробежного лотснциава — условию квантования (3), значение интеграла в первых двух условиях квантования— см.
в прсдыаушсд залаче). Для частицы в бесконечно глубокол потснциальнол яме в рассматриваемых правилах квамтшиния слслуст произвести очсвилную чодификацию: заменить и, + 1/2 на и, + 3/4 (как н в 9.2, ио теперь она связана уже с правая точкой поворота я = Е). При этом последнее нз правил квантования (3) сразу дает 2 — =к~и,+-+1/1, те. Е 1=лев~и,+ — +1) (5) глс гс = й~/2шЕ2 (Ев = к'с — основной уровень), а из квантошння па Пантеру, с учетом значения интеграла (4), следует'41 '21 Возмоииссть такого выбора с алсспечивамеа вмпелисиием условия кеазакааееичкссти ИЬ/Кг! Ц 1 иа малмх рзссюяипях лая лвшксиия а потенциале 1/(г) (без тчюэ центробежного потеипиала!!. '21 При значениях п,,э (! + 1/2) имеем ! 2 б и(~+-) — ч: и, опуская все поправк», связаипмс с б, из (б) иришдин к (5), Учет хи поправок в зтон случае (ик эказд порядка 9+ 1/1! /я,) на Фокс (», +!И + !! Формально бма бы пвевмшсиксм квазкквассичсско» зочисстп правила кааишшиия.
Ршяение. !) Начнем с замечания, что в каазикласенчсских состояниях с и, 2 ! дая карактерных значений величины е, — б/(г) (кинстическод энергии частицы) на расстояниях г ц 6 классического движения писем ло порвдху величины оценку дзцз Е 1-и- — ', шьз ' слсдуюшую из правил квантования. При этом в основной области интегрирования в правилах кмнтовання центробежный потенциал при! ! выступает как поправка порядка (1+1/2)'/и,' (что находится за цредсламн точности рассматриваемых правил квантования) и может быть апугцеи. Искаючеиисм является лишь область малых расстоянип в окрестности повод точки поворота и именно различие вкладов этой области в значение интеграла и определяет различие квазнкласеических поправок в прввмх частях правил квантования, приведенных в условии задачи.
Для дакаипеяьства утшржзмнив разобьем области интегрировамия на две; от о (или О) до с и !и с до Ь, причем выберем'21 с таким образом, что: !) еще можно пренебречь изменением П(г) в области г < с м заменить на (г(0) и 2) уже йз/шсз чь Есл — (/(О). При этом, соглагно 2), лри интегрировании в прспслвх от с до Ь член е центробежным потенциалом мажет быть опушен, так что зта часть интеграла во всех трех случаяк одинакова (при олпом и том жс Е„н).
Воспользовавшись теперь значением интеграла Глава 9. Кбоэикласспческое приблиэкение Для иллюстрапии точности квюиклассичсского результата привеаем, записав Ж„,г = д„,гез, таблицу значений д г лля ряда кввнтовык чисел и, н 1, рассчитанных согласно (5) и точных (укл:анных в скобках). Лля точного спс!ггра д,„, = кн„ 1 где *„,г есть (п, + 1)-й нуль (нс считая ь = О) функции Бесселя,!„(к) с н = !+ 1/2.
йты специально ограничились небольшими значениями п„когда квазнклассика формально неприменима, чтобы подчеркнуть, что и в этом случае квази классический результат нс слишком сильно отличается от точного. При этом существенно, что выбор квазиклассичсской поправки в условиях квантовзния обеспечивает выполнение правильных граничньш условий 1. В та- ~71 блице не представлены з-состояния; лля них кваэиклассичсский спектр совпадает с точным, д е = кэ(п, +!)т.
Как видно иэ табак пы, различие между точным и квазиклассическим значениями Е, г при фиксированном ! слабо зависит от и,. Так как слслуюшак кваэиклвссичсская поправке в правой части правика квантования 1/и, при и, 2г 1, то такое свойство является точным в рассматришемам случае и гэатягивастсяь до значений п, 1. 3) Сделаем два заключительных замечания в отношении правила кшнтоввнив без центробежного потенциала. Так как и, и ! входят а него лишь в виде «омбииапии 2п, + 1, то отекав для квазиклассических состояний следует смюобразное (приближенное) «случайное» вырожаенис уровней, аназогичнсе имеюшсыу место лля сбмрического осциллятора лри точном решении у.
Ш. Конечно, также вырождение снимается при учете следующей квазиклвсснческой поправки. Обсуждаемое условие квантования (3) относится к потснпиаву, ограниченному на малых расстояниях. Однако его можно обобщить и нз случай, когда Г/(г) ш 1/г" при г О, причем О К к < 2, если заменить правую частьгл в нем значением 2 2(2 — 2к)] (дая ограниченного потенциала к = О; сравнить также для и = 1 и ! = О с 9.5). При этом дая куланавского потенциала, !/ = -а/г, получающийся квазиклассичсский результат воспроизводит точный спектр шш всех значений момента 1, 9.е). Длв одномерного потенциала притяжения, имеющего при (л( — оо вид Г/ и л ", найти в кввэиклассическом приближенны условие появления новых состояний дискретного спектра частицы при углублении ямы.
Применить полученный результат к потенциалу иэ 2.40 и сравнить с точным. '!!Как легко убглнтьсе, «ззитовзинс согласно 11Х.5) прнвсдит к еушссшениой потжм нннасги, сравнить с 9.6. 'З>Такая нелифнкввия правиле квантования пакет бить получена, если иа навн» расстояниях воспользоваться точныи решением у. ш.
Х)' — (!(! ч 1)/гэ)хг — (эша/лт)г "лг = О и затеи сшить сю е квази«ласснческин решение»; си. в связи с зтнн закачу 9.9. О! . Ебонтобоние энергетического спектра 26! Ф вЂ” мл [ — / Рая+71) — з!л ~ / Рая !.7э). (2) Значения параметров ус э находим из сшивания этих кщэиклассических решений с иайпенны- ми выше точнмми (1), удовлетворяющими требуемым граничным условиям при х асо. Так КаК Прн Этан р/Л Ш Ч/аэ/я', та ОЧЕВИЛНО Ъ = уз = О. ТЕПЕРЬ ИЭ УСЛОВИЕ Сааладсиня ОООИК решений в (2) (сумма фаз синусов в них Равна ядг), приходим к искомому соотношению: Л/ % э/-2ту/(х) гх = »Л/ (3) (непосредственное использование (!Х.5), как указано в начале решения задачи, приводит к значению правой части, равному я(лг-1/2)).
Огсюдалля потенциала (г=-Ус(хэ/аз+1) находим 2гпу/еа бм — з (4) Л Точный результат, см. 2.40, получается заменой Лтэ на ЛГэ — 1. Как виана, уточненное условие (3), (4) имеет более высокую точность эг, чем полученное непосредственно с по- мощью (!Х.5). Так, значение 4» лля ЛГ = 1О, согласно (4), отличается ат точного на 1%, а упрощенное — на Р3%, 9.9, В квпзиклвсснческом приближении найти условие появления новых связанных состояний частицы с моментом ! 1 в центральном короткодвйствующем потенциале притяжения, имеющем вид (/ щ -аэг эг с»э > 2 на больших расстояниях и У щ -а!г "' с О <»! < 2 прн г О, по мере углубления потенциальной ямы.
Проиллюстрировать полученный результат на конкретных потенциалак. 'Э! прк эгон Различие кзеэкклвссяческога л точною результатов проваляется е слагаемых $/и». Решение. С известной точностью накомое условие можно получить непосредственно из правила квантования (!Х.5), полата в нем п = Рà — 1 (Лà — порядковый номер уровня) и устремлял Е», к нулю н соответственно а -оо и Ь +оа. Прн этом, сщнако, учет квазиклассической поправки 1/2 иа фоне и будет превыюен нем точности.
Зто связано с тем, что нспользусмое при выводе (!Х.5) условие сшивания квззнкласснческих решений, основанное на линейной аппроканмаиии потенциала вблизи тачек остановки, в данной задаче заведомо неприменимо: точки остановки еуходят» иа бесконечность, где при Е = О кваэнкласснчность нарушается, так как (4Л/бх! а (х! оо.
Для уточнения значения квазиклааснчсской поправки слслует найти точное решение у. Ш. на больших расстояниях, а затем сшить его с квазикласснческнм Решением. У. Ш. принимает вил а а 2та Ф»+ — Ф = О (г щ - — а =— лг = Лг Отсюда с помощью подстановки Ф = Р(э)/э, где з = э/аб/)х), получаем Р"(з) + Р(э) = О. Так как моменту возникновения нового состояния л.с. при углублении потенциальной ямы отвечает ауществование ие возрастающего при х хоо решения у.
Ш. лля Е = О, см. 2.0, то решение уравнения для р(э) следует выбрать в вице Р = А з1п э. таким образом, точная в.ф. в момент ыюннкноаения уровня имеет на болыинх расстояниях вка Ф(я) ш Махал ( — /, х -г хао. /э/аэ Х (1) Теперь заметим, чю на таких больших Расстояниях, где. тем не менее, (х! щ э/а, уже выполнено условие кэазиклассичносги (4Л/бх! б 1 и применима кввзнкласснка (при этом, естественно, предполагается, чю на таких рассюяниях потенциал ешс описывается всимптотнческим выражением, т.е. (/ а х '). В квази классическом приблюкснии имеем Глава 9.
Кбозиклоссичвсков лриблилгенив 262 Решении. Поступая, квк н в прелыдушей задаче, запишем сначала квазикласснческое выра- линие лля радиальной функции (Ф м 'А Х>(г)/г) при значении В = О следующими двумя способами: Ф Х>(г) з>п ~ ~ рбг+Уи~ — з>п ~ — ~ рбг+ 77>~, удобными для учета граничных условий (уй м г'ы при г О и >О м 1/г' при г оо в момент возникновения свишнноп> состояния, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
