Galitskii-1 (1185111), страница 68
Текст из файла (страница 68)
б 2. /Гбозшогоссичеспие болмобые функции, бероятности и средние 275 что совпадает со средним за период лвипения значением рассматриваемой величиям в классической механикс!!1 Для осцишыторв согласно (2) находим 1Х !Р = пгльг 1 и + - ), рр = - (пгдш) 1 и + и + - 1 . (3) Значение р» совпащит с точным, в р' отличается ог точного лишь значенмем поправки нв фоне п' + и: в точном результате оиа равна !/2 вместо 1/4; см.
замечение в предыдущей захаче по паволу точности квюикласснческого приближение црн вычислении средних. 9.19. Какова оценка произведения неопределенностей Ьх ° Ьр в стационарных квазиклассическнх состояниях дискретного спектра? г - ° -р" - ° - -- тг(р*!* !ьр!' ° . р осцнлпятора и частицы в бесконечно глубокой потенциальной вме. Решение. Искомая оценке следует нз правила квантования (1Х.5).
Имея в виду, что интеграл в нен по поряаху всвнчмиы рамн (Ь вЂ” а)р„„где р„— характерная величина импульса чатипы, и учнтывав, что ьв (в-а)/2, а ьр р р (так юк р = 0), ппзучасм / 1! Ьэ.ЬР»-Л(п+-1 2 ~ 2/ (мы сохранили здесь 1/2 на (вне и, чтобы использовать зту оценку и при и 1, в том числе --- гбиФ" Л (и+ 1/2) (для всех п), а лля частицы в бесконечно глубокой пстеишщльиой яме тйн/25/3 прин> !. Во избепвнне недоразумений подчеркнем, что полученная оценка Л 'Ь*. Ьр и с п > 1 относится именно к стационарным квюиклессическнм состояниям, волновые функции которых сущсепинно отличны от нуля во всей области дви.кения классической частицы.
Для локахюованиых волновых пакетов„составленных нз большого числа квазнклассическнх состояний, двя произведения Ь* Ьр имеетсв только лишь ограниченно снизу, опредсляемое гпрмеашелием ярощмдыелиоапщ сравнить, например, со случаем когерентных состояний гармонического осциллятора, см. б.21. 9.20. В квазихлпсснческом приближении найти матричные элементы Е „оператора вида Р = Е(х) а случае !ю — и( 1, т.е. меигду близкими по энергии стационарными сосшяниями дискретного спектра. Установить соотношение между ними и фурье- компонентами Ер функции Е(х(!)) в классической механике: т )Р(х(5)) = ~~~ У,еп"~, Р, = — / л.(х(!))е гтиг 41, ° =-ро о где Т(Е) = 2л/ш — период движения в рассматриваемом поле классической частицы с энергией Е = (Ем + Ее)/2 Используя полученный результат. вычислить матричные элементы х „и (*т) „ длд осциллятора н сравнить с точными значениями, Решение.
Доминирующий вклад в значешм матричного элемент вносит область интегрирования между тачками поворота н прн его вычислении мопно воспользоваться выртмсиием (1Х. б) для в. ф. Ввиду п реал олагаемой близости состояний и и пт значения точек поворота гз!Лго мозно зеоиеачь такая в мен ю'„„= /Р(р)пн' (у), гт васпрелпнияе еепоятиссма лвя импульса овррлимеме Проумяенвр из 9.!5. Глава 9. КВоэиклассичпсков лрибяиягяния и частстм движения дая иих можно считать олянаковыми и полунггь при атом Е„„=/ ф'.~ „*= ь Ю вЂ” /С вЂ” СОС ~- /С (рч — р„) АЗ'~ Ая — — /С вЂ” Ст ~- /С (р„->- р„) АЗ'~ Ая.
(1) » Подынтегральиая фуикиия яо втором слашемом бмстро оспнллирусг (ввиду пз, п 2» 1), так что его значение пренебрежимо мало. Учитывая, что в квазнкласснческом приближении разность энергий соссаних уровней равна йы, накопим т-и р (з)-р(я)ш~ е(я) после чего получаем Е „ш — ~ —, соз >м(т — л) /> — ~ йя. "ш.l (*> 1 1 (")1 (2) Имея в виду зависимость т времени координаты классической частипы * = з(С), которая денжетсл с энертей > Е = (Е + Е„)/2, сделаем в (2) ппястановку С = С(я), что лает т>з 2 Г Сг „= — / Р(з(С)) оса)ы(т — п)С) АС, е г Е, = — ~ Е(я(С))е ' "КАС= Е, „„ (3) е (начальный момент времени выбран так, что я(0) = а; изменению С от О до Т(Е) = 2я/ы соответствует изменение з от а ло Ь н обратно).
Формула (3) устанаалиеаст нскомос соотношение мехшу каантоаомеханическими ма- трнчнмми злементамн и фурье-компонентами е классической механике. Проиллюстрнруеы точность соотношения (3) на принерс координаты линейного ос- ннлляторв. Лля него я(С) = А созыг. так что, согласно (3). отличны от нуля только фурьс- компоненты я» = Ы, = А/2. Так как энергия классического оспнллятора равна Е = ты»А>/2, то, приравняв ее (Е„+Ем)/2 и учтя, что Е„мде»(я+ 1/2), находим А и отличные от нуля матричные клементы координаты ослнллатора в клазикаассическом прнблюкенин й я„„ь.
= я„„, = — (п + 1), 2тм что соил аласт с точ им м результатом. Аналогична для кеащмта координаты, *'(с) = А' сот'(ыс), находим, что отличим от нуля лишь еледуюшис фчрае-компоненты: (Ф) = 2(яз) 2(яз) з = А'/2. Используя отмеченную выше связь А' с Е,„(значения А' лля случаев т = п н т >ь и, — различныс!), нахалим, сошасно (3), отличные ог нуля катиимссическке матричные злемснты (я )„„= е ~я+ — /, (я ) = (я )„»ь„-- - а ~п ь -/>, (4) н>физически еспсменнее нспояьзозеине такого тсреснснногс значение энергии классической чеспкнг елсссечнзаст выполнение услоаня зрни юассти Р „= Р„ где я' = й/2пкн.
Точное значение (л') совладает с (4), алла (е'),„з оно отличается от (4) заменой и+ 3/2 на [(и+ 1)(п+ 2))'>'. Клк видно, квазиклассика обеспечивает лостаточно высокую точность н дея квантовых чисел п, т 1. 5 2. /0)озиклоссичаскив болнобше функции, Ееролтности и средние 2УТ 9.21. Обобщить результат предыдущей задачи на случай оператора вида Е т Р(Я. Применить его для вычисления матричных элементов операторов р и р» для осцнлля- тора. Решение. Ззлвча решается аналогична предыдущей.
Теперь слепу«т учесть, по при действии оператора р на квезнкяассичсскую функцию достаточно дифференцировать лишь па пере- менной * в аргументе синуса (сравнить с 9Л 8). Пасла простых преобразования палучвен гл 2 /' ь )' саэ [ш(т — п)1], Ь вЂ” четное, (;)..=- Гш;(1)! (1) Т / ( -тнп [ш(иг — п)1], Д вЂ” нечетное. а тзк как знаки импульса частицы при 0 < 1 < т/2 и т/2 < 1 < т противоположны, та абз вмрвження (1) монна объединить в одно: т (р')„„= — / р'(1)с-"ы-М' ЕГ ш (р'(1)), (2) з Очевидно, чта знвлогичнас соотношение Р„„= Р,= „между ююзнклзаснчсскнми матрич- ными элеиентзмн и кзассическими фурье-компонситзмн имат место и дэя произвольной фиэнчсакай величиним) Р(р), сравнить с соотношением (3) из 9.20.
Матричные элсмснтм р„„и (р')„„лля импульса оспилляторв вычисляются так .ке, кзк и в предыдущей эвдзчс дкя коордййатм и описываются, по существу, такими же вм- рюксниями а заменой л/тш нв локк (при этом в инх появляются сшс несушсствснимс фа»овне множители). Тзквя аналогия не случайна: оиз атрвжзст в квззикзвасическом при- ближении та абстятсльстза, чта у. Ш.
и в.ф. для аспиллятарз в координатном и импульсном прсдставяениях имеют авинзковый вид. 9.22. Частица находится в и-м стационарном состоянии в потенциале (/(к). Внезапно (при 1 = О) потенциальная энергия изменяется и становится равной (/(о)+ У(л). Квковы средняя энергия частицы и ее флуктуация при 1 > 07 считая п » 1 и изменение потенциала достаточна большимн), тпк что [У„',з(к)[ х (Ь вЂ” о) > йш„, где Т„= 2к/ш„— период движения классической частицы в исходном состоянии, найти вероятности перехода ее в новые стационарные состояния. В каком случае может происходить «ионизвцияз системы? Дать интерпретацию полученных результатов в рамках классической механики.
Для иллюстрации рассмотреть линейный осцнллятор, (Г = п»ш»л»/2, нв который внезапно накладывается однородное поле, так что У = -Рае. Решение. 1) Ввиду мгновенности изменения потенциала, в. ф. сРазу восле включения У(э) савпахзет с Ф, (здеаь и ниже индексы ° н / относятся к стационарным састоянмям частицы в патенпизлзх У(з) и У(*) + У(*) соатзстсттниа, на если это нс мо.кст притсти к недоразумениям, то мы их опускаем). Прн зтам дзя нскамьш средних ясгка получаем (при 1 > О): Е = Е„+ У(э) (ДЕ)» = У»(з) — (У(э)) (П (после вк«ючсния У(л) »эмиль»аннан опять не теннант ат времени, энсрпа сохраняется, в энергетические характеристики состояния астзютая нсизмсннммн), В обшен ах»час кззнтовамсхзничсскас усреднение (1) щювадитсл па сасгоянию с в.
ф. Ф,(я), но в кзззикяассическам приближении ана мажет бмть заменена балт простым усрслнением по периоду финнтнот движения класаичсскай частипы с энергией Е„в патениизяе У(з) (см. на этому повалу 9.17). »Г)Оиа спраыллнэа з кзэзнкэзссичсскам пзибэижсиии хяя произвольной физхчсскап зсэичннм Р(з, р) Н»фтич«скн эта таю«из азначззт, па в исхадиам гас»азиях пр«дстатсн ласта»ачиа шизакпя сп«кта сасгазнил каи«чита» гаикаьтаиизиа Йг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
