Galitskii-1 (1185111), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Глава 9. Ебазиклпсеичнское лриблшкенив 2) Вероятность перехода прм внезапном изменении потенциаяьноп энерпгн (см 4.47) м(п Ь) = ~ ( Фгз(х)фь„(х)цх~ . (2) Воспользоааащись здесь для волновых функций выраменнями вида (!Х.б) (лля указанных выше пстенциалоа), преобразуем магричныд элемент следующим образом: з г Л-Н!. '-1™'))- Ч вЂ” ехр ~-(/ райх'ь / р,дх') +г-|+к.с.), (3) где к.е. означает компясксио сопряменное выралмние по отношению к выписанному в фигурнмх скобках, а = вак(ао ат), Ь= щгп(Ь„ЬГ); с, Г и 6, à — точки остановки е каазиклассических состояниях Ф, „, Фг,з.
Характерная особенность интегралов в (3) — большое и быстро изменяющееся значение фаз экспонент. Талие интегралы существенно отличны от нуля в оаучае, котла у фазы как функции х имеются сгационариыс тачки, интегрмроаанне в окрестностях которых и вносит доминирующиЯ вклал в значения нигшраиов. У второй экспоненты в (3) и комплексно сапрямеиноп ей, очевидно. таких точек нег (по определению р,,ь > О) и этн слагаемые могут быть опущены. Аля первой экспоненты условие стационарностн фазы, Вр)Вх = б, принимает анди' рг,(х,) = р:, „(х,), т.с.
а,— ь>=Г,,-'из-'из °,- ..+~ь~. и Отсюда вшлао, что энергетический интервал рапюшсиных переходов ограничен условиямн Уч„< ЕГ, — Е, „К У где У г,„г — максимальное(минимальное) значение У(х) наинтереаледвпження а, « Ь, класснчсскоб частицы в исходном состоянии, Отметим, что условие (4) имеет наглядимб физический смыся.
Так как в результате мгновенного изменения потенциала импульс классической частицы не изменяется, то (4) определяет такие точки траекторнп в фазовом пространстве (р, х), которые яалюстся общими для начальнопг и конечного состояиид. Для вычисления интеграла разломаны фазу экспоненты в окрестности станиоиариой точки -( ) Рабах — 7 Р,йх ) щ Рь(х,)+ — ( — — — ) (х-х,) 1 щУ (х ) = уц(х.) — — '(х — х,)'. (5) 2бр„(х,) Теперь заметим, что ввиду предполагаемого условия )У)'(Ь вЂ” а) Ъ Дм„область значений (х — х,), в котороЯ юмснение фазы порядка единицы и которая вносит основиоп вклад в интецзкт, маял по сравнению с характсрнод областью двнмення частицы, (Ь вЂ” а). Соотвстстаенно в (5) момно ограничиться квадратичным членом ращожениа, распространить интегрирование а окреш ности камлод стационариоЯ точки х, иа асю область (из-за быстроЯ з» Чкслосталионаримхгачек*, зазиснгквкотаалапотенциалов такнсгзивчеиня Еьь.
Еелн У(з)— монотонная фуиккна е, то есть .знбо одна точка, либо их зесбвс иег; з скгчы, когда и(х) и У(е)— сииистричнме функггии (е одним минимумом), таюм точек две нлн нн слиод. Оюуюгенс сганюнврим» точек означмт, чт вероятность иютютещующею перекопа з рассмагриэаеиом приблихенни лрснебреииио иазв. $2. Уубозиклассичесяие боллобые бурнкции, боролтиости и сродлио 2УВ сходммостн возникающих ннтсгралов) н получнть (б) Из за болыпой вслнчхпи фаз рз(ь) в (б) значснна зсрытнсстсд (2), «ах н само зхечснве матРпчного элемента (6), испмтывзюч снльнмс осшлшяпмн уже при небольшоы изменении номера Д конечного состояния.
Однако после усрсдпснмя по небольшому интервалу коне чнык состояний такнс оспнлляпия исчезают я получастс» слслувиасс выраженному: 4стй 1 йг(п й) = Е (7) Тг(бл)Ту(Еь) рьа(з,)(Ь"(сД 3) Найдем теперь всуоатхссгь ааабуссдсяня кснсчнмх актолннй й, стпосящгшся к пскоторому энаргстнчсскому интервалу бЕг. Так как рзсстоякне нежау соссдннмн уровнлын в хизнквасснческом прнбахженни равно гуЕь = быу(Еь), то искомял вероятность получвстса умножением (7) нв бй = ФЕугуууЕь — чпсло состовннй в этом ннтсртвле — н опнсывасюя выражсннсм 2пз бЕ (8) Тг(Еа), рьс(кь))у'(к,)( В эту формулу уже не входит постоянная Планке н онв допускает наглядную пнюрпретпню в рамках класснчсской мсханикн.
Лгш этого заметя м, что энсргня классической частнны ярн внезапном лключеннп уг(а) заавснт се точкя л пахожданпл сс а этот момент временн и равна Еу -- Е, + у(х). Соответственно распределенно всроатлостсй для Еу определяется Раслрсасасххсы по каорамыатаы чвстнцы в исходном состояххн, которве ямссг внд 2 У» Т(Е,)ц(х) Переходя тепеРь от пеРеменной К К ЭНСРУНН Ег н учпгывзя, воабше пуеоря, ыногозначный характер зазнскм ссги к от Еу, прнхолнм к формуле (8), что, кстати, подтасрлдасг нормировку на сдлхныу этого ргмпрелюсннл, а тем самым я распределения есроатностсй (7). Еслн прн энергия частнпы Е > Ес двнженне ее в погеннхвлс У(л) + р(л) ааялстсв уже ннфннптнмм, то фОрнУЯа (8) прн Еу > Ес определяет Ряспрваеленпс по эяергхлы чвсгннм, покндвюгней яму, в ннтслухросанис по эхСРГНН Еу в прсасавхот Ез до Е = Е, „ошах Р лает вероятность вьшста часгнпы (сноннюпнл» снстсмы) при ввезенном нзмснснми потенпнааам'. 4) В прилсхмнхх пслучсннык результатов к сспнллатору нмеем Согласно (4), находим (йы(п — б) + Ргз)упх„з] лг = рс после чего по формуле (7) получаем зсроатностн псрсходовм' Лю (МР2(п+ У/2) Г м(а й) = — ~ — ~дм(п- д)+ — ' а пгы 2 ~1 «У чхюмлю лусвлемиса обсумпь вопрос сб мюбепвостях нторбмреншгн втлмм спмметричных сгащюхвзных арчах е случае, каша бг(с) х У'(е) есллются сиымстухчхыхх пстсххяглвхх; отнсп~» лянь.
по срн ыом псуежнм происяхитыеллу ссспмххамп п я С озинзкозоя чстностп н Е лла таких псвосюса етлхчьстся ог (7) мхсяхт лсы, аасхым 2, лес дауны япусхоасс и(п «Э) = О. ГП Эпз сбегоятмпсгзо прелсгвавнтса счезиаиым. еслп ннсгь а вкау отмеченную знахегсю с глассячссксв исмиикся, При кзахтотомсхахвчссхсх уасснстэсинн слтдуьт учссгь язхсиснис аюм е.ф.
Фу,ь, аоторая прв Вь > Ес ояисыззст уж» состоянва неяэерызнот стктра. гн Занстям, что «7(х — 3) = У(Д - и). Глава 9. КВозиклоссичвское лриблшквнив (они отличны от нуля лишь аея таких значений й, при которых вырюксние ппа рааикалом полоз!игольно). Формула ($) при этом мажет быть записана более наглядным обрюом: й г цз' я((Е! - Ъяев)(Ег,ее — ЕГ)) гле Ег.ив!ее! = Еь„ж а„рз — максимахьнав (минимальная) энергия, которую пожег иметь а - гвтг ТЗ7 амплитула колебаний классического осцилвятора прн ! < О. $3.
Прохож)(енне через оотенцнелйные барьеры 9.23. Используя квазнклассическое приближение, найти проницаемости следующих потенциальных барьеров: а) треугольный барьер из 2.36; 6] (/(е) ю (/с сй '(и/а); 8) барьер из 2.35. Указать условия применимости полученных результатов и сравнмть с точными значениями для В(Е). Решение. По формуле (!Х,9) получаем слсаующис результаты. а) йь/2ш)Е(г что при большой величине показателя экспоненты, когда В «Г ! совпадает с точным результатом дяя пронишюиости треугольного барьера, см. 2.5б. 6) В случае потсипиаяа Р = Гтс/сй '(*/с), исполиуя лля вычисления интеграла полста- новку зь~-) =кипе, и=)! — — 1, находим проницаемость барьера в квазнкаассическом приближении ю--,(- у —,(,гь- з)).
в то время как точное выражение (см. (1, 925)) зй (здс) 2шЕ д= й зйг(хйа)+ей'(х 2пгосвг/Л~- !/4) Как вилно, при аыюииенин условий Щ2шог лг ~ — ("- ) ')( л' вьс' (2) '! исключая случай мсллсино тсмвзюши». сг «!х! " с и < 2 ери х — всо. лсюншгзиов.
кввзиклассический !юзультат великолепна воспроизмщит тачнмй. Первое из условий (3), обеспечивающее значение Р ь' ! — обычное условие для применимости квазнклассического выражения дзя проницаемости барьера. По поволу второго необколимо сделать слеауюшес замечание. Его происхожлеинс связано с тем обстоятельством, что в основе вывода формулы ()Х.9) ле:кат условия сшивания кшзиклассичсскнх решений в окрсстностяк точек остановки каасснческого лвнження, основанные на линейной аппроксимации потенциала. Однако в задачах, полобиых данной (когда иа больших расстояниях Р О), при малых энергияк частицы использование такик условий нс оправдано"'.
Это особенно наглядно б 3. Продохдение через погпенциольпые борьеры видно из рассмотрения случвя Е = О, когда нв балыпих ресстояниях квззиклвссикз вообще неприменима, сравнить с 9Е и 9.9. Изменение условий сшивания решений приводит к модификации квззиклассичсской формулы (!Х.9), своэлшейся к появлению дополнительною предэкспонеицизльиого множителя, нмеюшего величину порвдкз сдиннцым!. Для денной змачи он, кзк видно нз сравнения приведенных вмрзженнй при 22(Е), резец 4зй !(гг»а)е мм н особенно существенен для Е -г О, так квк при зтам он и Е (но с увеличением энергии, квк н следует, обращается в свинину). е) Зля указанного потенциала /2(Е) - ехр (- (Г/з - Е) 4 дйш 3/2) 3»(/е (4) Ото выракеннс определяет коэффициент прохо,'квеиня лишь но порядку величины, но передает главное: его зкспоненцивльиую малость.
В точном вырвженнн имев/ся дополнительный предэкспонснцнзльный множитель, равный 45/Е((/с — Е)/(/з. Вго появление отражает изменение условий сшивания квззнклассичсских решений в окрестности.точки повороте л = 0 (которэя уже не является точкой остановки!) по сравнению с теми, которые приводят к ((Х.9), сравнить с прои нцземостью барьера из б) при Ь' -г О. В заключение отметим, что вопросм вмчнслсния предэкспоисицизлы<ого множителя в квэзиклассических вырюкеннях лля проннцасмосгсй барьсроа, когда неприменимы условия сшивания кзззнклесснческнх решений уравнения Шрбдинмрв, основанные ив линейной аппрохснмзцми потенциале в точкзх повороте, обсуждаются в звдвчех 9.24-9.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
