Galitskii-1 (1185111), страница 72
Текст из файла (страница 72)
/(яя рааиальной функции Х = тй (см. (1Ч,5)) можно воспользоваться сбшимн формуламн одномерной кэазнкаасснкн. !От- зм область применимости, так как нс связано с (квазнклассн мскнм) способом вычисления проницаемости барьера; сравнить, например, с 6.37. Если барьер инест конечную проницаемость па обе стороны от ямы, то тогда, очсвнано йы г.
= — (27, + 27,). 2к 2) Расснотрнн прнлатеинс полученных результатов к осциллятору с аншрноничностью: (Г = пвз'е'/2 — Ле'. Сдвшн уровней неэоэмушенного осциллятора были вычнсасны в задачах 9. 1О н 9.13, Расчет ширин уровней согласно (2) сводится к вычислению интеграла Глава 9. /(Возиклоссическое лриблизкекие Вычислив интеграл (Е = А'Ь'/2ш) ь а ь 1 / / (1+1/2) г /(21+!)Кг 2)+1 2141 - / )р.( йг ш л/ / (1) 2 2йгг (здесь точки остановки о гз н Ь ш (В+1)/2Ь; в центробежном потенциале сдсяана поправка Лансере, т.с. произаелена замена 1(1+ 1) нв (1+ 1/2) ), по кзшиклассическай формуле (1Х.9) получаем оценку проницаемости центробежного барьера / 214гз ! ~и и» / ~2!+) / (2) (обратить внимание ив сс энергетическую зависимость).
Заыстнм, что использование аналогичного (1) выражения доя барьера, отделяющего начало координат (с заменой в исм Ь иа гз н гз на г < Ь), дает при г 0 Х ю — сзр -- / )р,)ег) от' "=,/)р,! 1 ЬУ ' Рмс. 3$ в согласии с точным РезУльтатом, Яг = Х/г сс г', Для оценки времени жизни квазнстациоиарного состояния"' г найдем вероятность ег вьшета частицы из ямы в единицу времени. Эта вероятность получается умножением числа уларов частицы о барьер в единицу времени, по порядку величины рввиомуо' вз/гз й/шгзз, иа вероятность прохолшеиня барьера при однократном столкновении, совпвлаюшую с 0 (сравнить с предыдущей задачей), что дает ! И / 2йгг 'т "ы (3) и' шгзг ),21+1) (более точное выражение лля г, ем.
а связи с (ХП В! 7)); сравнить энергетическую зависимость и о Ьсм лля центробежного барьера в случае мелленных частиц с экспоненцнальной зависимостью для кулоноаского барьера, см. следующую эавачу. 9.31. Обобщить результат предыдущей задачи на случай, когда вне ямы иа частицу действует кулоноаский потенциал притяжениям): ус = -Без/г, причем г, ь а йн/т~ет; считать Е щ (ет/о . Решение. !) График эффективного потенциала приведен на рис. 36. Тецерь лля соспюний с малой энергией (Е О): ь ь злссь а ш гз, ь = (2) + 1)'оа/й и Учтено, что гз ш лл.
соответственно з! ° ! (2) (е = 2,7 !8...; в последнем вырюкении использована формула Стирлин!в). «г В кзазчклзсеяческсм ярнблипеикк зисрпы квючсгавноиврного состояние, кзк и нстяико свювиного. шчнлгляется прввклон квантования Боре-зсммсрфсльза, сравнить с лрсамдтшсй ззлзчса, 44!здесь гз = рг/га — «зрзкмрквя скорость чзспшм е яме, рз /ю(Гс эл/гз (нс лтоть рз с ям пульсом р = ЬЬ емле|аювмй чзсткны, рз Ъ ЛЬ). щтзкш змыча зозкикзст в морин аарокчмх вюмоз (см. !1.4). прк юом речь пает о шюнчнасмосгк барьера, рашшзюшегосаазстк ялсрногопритяжения ив рвссгояикяя г < г, и кулаювскшо — прч г>е .
б 4. 1//т'-Роэлоэсение 6 нбонтобой мехонине Заметим, что купонозское притяжение «укорачитет» центробежный барьер и пля малых энергий, Е О, существенно изменяет (увеличипаст) сто проницаемость, сравнить с препыпущей задачей. !1 2) Наоборот, в случае отталкиватгльного характера чь купоиовского потенциала проницаемость барьеРа дпя меплснньи частиц резко лапает. При этом доминирующую роль в интеграле (Ж = ти'/2 2!с = а/г) » гп 1 Г 1 Г 2та яа — ! !р,! 4г ш — 21 — - (ти)' аг =— Е Ли и г и играют большие расстояния, на которых центробежный потенциал мал. Его учет изменяет лишь препэкспоненцнапьнмй множитель в вырщкенин 23(Е) -е ~ты (3) эля проницаемости барьера; сравнить (3) с выражением (2), а также с формулой (2) прелылущей эзпачи лпп проницаемости центробежного барьера, $4.
1/этг-раздопсение в квантовой механике Метод 1//У-разложения является расчетным методом, развитым в последнее время и нспояьзуемым в различных разделах теоретической физики. Идея метода состоит в «конструировании» параметра Р/ для рассматриваемой системы, при значенияхх ЛГ Ъ 1 которого решение задачи упрощается и возможно получение его в виде разложения по !/!3Г. При удачном выборе параметра ЛГ область применимости такого реп!оженил может «звтягнваться» вплоть до значений ЛГ 1, характеризующих исходную систему (сравнить с высокой точностью квазиклассического результата для Е„и при и 1, хотя формальное условие применимости его и > 1). Выбор параметра Р/ связывается с расширением числа степеней свободы (числа состояний, размерности пространства и т.
п.) рассматриваемой системы. Ниже рассмотрено несколько элементарных реализаций такого подхода прн решении одночастичного уравнения Шредингера. 9.32. Исследовать состояния дискретного спектра частицы в одномерном потенциале (/(х) = -Уэу (х/а), представляющем яму с одним минимумом (в точке хп = 0), с помощью 1/Лг-рвало>кения, выбрав "=( .'")'" Проиллюстрировать точность полученных разложений для энергетических уровней н волновых функций на примерах следующих потенциалов а) у(х) = -уесЬ з(х/а); б) (/( ) т (/и (а/ - х/а)'; В) (г(х) = г/п(е-з*/ — Ь -*/ ).
Решение. По мере увеличения параметра РГ потенциальная пма становится эсе более глубокой н число свяэпниЫХ СОСГОЯНИй В ней вазрастает. В случае РГ Ъ 1 полковые функции нижних уровней локализованы вблизи точки минимума потенциала, в которой бн(О) = О. При этом апя потенциала можно воспользоватьсп разложением по степеням х/а (ниже Л = пз = а = 1)г 2Г(п) = 2Г(0)+ -изп +ах~+ив~+..., 2 Глава 9. Кбозикпассическое прибпизсеиие 292 г=У"(0), пы —, )уы —. У (0) 11'"(0) (2) 6 ' 24 Здесь третий и послслуюшне члены разтожеиия выступают как возмущение; нсвозмушениая система — осниллятор с частотой и. Ряд теории возмущений по степеням ангармонических поправок В =У(0)+и(ие — ( — — — ~п +ие — ~+ — — ~и +и+-(+..., 2/ 4 иь 'х 30/ 2ьп 'х 2/ (3) см, (1, 838), применительно к рассматриваемой задаче представляет 1//у-разложение ляя знергетическнх уровней частины; при атом У(0) )Уг, и )У, о'/и р/иг Ке = 1 и т.д.).
Этот результат асимптотичсски точен при йг со. Олнако, как правило, лля глааких потеипиалов он имеет достаточно вмсокую точность и при значениях ДГ > 1 (юи увеличения точности следует учесть более ьвысокнеь апгармоничсскме поправки). Проихлюстрируем зто обстоятельство на конкретных потснпиалах. а) Лля потенпиала У( )=-У, Г -з(-*1 ~а/ вырюкение (3) принимает вил (в выбранных единицах )у = з/(7 н и = /22Г).
Е (1/)у) =-3у + т/2 ~и+ -! 1у — - ~п +по- +О(ут ) м 2/ 2 х 2/ м-У~+ ь/2Уе (и+ -) — — ~иг ьп+ -), (4) 2) 2ь 2)' Сравним его с точным спектром [1, 8 23) Е, = — — [Ф + 8Уе — (2п+ 1)) 1 з 8 (5) н с квазиклассичсским выражением й'„а, отличающимся от (5) лишь заменой 1+ 8Уе иа 8Уе. для основного уровня при различных значениях рт имеем Для первого возбухщснного уровня, н = 1, получаем Заметим, что этот уровень появляется при значении Уе — — 1 (согласно (5) общее число дискретных уровней а рассматриваемом потенпиале при дг Зь ! составляет дг м з/2 Щ. Обсудим кратко жппкк о волновых фун кинах частнпы в приближении 1/3у-рвзложеиил.
по бюрмулам теории возмущений (тги1.2) получаем Ф,(а) ш 1Фнг(к) + 100!и(л) + сшзргег(а)1, (6) 5 4. 1//б чоазлажеиие д кдиитодой механике пю Ф (я) — собственные функции линейного осцилляторв с частотой ы = г/2(уе. При этом ге! возмущение линейного осцилляторв имеет вил Ь" = -2Уезг/3, тзк что отличные от нуля коэффициенты разложения сщ = (Ь] У ]О) равны 4Д7 ' 01 И цн Вг/32~~' Подчеркнем, что волновая функциязе (6) нормирована иа единицу с точностью до членов второго поряякв по 1/77. Точная волновая функцмя основного состояния имеет вид 1 Фе(я) = Асй 'и, з= -(т/ВУе41 — 1), 2 см. ]1, 423]. Нормировочный коэффициент легко найти двя значений Ус = 1 (прн этом з = 1) и Уе = 3(з = 2): А(1) =!/т/2 и А(3) = г/3/2. Сравним значения волновых функций в нуле. При этом Фс(0) = А, в то время квк !7г О, ге1 (, 3 ) (Л%) (, 3 ) и лля отношения Я = Фс(0)/Фе(0) получаем; Е=1,0048 при Уз=! и Е=1,0020 прн Ус=3.
Е. (1/М) = з/8Уе (н 1- -)] + - +... 1~ 1 2/ 8 Сравнение с точимы выреженнем для спектра Е„=,/ВУ, !и+ -+ -(,,/ВУе+ ! —,/ВУ„)1 1 ! 2 4 (8) показывает и в этом случае высокую точность результата !/87-разложения при значению Дг > 1; твк, при Ж = 1 шш основного уровня Ее/Ес = 1,026.
е) Для потснцмвлв (Ус > О, а > О, Ь > 0) У(*) = Уе(е мг' — Ье *7'] рассматриваемое 1/77-разпожение лает (йг =,/2)е, о = 1): Е„(!/87) = --Уебз+)1-Уебг ~н+ -) — - ~и+-/! +... 4 1/2 ~ 2/ 2 ~ 2/ (9) Привезенные три чяена разложения совпадают с точным результатом длв спектра Е, = -]т/2Уебз — (2и+ 1)] /8, см.2 9. Г'! Прнеслсннсс зырзжсннс лля волновой фуикннп слразсдзнвс лнаь в области суасспиннся лакализзннн чесшпм (и нслрнмснкно не больших сесспюниях в кеассечсски запрещенной сбласгн; е мое обвести юм з.ф. некио еослользоезгься кзезкклзсснчсски» выраженном). Квк видно, 1/Е-рвзиожение обеспечивает высокую точность кек при расчете энергетических уровней, твк и волновых функций в существенной области нх локализации леже в случее сравнительно небольших значений Ж, котла в потенциале сущсствуег всего несколько дискретных уровней.
Слелусг ожидать, что это обстоятельство будет прояюшться и в общем случае ляя лссгзточио гяздких потенциалов. б) Лля потенцислв У(в) = Уе(а/* — т/а) в рвссматрншемом прибянжеини получаем (Ж =. Дге, положено о = 1) Ф 4. 1//у -Разложение б кбоншодой механике 9.34. Исследовать энергетическим спектр связанных состояний в сферическн-симметричном потенциале притяжения (7(г) = (/ео (г/и) с помощью 1/йт-разложения, выбирая параметр разложениям' 87 Ж и = ! ч- пг +! (1) (и — аналог главного квантового числа в слу»ае кулоновского потенциала) и считая радиальное квантовое число и фиксированным, а орбитальный момент 1 — » оо.
Проиллюстрировать точность полученного выражения для энергетических уровней на примерах известных точных решений уравнения Шредингера. Решение. Запишем потенимап в вшге 77(г) = птрв(»/Е), т.е. положим У~ м Впт, функпия э(з) определяет форму потенциала, Тогда эффективная потсипнальивя энергия, фигурирующая в уравнении (Р7.5), принимает вид, удобный д!ш се дальнейшего 1/и-разпожснил: Зп, + 1,(я, + 1) ) 77ме( ) = н'! Вэ( ) + — — — '+ Згт 2ш т 2ятг'2 ) (2) П Осуаисгвпвсмвп полабнь!и оба»зон кктсрполпп»м «скш сбвэс»ями значения Н со и ЛГ» ! мтрсчветса в различи»м вэризнпа исголз 1/лт-рээлонсння.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
