Galitskii-1 (1185111), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Н1 В мом счтчм обычно говорят о 1/и-рзъюжснки; о многочислсннмк прилежспипх этот метода сн, статно !тур ДД., Еннс В.С., Сглгмс Л. Д ЖЭТФ. !990. Т.97. С. 32 н юпнэовэнную твн лнтсэаттру. Положив ЛГ = 3, получаем Ее = 1,8549Г~Р, что лишь на 0,05% отлмчастся от точного значения ее —— /3!(Еа/2) = 1,8558уал (зассь -Е! = -2,3381 — первый пуль функции эйри, А! (-Д) = 0; сравнить с 2.8). Отметим также, что применительно к одномерному потснпнапу 27 = е(я! форнуяа (4) при Ф = 1 дает еч = 0,803бк'Р, в то время как точное значение Ее ы 0,8086ртт!.
Ставь высокая точность формулы (4) оп1ндслястся тем, что в данном случае параметр разложения можно оценить квк ы 1/5йт. б) Для потенциала 77 ы аг', поступая аналогичным образом, находим ут из Ес(!/Е)мЗа!7»(~ ) (!+~~~4- ~, +...) н переходя как в (3) к параметру рюпожеиин 1/К, получаем 'т!б / ( ЗДГ 27Р7! т ч зт! =Зал!( — ~ (1+05993Е ' — 03255р/ +...) 1б (5) (параметр разложения м 1/2йг). Отсюда, положив Н = 3, имеем Ез = 2,379а'!т, что отличастсв ат результата точного численного решения уравнения Шредингера, Е, = 2,394а'Гз, всего на 0,4%.
с) 2(ля кулоиовского потенциала 27 = -а/г находим 2а / 2 2 Ес(1/Е) = — = ~1 — = + = +" ) Переходя, как и выше, к разложению по параметру 1/Е, получаем Еч(1/37) = -2а йг !!1+ — + — +...~ . 3 ДГ Рт! (6) Здесь по сравнению с (4) и (5) сюшимость разложения ухудшштсп. Эта разложение можно ° улучшить», сели воспользоваться параметром рззпожси на 1/(К вЂ” 1). При этом выршкен не (6) принимает вна Еч (1/(Š— 1)) = -2аз/(Ф вЂ” 1)', что совпаавет с точным результатом. Указанное изменение параметре разложения связано с тем, что оно при Ф = 1 обеспечивает ° падение на пеитр» (лает Ее = -оо), возникающее в кулоиовском патенпнале в одномерном пу и1, см.
8.61. Глава О. КВоликлоссичеслое лриблизкенив (пгссь н ниже положено л = ш = )2 = 1 ). Аналогично юпишем 1/и-разложение лля энергетических уровней; П = '(~!и+-~п+ —,~'„"+...). (3) При и ~ со частица локаянзустся вблизи точки минимума эффсхтнвного потенциала гю Ллл котоРой Угсе'(гс) = 1, с = пз!и (/юс = — ! + Ув(ге). ю (4) 2гс! Ограничиваясь в окрестности этой точки квадратичным по (г — гз) членом разложения старшего по 1/и слагаемого в (2), получаем зг! и Г з з з н(2гз, +1) и!! Х„ы — ~п и (г — гс) — г — 2пс„,~ х„„,(г) = О, 3 ь ы = (Усе(ге)+ —,/) гз (5) В этом приближении инеем с'„и ,= (ы — — г) (и,+-), (6) (8) Эа нетям, по плср ь разяаасине еа параметру 1/н связана их с зависимостью ог я самих слашсмих и! е (2), ззк н с их псслееукияиы разложением ло сгепсияи (г — гз), ннсююнм мехссгь псрялха л ~/!.
Пви этом разложение дзя У»ю акяючаст только палые сюясин яьрзнегрз !/н, «ак и е углоаихх задачи 933. зз! В зюи сеучзс и = ь/2+ и. Пояааснмс здесь особенности пви г = -2 !ср. также с 4ювиглол (12) нике) сеямио с еозинкиовсииси яааснн» иа нппр, си. 9. !4 1 ~/с Анааопьчныи образом могут быть найаены члены более высокого порядка разложения по 1/н.
Однако авилу ик зромозакостн, ыы ограничимся ниже нллкютрацнсй точности !/и-разложения на прииерах первого приближенна. Для степенных потенциалов притяжения (С > О, и > -2) = —.'ы "(=')-.Ь) '=(=.) 1/и-разложение дяя энергетических уровней принимает види! Л Лз з Лз (2+и 1 11 = л' — ~ — + — (ь/2+ и — 1) ~л, + -) +...) . (9) шйз ( 2и и 2/ Отсюла лля кулоновского потенциала, и -1, и сферического осциллвтора, и = 2, слелуют точные резулзтаты дая энергетического спектра. Рассмотрим также случай линейного потснцнаеа, и = 1.
Пля него согласно (9) !/и-Разложение длв энсрштмчссквх уровней имеет вна 3 1 / 11 г„(1/и) = - + -(ь/3 — !) ~гь + -) + .... (!О) 2 н 'х 2/ Сравнение этого разложение с точными значениями е~ю ~, полученными числениыы решением радиального уравнения Шрелингера, представлено в прнмдениой ниже таблице, 297 й 4. 1//У 5тпзлохенип 6 кбоитодой межонике в которой указаны значения погрешностей 1в«В Ем,(1/н) ~~~~! в нулевом н первом приближениях 1/н-разложения. В заключение приведем двя стспенньш потенциалов значение поправки второго приближенна по 1/и с!т! = 1 гт — 15н — 52+ убчг2+ и + бн,(п, + 1)(г! -9г — 34+ 24~/2+ г) /, (12) 144(2+в) ! учет которой епю более уэсличиваст точность 1/н-разложения.
9.3$. Для короткодействующего потенциала притяжения г/(т) = Уво (г/22) (У(г) -ь О при г оо) найти с помощью 1/н-разложения, см. предыдущую задачу, критические значения („ю„» параметра потенциала пьув)21 4=-— г Ь которые отвечают моменту возникновения пп,-уровня при углублении потенциальной ямы. Рвгиеним Задвча решается аналогично прелылушей, только теперь в виде 1/и-рвтложения определяется нс энергия уровня, а эначемие константы связи т/сшу пт, у„„=рв,'р„!+ ',уп+„., и п При этом коэффициенты разложения рь! находятся иэ условия, что в момент возникновения уровня его энергия Е = О, твк гго г1„! = О во воск порялкэх 1/н-ратяожения. Положение точки классического равновесна ге и значение рс константы связи нулевого приближенна опрслгляютсв следующими выражениями (ср. с (4) иэ прелывушсй задачи): ! гсе'(ге) = -2е(ге)~ Оь = — г (1) 2гтге(гт) Длв поправки первого порядка по !/и получаем 2п,+1/ 1 ь 1 р!'! = — ~ы — — ! = (2п, + 1)(иге — 1)рм (2) 2в(ге) ~ гс! / где значение частоты ы дастся прежним выражением (5) с заменой в ием р рс, Мы проиллюстрируем применение полученных результатов на примере потенциала Юкввын! У(г) = -(Гс(22/г) ехр (-г/Л).
В этом случае ь/2-1 р„= ег - — — (2п, + 1)-+...~, 12 2т/г ' п тт ! Эемстнм, что е двииоа твдвчс роль поправки втоесго прнбвижсичя — в,„— бама сушсстесннв, и! чем в преамвтшсй. Глава 9. ггбозиклассическоо лриблигление в которой указаны также значения погрешностей шнг р: (! /н) ( сг Дм, соответствующего приближенна !/и-рюложснил, ср. с прелылушсй задачей. (4) тле е .= 2,7! В.... Сравнение етого разложения с точиымн значниями д~„,, полученимми численным решением рааиального уравнения Шрелиигвра, представлено в слелуюшей таблнпе Д1.
У(ятег~алм и илтшрольхме соотлошелол 1. б(л) = — г е' бй, б(г) = — у! е' бьв. 2х,l ' (2х)ь,/ Анааогичиос соотношение справедливо и для н-мерного пространства. ь ь Р(я) бв / Р(а) бе . ту фб Р(*д. в — хат(е *-ее (Д!.1) (Д!.2) (Д1.7) е (Д1.8) Д 2. МиеишУрвчеслие фувкяии Цилиндрическими функпиямн Я (с) наэывают решения дифференциального уравнения „гь Яь" (л) + — Б„'(х) + 1 — — 2„(а) = О.
(Д2 !) Функпии Бесселя ( !)ь ьм Ь! ь(Ь+«+1) Х2) (Д22) Здесь а < яс < Ь; с > 0 — бесконечно мало; у — интеграл в смысле главного значения; о вычислении минной части интеграла см, 13.11, 3. (д!.1) / Ьг хг ~ ье гг ' ~ Ьг 1„ хг х * н х — вешественныс, причем х > О; е > 0 бесконечно мало. Интегралы вычисляются с помощью вычетов замыканием контура интегрнровани» е верхнюю (прн в > 0) илн нижнюю (прн * < 0) полуплоскость комплексной переменной Ь. 4. у! -е' бьг= ь Ксх>0. Г!,м 4т (Д1.4) ,/ г Ь Ьх Интеграл (опрелеляюший при к = 0 фурье-компоненту кулоноеского потенпмааа) вычисляется в сферических координатах с выбором полярной оси ааоль вектора К.
сь б. яе (-1)" д" /' б» х(2н — 1)!! о > О. (Д1.5) (яг .!. ог)"ьг н! Вот,у хг Ь ог 2"иг амь~ ' М Х М х ь ь г 1 7. (и — с)(Ь вЂ” я)бе т — (о+Ь-2ь/ов), О < о < Ь. 2 Дополнение являя«гол частным вцвом цилиндрических функций. Если индекс и нс совпаваст с цеяым чпалом, то функции Бесселя 1с„(а) представщют два линейно независимых решення уравнения (Д2. !), так чта его общее решение Я,(л) =.С«1 (а)+С«Х „(с), и ф0,1,2,.... Повеаенн» функции Бесселя прн * 0 непосредственно слелуег нз нх определенна (Д2.2), в аснмптатнка прн э со имеет внц ««« "=(-') -(-----) (Д2.3) Функция Неймана Ыл) ш )г(с) = —. (осе(вв)1„(х) —,1 „(а)], 1 (Д2,4) ь!и ян Для целочисленных значений нцаекса и = и онн, Нч(а) =!пи ДГ„(с) прн и ~ я, являются вторыы, лннепна нсэависнимм с 1„(с) решением уравнення (Д2Л); прн этом 2 ул Не(л) = — 1п— *-ее 2 (Д2,0) (Д2.
11) Г(я) 12'ь« Ф„(л) в — — (-) влв и > О, (Д2.5) *- е «г ь ау здесь Г = е = 1,701 ... — постоянная Эйлера, С = 0,5772. Аснмптатика функций Неймана при * оа имеет вил: Ч« Н,(л) в ( — ) э«п (л — — — -).
С функипямн Бесселя н Неймана теано связаны функции Ганксля Нг'«(а) =,7„(с) + 1Х„(с)«Н1 «в(л) =. Х„(с) — !Ж„(л)« (1(2 7) а также модифицированные функнпн Бесселя 1„(*) и К„(а) (функцни Макдональда), опре- дсляемые соотнощеннямн 1 г 1„(э) = 1™1„(1с) = ~' й«Г(в+ Ь+ 1) 2 К„(с)= ]1 „(е) — 1„(л)], ипО,ж),л2,.... 2 ип а'и Для целачнслеинмх значений индекса К„(а) = ЬщК„(х] прн и и = О,ж!,иу,...; прн этом 2 (и — !)! /21" Ке(г) = «п —; К.(э) в ' 1-), н= 1,2,..., (Д2.
9) *-е тз' " -е 2 э(,су! ' сРавнить с (Д2.5). Суперпозиция модифицированных функций Бесселв и„(с) ы 8„(Ш) = С, 1„(е) + С«К„(г) (представляющая ццвннлрическую функцию мнимого аргумента) является обшнм ннэец«алом уравнения „«д й„'+ — о'„- (1+ — ) и„= О. (Д2.10) л " Ь с«) В заключение отметим, что с цилиндрическими функинями свпанм решения диффе- ренциальных уравнений 1 2ч«й и +ил и=О, и=и«эБ««1, ««( — э и+ 2 и"(л) + (7 е ' — и )и[с) = О, и = Я„(те*), (Д2.! 3) имеющие важныс квантовомеханнческяе прнложенна. Список литературы 1.
ЛандауЛД., ЛифшицЕМ Кввитовая механика. Мл Наука, 1989. 2. Бвахннцее Д. И. Осиовы квантовой механики. Мл Наука, 1983. 3. Даеыдое А. С. Кеаитовая механика. Мг Наука, 1973. 4. Сакалин А.А., Тернов И. М, Жуковский Л Ч. Кваитовзя механика. Мх Наука, 1979. 5. Егютин П. В., Криечетсое В.Д. Кваитозая механике. Мг Наука„!976. 6. Мессии А. Квантовая механика. Мг Наука, 1978. Т. 1,!979 Т.2 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
