Galitskii-1 (1185111), страница 71
Текст из файла (страница 71)
о = (иЕ)'Гтс. зс (иЕ)" (12) Подставив (12) в (7) (иристон о = 2гио/Ьз) н выполнив прсмльный переход и -~ со, получаем р = /2 ей и, согласно (Я), прнкгюнм к соотношению (11) дия потенциала с экспонснциальи ым убыван нен. Решение. Отражение частиц обусловлено, главным сбрюом, наличием особенности потенци- ала в точке э = О. В.ф., описывающая процесс отражения (и прохожаення) частиц, пышющих нв барьер, лля ояредглсннссгн, слева, в квазиклассичсскон приближении имеет анд — )ехр (- / рбх) +Асхр (-- /ргтэ) ~, я <О, О с ехр (- / рбл), э>0, с Ф~(э) = =,гчз-ьтч! ь ° ° чь -. *- ° ( ) = ~ г. Из условий непрерывности в.ф.
и се производной в точке с = 0 (при этом ввиду кэвзнклассич ности достаточно дифференцировать лишь зкспонснпи ельн ые сомнажитслн, как наиболее быстро изменяющиеся) получаем чр (1+ я) = .ур, е, з/р1(1 - д) = т/вге, ,. -чтзтз:ин.~ - - ь+, и расимы Гхг — -ГГ 12 Е(Е)=(/Е Е( .---",. (2) (,/Е-.37;+,/Е=.37з)' Подчеркнем, что при конечных значениях энергии спрвесдлныкть форнулы (2) ие прелполмэет малости Е(Е), Однако при Е оо из иее следует (7/т - 77,)з 1бЕз по соответствует результату теории возмущений, сравнить с 8,30.
9.28. Используя кеаэикласснческое приближение, найти сдвиг н ширину основного уровня в б-пме, (/ = -ад(х), возникающие прн наложении слабого однородного поля г' = -Есх. Сравнить полученные результаты с 6.36 и 6.12. 92 г. В каазиклассическом приближении найти коэффициент надбарьерного отрюке- ния частиц в случае потенциала, имеющего скачок в точке х ж 0 (см. например, рис. 26).
Сравнить с результатом теории возмущений нэ 8.30. Глава 9. /(Ваэнллассичеслоо лрпблилгелое Рнгвеняе. Рассматриваемый уровень при наложении поля отвечаем каазнстапнанариому состоянию. Полажение Ес и ширина Г каазидискршиых уровнед определяются условиями сушсствомиия решений у. Ш. для коыпяексиых значений энергии Е = Ее — зГ/2, имеющих при и +ос вил уюдлщей мины (если в каком-либо направлении лвижеиия У(а) > Ес, то в этом направлении решение является экспоненниально убывающим), сравнить с 6.36. В данной задаче решение у.
Ш. в квазиквасснческом приближении имеет вид ' гз! (си. Рис. 23): с А Гз à — ехр! — ! Р(я)дв~, ь < О, (1.!) ,/р(а) ( Л / С Г ! / ф(л) = — ехр! — — /! Р(я) Ая~, 0 < в < Ь, ь/Р( ) ( Л/ (1.2) с /! у ехр ! — у! Р(с) дл)~ я > Ь, (1,3) р( ) (Л/ ь ь А = Сехр(-- / р(х) Дя~, А+Сехр (-- / р(л)да~ = („— ) А (2) а е (при вмчнслеиин производи мх в. ф.
днффсрснпируются лищь экспоненциаяьные сомножителя ках наиболее быстро изменяющиеся в условиях кшзиклассичносги, см., однако, нные (6)). Отсюда получаем Лр(0) = !ша, или Е = Е! ' =- -гна'/2Л', что совпаввег с энергией уровня в отсугьтвии возыущения У = -Рея, Как вивно, в рассматриваемом приближении непосредственно не получены ии сдвиг, ни ширина уровня! Для получения сдвига уровня следовало бы воспользоваться более точны ми квазиклассическнмн выражениями лля в.ф., учитывающими слелуюшис поправки по Л, см. ниже. Что же касается шнримы уровня, то она исчезлв по та» причине, по в области барьера 0 < а < Ь была опушена эксионснниааьно убываюгная от точки а = Ь в глубь его часть решения.
Вычисления, оснощнныс не ее учете, несколько громозякимг, но их можно избюкать. использовав следующие соображения. Имея в внлу физический смысл Г как величины, определяющей вероятность Распвав системы (в данной задаче — прохождение чвстипы через барьер) в свинину времени: и = Г/Л, найдем в рассматриваемом состоянии плотность потока сирам от точки поворота я = Ь. Использув (1.3), получаем сд г, 0 д,'т (С(' у = - — ~0' — 0 - 0 — О'у! = —, 2ш 'Х д* д* у ш (3) При этом, если в. ф. нормирована таким образом, что частила с вероятностью ж 1 находится в окрестности ямы. то плотность потока непосредственно определяет перешивать Распада в единнпу времени, м = у.
Как видно нз (1.1) и (1 2). плотность вероятности (Ф~( существенно ОЗвго говоря, мпсрь точки сстанавюг из-за ширины уровня яваяюзся ксмпясксныни; оливке валлу зкспоиеииивльиол малсьтя Г ыо обстоятельство ас оглвнается иа условиях емиеахня решения. и! Вмаел формулы лаи миряны уровня гакнм слоссбои см. в (9, 6 2!. и >- ггйгг+ь4 ( бреженни нзирнноб р(я) — чисто мнимая величина, причем гр(я) < 0). Здесь использовано известное условие сшивания ращений в окрестности точки поворота я = ь, см, [1, $50), прн этом в (1.2) осшваено лишь экспонеипнавьио растущее в глубь барьера слагаемое.
Сшивание решения в точке л = О, см. 2.6, даст 0 3. Прохоэкдение через потенциальные барьеры отлична ат нуля лишь прн знзчсииях Г7 (я ~,( — = —, 'у' 2т(В! та" и ссаи при этом ! 1 ( 2пга(х! 1 1 пг а (Ф! ы — А схр 1- — 1 — 1, д = — у)р(0И ( л ) ' д (в рассматриваемом прнблшксини в.ф. в этой области савпадвст с нсвозмушснной полем в.ф. связанного состояния в 6-ямс). Согласна (2) имеем (2 1 та 1 1 (С! схр ~ — / 2т((Вг! — Рсз) дх) = А =— '(б / )- -л з пасла злсмснтарного интегрирования получаем зивчсиис (с!', в с нкм н ширину уровня й(С!' та' ( 2 т'о' 1 Г= — = — схрс -- —, гп д' ( 5др)' (5) Вернемся к вэпрасу о сдвпт уровня.
Воспользовавшись в (1) более точныни выражениями лля квззнклассичсскнх волновмх функций, см. (1, $46): = ' ("7-' '— ""Л") - М "1 с э и выполняя при сшивании решения в точке з = 0 лиффсрснцнрованис также н прслэкспа- нсицнальных ыиикнтглсв, монна получить угачнсннс формул (2) и нвптн 51 тзатрг та тр(0) .1- — — с = - —.
8 рт(0) Л Заменяя ва втором, папрввочнан члснс р(0) сто нсвоэмушснным значснисм (та/Я, игподим та' 5 Льрэг Ез = — — — — —. 2дт 8 тгаз (6) Второе слзгасмас здссь опрслсляст искомый сдвиг уровня (и палярнзусмость состояния) и савпаааст с тачимм Результатом второго поРядка тсарни вазнупмнип, см 8 12, а также 6 36, гдс савнг и огирниа уразия палучснм из точного рсшсння уравнсния Шрбдингсра. 9.29. Получить в кваэиклассическом приближении вырыкення для определения энергии Егм н ширины Г„квазистацнонарных состояний в одномерном потенциале вида, приведенного на рис.
ЗЗ. Каково их обобщение на случай, когда и слева от ямы барьер имеет конечную проницаемость (рис. 34)? Применить полученные результаты для вьыисления сдвига и ширины уровней линейного осциллятора, возникающих под влиянием слабой ангармоничности У = -Лез. 61 т'а' Р. — «(Всй т.с., Рз«вЂ” пю Ь~ (4) (аа и прслполагастся), та в р(я) можно опустить член с Рэя. В результате для в.ф., нормированной из спнницу в сушсствснноа области локализации частицы вблизи ямы, получаем Глава 9. Ебоэиялоссичесяое приблшпеиие г'2 г;г Рнс. 34 Рнс.
33 Решение. 1) В квазиклассическом приближении решение у. Ш. дяя квазистационврных со- стояний имеет андо! ехр ( — / р(х) Фх~, я<а,; з1п (- / р(х) Их + -), м 3 ехр (-- /рех) + ехр( — / рйх~, Ь, < х <аз,' С (з à — схр( — ) р(х) Их~, х) а!. ,ушх) (й у а< <х <ЬП (1.2) Ф(х) = (!.3) (!.4) Здесь (1.!) экспоненциально убывает при х -оо; (1.2) записано с учетом условия сшимння решения (! Х.4). Далее, в выртженмях (!.3) н (1.4) фигурирует один и тот жс коэффишыит Сы как зто следует нэ условна сшивания решения в окрестности точки х = аэ согласно ( !.
5 50). Пренебрегая в (1. 3) вторым, экспонеициально убываюшин в глубь барыра (ог точки х = аэ) слашеммм, дяя сшивания решения в окрестности точки х = Ь, иожно уже мюпаяьзоваться условиямн (1Х.З). Отсюда сразу прмходии к правилу квантования Бора-Зоммерфеаьла дая опрелсления Ез, — положений квазндискрстнмх уровней и к соотношению между коэффи- нментами Л „(17 С~ = — (-!)" ехр (-- ( )р(х)!ех)С. 3, еп 'См ряа общих ымсчаннй о рзссматрсння «аззасташюиврямх состояний в кзазнклассичсском приближении, елсзвним» з прсамаумей зваачс. В формулах (!) аи ьи аз яааяются зочкамн наворота. Воспользовавшись теперь значением )с( = ет)т(еы), обеспечивающим нормировку на елиниву в. ф, (1) в области лвижсння кяаесической частипы а, < х < Ьм и вычислив поток вероятности при * ) аэ (сравнить с предылушей задачей), прнхолим к слслуюшему выражению лля ширины рассматриваемых каазистамионарных состояний: г„=й „= — = ехр~-- ~ Вз)ех~.
ЬО(Еы) йм(Еы) 1 2 Г Т(Ее„) 2я ( И 3 (2) В( Отметим наглядный смысл ы„здесь: вероятность поабарьернаго вылета частипы из ямы в сдинииу времени рвана числу ударов !!Т о барьер классической частнпы в слинипу времени, умноженному на кваитовомехаинчсскую вероятность проникновения череп него при однократном столкновении. В таком виде вьйзажсннс яля ширины уровня имеет более широкую б 3. Прололгдение через логленниальные борьеры (р(в)) 1* = / дэ. (3) Для его приближенного вмчнсления разобьем область интегрирования на две: от е, до й н ог й до х„где величина И прсаполашется удоаеспюряюшсй условиям Г Е т — <к л < —. ггт ~2 Л (4) При этом можно в первом интеграле рассматривать как малую поправку Лэз, а во втором— слмаеное с Еы н выполнить разэоженнс по этны пврвыстран. Поступая текин образом, нвхганм 3 Ф ,-'/ь~" „-'/(ф 7: ж- ~ ) В Ем Е,„2 'й' ЛД' — — — — 1п 2й 2йы 2йы Ес, 3йы' (5) ез з|ь -'/н ° „-'/(тгн ч:»*'- з ' а.
ш — — — + — — — 1и —. (6) 15йЛт 2Д 3йы йы йЛ Сумма выражений (5) н (6) определяет показатель экспоненты в формуле (2), в с ннм н нсконую ширину уровня (йрн этом вселенная лишь лля удсбспм вычислений величина Ф в окончвшльнмй результат йе входит): ° нгз (7) высь Ет„заменено невоэмушениым значением йы (н + 1/2). 9.30.
Оценить проницаемость центробежного барьера и йоелгя эгизни кваэистационарного состояния частицы (связанное с шириной уровня соотношением т = Л/Г) в корспкодействующем потенциале 7/э(г) радиуса г,; энергия состояния Е «й /гпгт. Решение. Квчсстаснный внд эффективного потенциала й'1(1+!) Ц те Цэ(г) + т приведен иа рнс. 35; нв палых расстояниях г О н в обласпт значений г > гз доминирует центробежнмй потенциал. Прн этом Уэ > й'/гягз, так как в противном случае *мелкой» ямм как истинно связапнмх, с Е < О, так н квазнстацнонарных, с Е > О, состояний не сушес гвует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
