Galitskii-1 (1185111), страница 66
Текст из файла (страница 66)
х (4) Так как поалелнее алагаемое выатупает здесь как поправка, то, запнсав Е„= Ев з + ЬЕ„ где ЬБ„— связанное с ннм изменение энергии уровня, н вмполнив в левой части разложение по ЬЕ, (сравннть с 9.3). получаем Лг дг ' (У'(а))гд (5) (в правой части (4) изменением энергии уровня можно пренебречь), чта совпадает с пряве. ленным в уславни задачи выраженнем. Рассмотрим некоторые прнлшкення формулы (5). ))ля асииллятора имеем У' = ти'*; прн этом (У')г = тш'Е н так как Т = 2я/ш = сопзг (не зависит от энергии), то находим ЬЕ„ш О. Зто — есгестасннмй результат, так как двя осцнллятора правило Бора — Зомыерфельаа воспроизводит точный спектр и более высокие поправки по Л должны отеугспюаагь.
Для осцнллятора а ангармоннчностью Ря', выполняя в формуле (5) сгюгветствуюшне разложения, находим дхя линейной по Гу части сдвига значение ЗГУЛг ЬБ Лтгшг ' объединяя которое с выражением (3) нз 9.!О, приходим х результату лля поправкн первого и! порядка теории возмущений Е( г, совпадающему с точным. Аналогичным абршом для ангармоннчности вмда У = илг по форыуле (5) пощчаем Угггбг ЬЕ, = —— ! бтзмх 2гп Х' = — (У вЂ” Б.) — Х Л (6) г ~Обрашшм виеиаихе на неабхалинаеш амбара в интщшххх квазхкхаесичеахага решение (2) е качестве верхнего прелела интегрирашиил тачки аашнавки в Ь.
для квадратичной по и часты поправки, которая совместно с вмраженнем (3) нз 9.12 шюпроизвоант тсчимй резульгвт второго порядка теории шимушений. 2) В заключение укажем еще один способ вмчнсления квазнклассическнх поправок более вмаокого парадиз по Л в правнле квантаваннв. основанный на нсаледованин эквивалентного уравнению Шрелннгера нглннейнога уравнения Глава 9. Ебоэиллоссичеслое приближение для лошрмфмнческой производной а.ф. Х = Ф'/Ф. Прн этом 2ш(у/(к) — Б„) Х= " -Х'(.) Л (7) (о выборе здесь знака см. ниже). Интецтируя сшжмошсние (7) по контуру, проведенному в плоскости комплексного переменного и так, что он охватывает в!резок вещественной оси между точками остановки а и Ь, н используя теорему о вмчсгзх, получаем Хдп=--иэз 2ш(у/-Б„)-Л Х'бэ=2тэн. ! / т г ЛУ (8) Х=Х +Х +Х + н найти Х = Р(к), е Л шУ х(п (9) 2Х'П 2рз ' - чгта - зяу ° , с ° ° зч точкаии ветвления, /)яя однозначного определения р„между ними слслует провести разрез вдоль отрезка (а,Ь) на вещественной оси е.
При этом иа верхнем берегу разреза „> 0 (на нюкнем уже р < О). Заметим, что можно записать р = -т 2из(У *) - Е„), где фаза У(а) — Е, справа от правой точки остановки Ь на вешестаенной осн и выбрана равной нулю; это соглвсусгся с выбором знака в (7), твк как Х < 0 при * > Ь. Подчеркнем также, что точки остановки не яязяютсл особымн точкамн (точками ветвления) дяя точного решения Х(е)! Подставляя рюложение Х в формулу (8), пояучаем™ з / ( ! Л Оз /(Ьи( ))з — ~1 р„дк = 2к~п+ + — — / — ли+...).
Л/ ( 2 2екдЕт./ р(а) (!О) тт! теперь «ашур иитеширсшиия уие маинодефориизозать так, пабы сн непосредственно охеюывзл стрсюк (а,ь) зсшсспиииоа оси. позчсрюгс», что аизхитичсские сзоястэа точного ранения и сто «эазихлзесхчсского разложения — развязные! Здесь учтено, что полюсамн функции Х(*) яюшюгся нули в. ф., число их равно и, а вмчет а кажлом из полюсов равен ! Соотношение (8) является точным (дпя аналитических потенциалов) и справсалнво при досппочно произвольном выборе контура С.
Однако для дальнейших преобразований удобно сначала выбрать его не слишком близко ст отрезка всшествениой оси между точкамн остановки. В этом случае в выражениях (7), (8) на контуре интегрирования слагаемое с Х' выступает как поправка. Действительно, непосрсдстшнно вблизи отрезка (о, Ь) нз вещестэсииой оси функция Ф(а) имеет осциллируюший характер, Ф сх мп ((т/л) / рек+ у) и величины х' и Х' — одного порялка. При удалении же в комплексную плоскость а волновой функции ° вмживаетт лишь одно, растушее экспоненпиально слагаемое (сравнить с (!)), Прн этом Х = Ф'/Ф уже ие содержит быщю изменяющегося множителя и производная Х' оказыэается малой зш!ичиной порялка бд/ца « ! по сравнению с Х'. Соответственно в этом случае уравнение (7) можно решать последовательными итерациями О 1. КВпнтобпние знерлетичеснола спектра Злссь учтено, чгои! Х" й* = -- ф ай! р(з) = -Ш, ! Г 2У а прн щмабразаваннн интеграла от Х!'! выполнено интегрированна па члсшм в сявглемом с Х!'! к использована соотношение (Гр)з ! б' /(и)з 2 рз /(П')т — йе = — — — аз = — — — — йю рз Зтт РЕ! / р Зтз ОЕ! / р » Правила квантования ( 1О) совпаммт с полученным выше другим способом саатнашсннсм (4).
9.14. Для потенциала притяжения, имеющего при г О вид (Г = -о/г" с и > 2, вознипает «падение на центр» (см. (1), б 35). При этом иа малых расстояниях оба независимых решения радиального уравнения Шредингера ведут себя одинаковым образом (сравнить с Вг сс г' и сс г ' ' для регулярного потенциала с и < 2), и, на первый взгляд, не воэникаег квантования энергетического спектра, так как только одно условие убымния волновой функции в классически запрещенной области при г со может быть всегдя удовлетворено.
Используя «обрезание» потенциала со стороны малых г в виде непроницаемой сферы радиуса га, показать, что квантование спектра возникает, но в пределе гс ~ О для однозначного определения этих уровней необходимо фнксиро»втьп! положение одного из них (для каждого значения !). Получить правило квантования спектра и выяснить соответствующее ему дополнительное условие, накладываемое на волновую функцию при г -» О.
Найти также энергетический спектр в потенциале У = -о/тз в условиях «падения на центре. Решение. !) Наибалм абшлс рсшснна рмиальнага у. Ш. в кв»зиклвссичсском прибяипснии в аб»зти фннптнаго лвимсния частицы. прнмыкаюшай к началу каарлинат, нмсст внд (фм = 21 Хм/г) Х„= — Мл(-з! Рйг+т/, Р=й — — — -и.
Зассьм! а = 2п»п/йз н Е = -йзх»/2»п. Так как интсграл в (!) прн г О расходится (н > 2), то абв нсзавнсимыс решения ведут ссба прн этан олинвкавым образом — с бссконсчнмин аснилляшшми синуса — н сбсспсчивают а»адимасть нормировочного интеграла нв мальм расстояниях. Соатвстственна прн произвольном значении Е выборам пврамст!и у всегда манна добиться того, чтобы в.ф. прн г са убмввлв в клвсанчсски звпрсшсинай абл»сги. Отсюда, нв первый взглвд, п слсдуат ам»ад аб отсутствии кввгпаввння энергетического апсктрв. Однако ан является драил»врсмснным.
Тонкость здесь в том, что условии ганагс»ряз»гила»а раси»где»ял апсрвтарв Гамильтон» в рвсамвтривавмам случае как рвз и ограничивают апрсдсяснным образам возмапнмс значения парам»тра у. Это обстоят»льства особенна н»гллдна праявлястся, сали прсдаарпыльна «верстать», как уквюна в условии, патсипнвл нв малом расстоянии г» н затем псрсйтн к пределу га О. И! Пр» юаи нспалыаынл формул» Ьл = !и !4+ г»гвл п учмна, чта фвз» р(з) яр» сала»» моль «птур» пкт»гр»раз»пи» изи»плата» нл 2» (пр» аб»адс мпвнл кз «арп»вмл тачек в»тамп»я н»б»г»лт флзл, р»зи»»»). з! Зл»сь пра»власия та абати»тс»ыт»а, па гзиильюи»лн «пм»тся »вмята»мм, на и»с»наса»ран»нпмм ап»рвгарам, гм. !.29. Да ° сга слмссаюмпаи нага р»сю»вснп» нсабходпиа»зглл »на лап»ли»тельною упюлня, чта е зкв»»»липпе фиксираз»ккя пала»»»»л адис»а»з ура»н»л.
»П Для нм»я»наст» счвт»»и, чта памнюгм»ьнст мм У = -а/г" ва»л»м праединстве (прнч»м и > 2). паимркнли, па з»»чаши»»пн»га шилм»»им»пирам»»я а з Щ нс свямна с.ючкав па»азат» и мак»т быль виар»па пранз»а»»ими аерюаи. Глава 9. Кбозиллпссичесяое приблихгелие Прн мелом, но конечном ге имеем Граничное условие Х(ге) = О. При этом в (!) сеещет положнть в ю»'е н 7 О, после чегс, ЮНГ Обычно, приходим к правилу кавнтоВЗНИЯ » 3'З бг =.й (., + — ~ 4,С (2) (сравнить с 9.2). Спектр энергетических уровней, следующий из правиле квантования (2), щвнснт от выбора ге и по мере уменьшения ге облапмг двумя характерными особенностями.
Во-первых, уровень с паиным фиксированным значением п, опускается вниз, причем двя него Емг -оо при ге О. Во-вторых, в какой-либо определенной энергетической области Е < Е < Е+ ЬЕ (с Е < 0) появляются новые уровни со ьее большнмн значениями и„ так что лля ннх п, -» со при т, — ° О. Хотя положение этих уровней зависит от ге н прааела для них прн ге 0 не существует, тем не менее расстояние между соселннмн нз них (в указанной области) — вполне опраасленное и рвано йы (е„,г), как обычно в квазиклассическом прнбюпкении. Таким образом, энергетический спектр рассматриваемой залачи при значениях Е < 0 является дискретным, однако нужны дополнщельиые условия, однозначно фиксирующие положение уровней (сам по себе потенннав этого не обеспечивает, в отлично от случая и < 2), Нетрудно заметить, что задание положения лишь одпопз уровня (при каждом значении момента П полностью опрааеляет весь спектр.
Лейсгвнтедьно, написав аналогичное (2) выражение скрутим значением 6, радмпльного квантового числа н юяв из разность, приходим к соотношению, в котором уже можно пояоюпь ге = 0 н получить условие квантования, определяющее спектр, в виде (с 0): » у (3) п =0»з1,.... Здесь произведены следующие пересбозначення; Е„,~ заменено на Еы и Е-, на Ен, а танке введено квантозм число и м п, — п„характеризующее порядок расположения уровней по отношению к фиксированному уровню Ен. Задание Ен определяет весь спектр, при этом число уровней бесконечно, так как значения и ие ограничены снизу и Е,Г -со прн п -» -оо в с»ютаетствни е наличием «падения не пентр». 2) Обсудим связь правила квантования (3) с ограничениями ив волновые функпнн (1), ему щютштствуюшмми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
