Galitskii-1 (1185111), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Теперь четные уровни (19) слегка сдвинула вверх относительно нечетных уравнен. Однако в дополнение к ним поваляется еще олин, «глубокий» уровень Е«+, длв которого из уравнении (1В) накодим 1 Ров + 2 1л (!(Г)се) (б) и соответственно г з та (21) Именно этот уровень (без а„ ) опнсывасгсв формулой (6). Определив из исто значение е! параметра )9, согласно выражению (19) можно получить спектр четных возбужденных уровней продольного движения лпл водородополобного атома в сильном магнитном поле. ГлаВа 9 Квазиклассическое приближение". 1/Ж-разложение в квантовой механике Два независимых решения одномерного уравнения Шредингера" (П.1) в квазиклассическом приближении имеют вид з бл(х) = — ехр (+ / р(х) б*) ,ГР(х) л,к -Ф лл-гн!г Условие применимости этого приближения — уловив келзикласичнлсти — предполагает выполнение неравенства Общее решение уравнения Шрбдингера в квазиклассическом приблилгении является некоторой суперпозицией волновых функций (1Х.
!) (!Х.2) гул(х) = С, йл(х) + Сг'т'В(х) Однако обычно всегда имеютсв такие области значений х, в котрых условие (1Х.2) нарушается (напрнмер, вблизи точек остановки). В связи с этим возникает проблема" сшивания квазикласснческих функций, отвечающих олному и тому же решению уравненив Шредингера по разные стороны ог таких областей.
Часто применимы условии сшивания, основанные на линейной аппроксимации потенциала в окрестности точек остановки классического движения (/(х) (/(хо) — Р(хв)(х — хо), Р'(хе) = -(/'(хв), Р(хо) = б. '! Кввзиклвсснчсское прка»ивонне нвзмввют тенко нсмсазн ВЛБ (нлн ЗКЛВ, азмнге(-КюнммВпвоюп). З! Напомним, что у.
Ш. ллн чсьтннм в иснтрвльном пстсннивле скопится к олномерному, см, (!цз), Олнвко при этом возникают опрелсленнмс оелоннсния ввнмг пояммннв в эффективном помннивле слвгвемою с пмпробенноа эиергисв (ггг(г) = аз((! +!)/2югз, которос нврушвст условие применимости кввзиклвсеического приблннения при г В, твк квк в этом случке бз/Ф к г ~П го. Овин из зффскпгвнмз способов прсололснив этого эпрукнснил связан с нсполыоввннси лргсблсзоссеел Лев»ело, коюрос мм обсулнм нимс. Л Ее рсюение требуема, в чвспюсг», лля учете грвничнм» условна. При этом предполагается, что на таком удалении от точки остановки хв, где еще справедливо линейное разложение потенциала, уже выполнено условие квазикласси н (!Х.г).
Г(базиклассичеспое про ближение Для самой правой точки остановкн, типа х = Ь на рнс. 29, онн имеют внд С ( 1 Г Ф(а) = ехр ~-- / (р(х)(йх~, х > Ь; 2Я (х)) й С, (1 Г Ф(х) = — пп ( — Г р(х) ах+ — ), х < Ь ,(Д,> (Л З 4)" (так называемые угле«ля сшивании Крамерса.) Для левой точки остановкн, х = а на рнс. 29: е С~ ( 1 Г Ф(х) = екр ( -- ! (р(х)(с(х~, х < а; 2тГ')р(х)( ( й,( С!, (! Г г) Ф(х) = зш [ — ЗГ р(х) бх+ — ~, ь > а, л~я е В случае потенциальной ямы приведенного на рнс. 29 вида, дпя дискретного уровнв Е = Ее нз условия совпаденнв выражений (1Х.Зб) н ((Х46) (опнсывающнх одно и то же решение у Ш.); кратности к суммы фаз (г(х) синусов в ннк, следует лраеиеа кеаишоеаипя Боров Заннерфельс)а'! Е й/ 2 (Ея-(Г(х))ех= '~ +-) (!ХЗ) 2)' и = О, 1, 2,....
х Хотя формально квазнкласснческне правила квантовання определяют спектр Е„лишьдля п » 1, обычно в случае гладких потенциалов результат н прн и 1 имеет достаточно высокую точность. Днфференцнрованне в (1ХБ) по и определяет расстояние между соседними уровнями ((Х.За) ((Х.ЗО) ()Х46) а Ь Рис. 29 дЕи ЬЕи щ Е„т, — Ея ш —" = йш(Е„), бп где ш(Ея) = 2я/Т(Ея) — частота движения класснческой частицы с энергией Е„, Т вЂ” его период, см. ()Х.т) ннже. Для волновой функции связанного состояния обычно можно попользовать следующее простое выражение (сравнить с (1Х.З, 4)): «1 Ф ( ) /~~) ~,/ ) )' ' (1Х.Ь) е О, х<а, х>Ь, е! В боем евшем случае, котю иепримеиимм усяоеия сшиеяиия (гк.з), ((К.е), ореяяя чясзь е прзеплс кееитоееимя резке «(» 4 и), тле кешикеяссичсске» попряеке о ! именно при коррехтиом сс учете сбяестьпримспимости кемикеессичмкопзрезультете обмчио зеемс«им«сепо тиечеиип и ! (е прошзиом оочес происхолит супмстесииея потере точиосзи леле яля среяииняьио бояьмих зиечеиил я 1Е).
Глава 9. Кбоэиялоссичесиое приближение пренебрегая возможностью проникновения частицы в классически запрещенную область, где волновая функция зкспонеициально убывает. Для нормировки в.ф. на единину следует выбрать Ст =, Т(Е„) = — = 2т / . (1Х.7) т 2пты(Ен) 2а Г бх х ' ы(Ен) э' «(х, Е„) а т Квантовомеханическая плотность вероятности ~ Ен(х) ~ как функция х быстро осциллирует, так как и ~ 1.
Однако после усреднения п по небольшому интервалу значений х этн осциллянии исчезают и плотность вероятности принимает вид т 2гп 2 Т(Е„) р(х) Т(Е„)и(х) ' что соответствует классической егралшиости 2 2 Ию „,(х) = — тй = — —, о < х < б, Т Т(Е) е(х)' (1Х.8) определяемой временем бг прохождения частицей интервала Их, отнесенным к половине периода. Обратим внимание на слелующее обстоптельсгао: прн вычислении нроизводных от волновой функции следует дифференцировать лишь тригонометрический множитель (синус нли косинус) как наиболее быстро изменяющийся. Одним из вюкных приложений кваэиклассического метода валяется его применение для вычисления проницаемастей различного рода потенциальных барьеров. гг< Так, проницаемость барьера, указанного на рис.
30, в квазиклассическом приближении описывается выражением Г 2 11(Е) =ехр~-- / (р(х,Е)~бх~. (!Х.9) ( «,/ рнс. ЗВ Условием применимости этого вырюкения является большая величина в нем показателя экспоненты, так что 21 « 1. Формула (1Х.9), как и (1Х.5), предполагает возможность сшиванив квази классических решениЯ в окрестностях тачек остановки, основанного на линейной аппроксимации потенциала. При нарушении этого условия квазикласснческий результат (1Х.9) справедлив лишь с точностью до предзкспоиенцнальиого мио:кителя (но передает главное: экспоненциапьную малость коэффициента прохождения барьера) .
Преобразование Лангера 1) В уравнении Шредингера (1Ч.5) дпя радиальной функции Хш(г) из-за центробежной энергии в эффективном потенциале (здесь и ниже « = пт = 1, Е = «т/2) и~()=!У() 1(1+!) (1) Я Оно сэолн ын к эвменн Пн т!...1 его среаннм значннннн, рвннмн 1/2. Кбозикяоссмческое ирибкшкение 249 доминируюшей при г - О, квазиклассичность на мальм расстояниях нарушаегса, так как в этом случае НЯ(т)(йг сс г Цз -в сю, Для преодоления этого осложнения Лангар предложил использовать преобра- зования независимой переменной и волновой функции т = е*, ф(а) = е 'пххг(е*), -сю С я < оо, (2) при выполнении которых радиальное уравнение Шрелингера приводится к виду +р (к)ф(к) О р (я) [й -20(е*ие в м у 1 ! (3) 4 Ф(я) 3 2 з * зв 2 ця' 2 Оно сохраняет форму одномерного уравнения Шрбдингера, лля которого, что су- щественно, подбарьерная область я -оо (соответстауюшая г — О) уже является областью квазиклассичности.
Это обеспечивает, в частности, правильную зави- симость квазиклассической радиальной функции от углового момента на малых расстояниях. Действительно, прмменение формулы (1Х.4а) к уравнению (3) с ис- пользованием (2) дает Хв~ (г) = ехр(- / (рь(г)(цг)~=ел! (г~'+...), г О. (4) ~!рь( И мтт ьн Рь(г) = [Й вЂ” 2У(г) — — ~ гз~ (5) Применение правила квантования Бора-Заммерфельла (1Х.5) к уравнению (3) и последуюший переход в нем к переменной г приводят к условию квантования ~ ра(г)дг = яй (п, + -) Г (6) с квазиклассическим импульсом рь(г) (5).
Как видно, хотя для уравнения Шредингера с потенциалом (1) кваэиклассичносп, иа малых расстояниях нарушается, тем не менее условие квантования его спектра описывается обычным выражением (1Х.5), в котором, однако, в центробежном потенциале выполнена следуюшая замена'>: !(! + 1) (! + 1/2)з (которую называют введением лолраеки боксера). Однако, строго говоря, применение к уравнению (3) условий сшивания Крамерса (используемых при выводе правила квантования (1Х.5)) является необоснованным. Дело в том, что в случае и ! дла этого уравнения нельзя использовать условия сшивания (1Х.4) в окрестности левой точки поворота я = а, основанные на линейном разлохсении потенциала: обласп неквазиклассичности здесь сушественно шире.
В этом нетрудно убедиться уже на п имере свободного движения, У = О, в котором согласно (5) р(я) = и ез!» '! — 1, а = 1п (и/к) — точха остановки. При (и — а( < ! имеем р(и) гс от/2(я — в) и условие квазиклассичности (1Х.2) принимает вил и ~Ю ~ )к — е! К!. (6) я Эвмвтям, мо яоявоя Лвмгврв ярммвммм в авя в-совтояммя. Здесь г = е' — левая точка поворота, а кваэиклассический импульс описывается выражением Глава О. Квоэиялоссичесиоо приблигисние Зти неравенства одновременно выполняются лишь в случае и» ! (т. е.
!» 1), когда центробежный потенциал становится квазикпассическим. 2) Обсудим модификацию условий сшивания Крамерса для квазиклассических решений уравнения (3) в окрестности левой точки поворота х = в в двух следующих случаях. Сшибоние при больших энергиях С увеличением энергии точка поворота в -аа, при этом г - О, и в уравнении (3) можно опустить слагаемое с потенциалом (7(ее), после чего оно решается в функциях Бесселя, что позволяет сшить квазиклассические асимптотики ф(х). Это приводит к следуюшим квазиклассическим выражениям лля функции Хш(г): соз ( / рк(г)т(г — — ), г ) г, /р( ) Х/ 4/' ' С' схр ~ — / )рк(г)! т(г), г ( г, т/(рь(Г~) (7) Хв2(т') = где'! Х„,2(г) т с„,(г+', г - О, (9) сРавнить с (4). Точное значение се, ллл осциллЯтоРа согласно задаче 4.5 Равно (ея) с, = 2 (е*) /-Г(! (.
нт + 3/2) т(г, 274 и (!0) ъ/п,! Г(! + 3/2) а квазиклассичские значения описываются выражениями нее» ! 02 (т! — ье(„)с(ь) (ф ! 1 е ~ ту!игр —, + ! + 1 (11) нл п,т,! ( я ( + 1/2)я.е!(гиле! ~ т! Вмвся этпк сап«пшенка и пк папаше««я — ем. Вяреякве Б. М., Мур Л.Д, Пеппе Д С. ЖЭТФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
