Galitskii-1 (1185111), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Эю особенно наглядно винно при значении ао = ао. Физическая выделенность этого случая определяется тем обстаятельатзом, что в и. н. р. имеется «мелкий«ртыьнмй (лри ао > 0) или онртуаоьный (лри ао < 0) уровень с энергией Ео Ш -йг/2«пао», аРавнмть с 4 11 и ! 3 49, такого же лоРЯдка величины, кэк н У РассматРиввемых уровней в потенциале У(«) (так что возникает свасобрезнал резонансная ситуапия).
В заключение заметим, что в. ф. (1) относится к случаю Е > У(0), который только и может реализоваться в отсутствие п. и.р. При налмчми и. н. р. следует Рассмотреть и значения Е < У(0). Прн игом в.ф. при г > 0 описыеаетсн убывающей «квазикзассической экспонситай» вместо (1), Кек легко заметить, такое решение существует лишь при значениях ао > 0 и отвечает энергии Ео — — -Лт/2шаот + У(0), описывающей сдвинутый на У(0) уровень д. с., имеющийся в изолированном патеипиале нулевого радиуса.
9.4. В каазиклассическом приближении исследовать энергетический спектр частицы в симметричной потенциальной яме Уо(х), Разделенной 6-барьером аб(п), так чта У(п) = Уо(я) + и 6(к). Рассмотреть предельные случаи а) слабо отражающего, 6) малопроницаемога барьеров. Решение. Удобно ра шсльно исследовать спектры четных и мсчетньш уровней /(ля нсчетньш состояний Ф(0) = О. При этом, имея в виду условия сшивания для 6-потенциала из 2.6, замечаем, чга производная в. ф.
непрерывна в тачке е = О. Поэтому частила в нсчстньш состояниях не «чунствует«6-лоте«шкала, а спектр нечетных уровней опрсаеляется правилом квантования (1Х.5) шш значений и = 2Л + 1 (здесь Л + 1 — порядковый номер нечетного уровня). ь. 51 2щ(Е« — Уо(я)] «!л = лй (Л+ -) . 4) 2(ля четных уровней условие на скачок производной и, ф, принимает вил Ф~(0+) = (шо/Л') Ф(0).
Используя при е > О лля в.ф. выражения (!Х.З), находим « « (1 я1 тпа (1 Г я1 -р(0) саз ~- ) р(е) лк+ -)! = — ип ~- ) р(е) де+ -~ ~Л) 4) Л (Л ) 4 ] о о 01. КВинтобоиие знераетического спектра 205 (ввиду ктзиклассмчности достаточна Лиффере(шировать па в лиШь в аргументе синуса). Отсюда, ввшш !в у = то/р(0)й, получаем правила квантования дпя четных уровней с и = 2п: з, 1 1 то 2т[Езг - Уз(х)] да = кй ~й+ -+ — агс(й ~ /. (2) 4 (г р+(0)й/ з При а = 0 ана воспроизводит спектр чстиьш уровней Е+, в потенциале Уе(л).
В случае то/йрз~(0) ч, ) сдвиги этих уровней малы (многа меньше расстояния мсжлу иевазмущенными уровнямн). Записав Езз = Е,+, + ЬЕзь и выполнив под интегралам разпожснис рааикала (сравнить с предыаушсй задачей), получаем 4та (5Ез' = (5) ( Ы(/(=(к. - М1 ' что совпадает с о]фе~„(0)] и соответствует результату теории возмущений дпя !г = об(*); зассь Т(Е,,) и Фз,(0) — период движения н в. ф при е = 0 в потенциале Уе(х) дяя четных состояний (см. (3Х7)). Рассмотренный выше случай соответствует слабому отражению (Е < 1) ат б-потенциала, коэффициент прокозшенна каторага ревел (см.
2. 30) -( У(,)=(1+ —,) . С увеличением и сдвиги четных уровней возрастают и при знэченияк лзп/йр+(0) Ъ 1 они сближаются с соседннмн сверху нечетнымм уровнями. Это — случай малопроннцасмага барьера, а > О. Подставляя (((.;((=дч(~-- .((( в правую часть в сшпношсиии (2) и используя разложение аю(В л м х/2 — 1/х при х ~ 1, находим, согласна (2) и (!), расстояние мыкду соседними четным и нечетным уровнямн в этом случае: 46т бЕ, ш Ез — Е~е ы 2т[Š— Уе(0)], (4) теТ(Ез ) или, учитывая выражение для Ю(р), бЕз = — Э'Г (Рз(0)), т(Е ) (5) Здесь т(Е, ) = Т(Е, )/2 — период класснчсскагодвюкения частицы с энергией Е, в потенциале Уп(х), разделенном нелроницасмыы барьером (прм * = 0). В таком виде (выражение (5)) формула дпя расщепления уровней в симметричном патенпиапс н(юит общий характер и слраасдпива дпя мътопроницасмаго барьера произвольной формы, см.
[1, 0 50[. Полученные результаты справедливы н в случае о < О. т.е. лля б-ямы. Оливка теперь чстнмс уровни смещаются вниз, и в случае из[о[/йр+(0) и ! четный уровень (с номером э+1) сближается уже с нижним соседним нечетным уровнем (с номером Е). При этом основной уровень Е~г(п) с увеличением [а[ аблэласт апедующим спойатвом. Понижаясь, аи сначала достишст значения Ез (оз) = Уз(0), а при дальнейнгсм увеличении 1п[ пережщит уже в основной уровень в б-яме, слвннутый на Уз(0) (сравнить с замечанием, сделанным в канне решения прсаьшущсй задачи).
9.5. Для частицы в потенциале притяжения, имеющем на малых расстояниях кулоновский вид У(г) т -о/г, получить в квазикласснческом приближении волненью функции и правило квантования э-уровней с энергией [Е[ С имзт/йт, Применить полученный результат к кулоновскому потенциалу У = -о/г и к потенциалу Хюльтена У = -Уе/(е'/' — 1); сравнить с точным выражением для спектра, см. 4.8. Глава 9. КВоэиклоссическоп лриблизкение (2) (4) ггг 1Прн мом счктэзтся, чта не текет расстояниях сшс яа-прежнему У и -а/г, лричем значение Е агэсчест сгрхяиж уровням, с е > 1, е текам истснпнелс.
'«1 инсино зтст случай к представляет сэмсстапсльнмл интсрссг при ! ъ 1 кеитрсбсжннп берьсв лгг(1 ь Ц/ага уже яиыется «вюиклвссическнм н можно еаспазьзавыъся усзовпямн сынееиня 1!х.4), см. гвкжс слелуюгеую задачу. Ремесле. Оссбсннсстыалачи состоит в том, что при решении рааиэльнопг у.Ш. лля функ- пин Х = гА, см. (УУ5), на малик расстояниях, г О. квазиклассичиость нарушается.
действительно, прн этом р(г)ш 3/2аа/г и й/й а г 'Л са. Поэтому, чтобы учесть гра- ничное условие Х(0) = 0 в правиле квантования,следует найти точное(иеквазикяассичсскос) решение у. Ш. на маеых расстояниях н сшить его,с кваэикласснческим решением (1Х.3). У. Ш. на малых расстояниях принимает вид Х" +(а/г) Х = О, где а = 2ша/й'. С помощью подстановак х = г/гр и з = 2ггаг получаем из него лля функции р(э) уравнение Бесовая с г =! и с учетам граничного условия в нуле, Х(0) = (0), нэхааим Х(г) = Аг/гэ, (7г/аг ).
(1) Асимптатика этой ф1шклии при г/аг 2 ! имеет вид гл Х(г) А — ) ип 2г/аг г— — 1. т ига/) 4/ теперь замечаем, чта для значений г из интервала а ! г< —, — «,/; (Е(' Л уже (АД/йг! (аг) Чг < 1, т.с. применима квэзикласснка гг. Квазиквассичсскас решение у. Ш. С /! Г ып ~ — ~ р(г)дг+ у), р(г)= 2ш(Е-У(г)) (3) Гр(.) ~й ~ е иа таких расстаянияк принимает вид (при этом р(г) ш йь/а/г) Х 1л /гй Х (г) ~ — г/! пп (2~~~+2), и из уславмя совпаасния его с точным решением (2) находим т = -к/4 (сравнить со значе- нием т = к/4, следуюшим нз условия сшивания юизиклассичсских решений в окрестности левой точки поышата э = а в (1Х.4), основанного на линейной аппроксимации потенциала, а также с т = 0 в условиях зааачи 9.2).
Наканеп, условие совпадения квазиклассичсското решения (3) при т = -к/4 с реше- нием (1Х36) (с заменой Ф(с) на Х(г)), обеспечивающим выполнение граничного условия при г со, обычным образам (сумма фаз синусов в решснши должна быть кратна к) лриышит к правилу квантования з 1 Г «( 2 (Ечс — У(г))А =к(п,+ !) (5) з Для кулановскош пашнниала, У = -а/г, отсюла находим ша уйг(п + 1)г что совпадает с точным результатом. Читатслю предлагается убсаипсв в том, что дкя потсипиела хюльтсна из (5) слслует также точный результат лля спектра е-уровней (см. 4.8), 9.ем.
Для центрального потенциала вида, приведенного на рнс. 31 (ограниченного при г -ч 0), найти в квазиклассическом приближении радиальные функции стационар- нык состояний частицы с моментом'"' ! 1 в области классического движения. О 1. КВонтобпние энергетического спектра (2) ь 1 /' ! ! Г ЗХ Аг = я (п, е — — -т/ (ю+ 1) + — ), (4) 2 2 4/ 2) Отскпв лля сферического асцвиштора, У = пел~~ т/2, воспользовавшись значением интецмла 1 к (Ь вЂ” з)(с — а) Ал = — (а Е Ь вЂ” 2ЙЬ ), и 2 находим Ю„л = Лм (2и, +1+ 3/2), что совпадает с точным выражением лля спектра, см.
4.5. 'з! Формулы (1! тиесятся к еянеисриоиу у. ш. с пстснпиалом У(г) = а/гт + Уе(г), пи Уе(г)— плавная функаия г. Дая иентрсбежноге патсниинм а и !(1 ь !) и и 1+ 1/!. 9» ° зи Используя полученный результат, обсудить модификацию правила квантова- ния (!Х.5) и найти энергетические спектры: и) сферического осциллятора У = птызг /2, б) одномерного движения в потенциале: У = Ув тб з (тгл/а) при (л) с а/2 и У = оа для )л( > а/2. Сравнить с результатом квантования по формуле (1Х.5) и с точным выражением для спектра. Решение.
1) Особенность задачи состоит в том, что лля потенциала У(г) т «/г' в слу- чае 2то/Лз = !(!+!) Я 1 на малых расстояниях (г -ч 0) квазнкаассичнссть нарушается и использование условий сшивания (1Х.4) ие оправдано. Поступая как и в предыдущей задаче, воспользуемся точным (нсквазихлассичсским) решением у. Ш. на мааых расстояниях, удоавстаоряюшим граничному условию Х(0) = 0; получаем Х + ~йз т Х = О, Х = Ат/гу„(йег). (1) г ] Здесь Ьст = 2т(Š— Уз(0))/Лз, ярн этом потенциал п! Уе(г) заменен его значением Уе(0) в начале координат, а = 2то/Лт и и = т/а + !/4. Воспользовавшись аснмлтотикой функций Бесселя, замечаем, что на таких расстояиияк, где уже Ьзг эт 1 (аля значений э 1), точное решение (1) у. Ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
