Galitskii-1 (1185111), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Глава 8. Теория Возмущений. Еориацианный метод (в интеграве супгественны значения р < В е; ая, длл которых, согласно выражению (1), 'ч',"ч ы р! 1/ал "), так что энергия связи, рваная 1«а'„ /7Л, резко уменьшается с увеличением !т!. Подчеркнем, что вслячина 11 Л'/ра„определяет область локализации координаты з частицы и, кэк легко заметить, 1э 2» 1«, гве 1« аи — размер области локаяизации частицы уже в перпенлнкулярной мап«итному полю плоскости.
Таким образом, область локализации частицы имеет спнцеобршную («игольчатую») форму. это своЯство сохраняется и при увеличении магнитного поля, когда условие аи Ъ В не выполняется. Спицеобразнал бюрма области локализации волковоЯ фунюши частицы связана с существенно различными значениями периодов движения ваоль н поперек магнитного паля в условиях применимости адиабатического приближения. 2) Пусть теперь потенциал притяжения У(г) не является слабым, так что рВ'Уз/Л' > 1. Чтобы его можно было рассматривать как возмущение на фане магнитного поля, последнее должно быть настолько сильным, что выполнено условие В 2» аи гх 1/»/зг.
При этом для состояний с кваитовмми числами и, из 1 (точнее,,/и, ь/)об! « В/ал, сравнить с 7.2) в выражении (2) можно, вообще говоря, вынсстн зв знак интеграла У((з() н получить Ег'1(з) ю У((з!), так что эффективный одномерный потенциал имеет такой жс вид, как и исхааиыЯ центральный потенциал У(г) (см. 4.1 и 2.5 о связи энергетического спектра в симметричном одномерном потенциале У()4) со спектром з-уровней в центральном пале У(г)). 3) Замена У(г) на У(!4) в фориулс (2), приводящая к (5), не оправдана на малых расстояниях (з! < ан ллв потенциалов с кулоновским (и более сильным) притюкениси в связи с возникновением в них в одномерном случае «пааения иа центр».
Сщсннм положение уровней с и, = О (иижиих уровней лродсльного движения) лля вслородополобного атома в сильном магнитном пояс. Лля этого запишем Еп»! ю -Лез/((4 + а„); ло сравнению с (5) здесь введено «обрезание» кулоновского потенциала на малых рассгояниях. Воспользовавшись вариадионным метадон с пробной волновой функцией вида Фе =,/кс "", где к— зэриациоииыЯ параметр, находим Л к г Еез Лзкз 1 Е„„е ш Е!'1 + !з (з) = Е1'З + — — и / — е Шя «!з щ Е~~~ + — - 2хбе' 1п —; (6) 2р,/ ((зз((4 ал ' 21«Ъан' вля приближенного вычисления интеграла с лошрифмической точностью можно заменить экспоненту елиницей, а прслелы интегрирования кос значениями (Ы/х).
Минимизация этого выражения лля атома водорода лри а„= 1О ' (мы используем атомные елинипы) лает значение энергии связи уровня, равное 12,5 (при к = 3,4). Подчеркнем, что, как и в предыдущем случае согласно формулам (3), «глубина юлешния» уровней продольного движения (при фиксированных квантовых числах и, т) много меньше расстояния Лы„между соседнимн уровнями Ланлау. 4) Сделаем несколько заключительных замечания. Пересе из них связано с возможностью обобщенна полученных выпге в п. 1) результатов о влиянии на уровни Ландау «мелкой ямы э случае слабого магнитною ловя, когда ал > В, на произвольный коротколействуюший потснниал ралиуса В с помощью тесран еознуыеявд яо длине рассеяния, см. 4.29, 4.31 н 4.11.
Ллл этого заметим, ограничиваясь состояниями с яз = О (об обобшении на значения т зз О см. 13.36 и 13.37), что, согласно (3), при аи Ъ В мнтсграл в выражении ° » «» 1 //' а»ещ- —, / У(г)рйрдз ал / у лишь коэффициентом р/Л' отличается от юлины з-рассеяния аеэ в борновском приближении. Соответственно, замена аев на точную длину рассеяния аз в потенциале У(г) дает в случае ае < О искомое обсбшейне результатов (3); теперь а. — —, Е.
Ех„— -и „а, "о«е! 2 (7) Раза' " 2 О б. Адиибптическое приблизкение (при аз > 0 рассматриваемых связанных состояний не возни кает, как и в случае ачталкивательного потенциала в условиях п. 1)). Эта формула становится неприменимой в случае )а»( > ал, когда в самом (изолированноы) потенциале У(г) имеется мелкий» е-уровень с энергией йьсл, при этом возникает существенная перестройка спектра уровней Ландау с т = 0 (т. е, их сдвиги становятся йьсл, сравнить с 11.4 и 9.3). Подчеркнем, что осшльные, «глубокие» уровни как с моыентаи ! = О, так и с ! за 0 в потенциале (У(г), если они существуют, под влияниеи слабого магнитного поля испытывают лишь небольшой сленг. Далее, заметны, что рассматриваемые уровни Е„„, при совместном действии магнитного паля н потенциала, строго говоря, явеяются истийио связанными лишь при значенинх квантового числа и, = 0 (длх кюкдаго т).
При значениях же п» > 1 они отвечают квазистапионарныы состояниям, так как под влиянием потенциала У(г) (приводящего к образованию связанного состояние в провальном направлении) возможен также переход иа более ниэкис уровни ди поперечиотдвижения с и' < п„прн котором в продольном направлении частица сзг ялзяется уже несвязанной и имеет энергию Е, ш йьсл(п -и',) (при этом учтена отмеченная ранее мазость «глубины залегания» уровней). В случае «мелкой» ямы и слабого магнитного поля, рассмотренном в п.
1), выражение лля ширины таких квазистациаиарных состояний с гл = 0 « Гаиш~ —, ае, аз=- — ) ! Щг)райх д 2р ! ! г )' (8) йз йыл(п — п') ' аэ „/ -«» е может быть получено анааопггноээг формуле (3) из задачи 8.4. С помощью уквмнной выше замены ас на длину рассеяния ае. выражение (8) может быть обобщена на случай «сильного» короткодействующего потенциала. 5) Наконец, обсудим особенности кзантовоыеханнческой залачн о движении частицы в одномерном кулоноаскоы потенциале приближение У = -а!(х( на всей оси -оо < х < +оа. Как отмечалось в п. 3), при этом вози икщт «ц аде иле на центр» (в точку х = О): нз формулы (б) при радиусе «обрезания» потенциала ая 0 следует Ее -со.
Дело в тоы. что гвмильтонизн части пы ! т а Ы = — р — —, -оо < х < ч«ю (9) 2т (х! ' при Лвижении на всей оси является зрмитовыы, но нс самасопряжениыы опсраторои. Это связано е теи, что с.ф. гаыильтониана при х = ж(х! 0 имеют види! (справа и слева ог точки х = О): Ф»(х) = Сх» ~1 — — !и — 4.0 ~х~йг — у! 1 +Сх»!(х)+О~ — у!1, аз = — (1О) аз ав ь ав)1 ~"Л' таз и обычное для рюулярных потенциахов условие непрерывности волновой функции н се производной не может быть выполнено в точке а = О, так квк Фе(х) обращается з бесконечность при х О. Тем нс менее зрыитов оператор (9) попускает самосопрюкеиное расширение.
Для введения дополнительных условий, зааающих такое расширение оператора, сы. 1.29, заметим, что лла функций, удовлетворяющих при (х! 0 условиям (10), справедливо соотношение « -с Ю вЂ” ° Фзйфсдх+/ Фтйфсс!х= /(йфз) Фслх+ ) (ййг)'Фслх+ Ю и дг + Фз(е)Ф«(е) Фг (х)Ф«(с) — Фг(-е)Фс( е) + Фт (-е)Фс(-е) ), (1!) 2«п г Э» й роли иаэамегрэ Д, опрсдемющею в условиях юхачи аА4 связь явух каналов, теперь зысггпыт Р..., = — /!Г(г)Ф', (р)Ф«, (р)ли, сравнить с а„из формулы (3).
1 Обрзтюь внимание ив логарифм ич«сказ сзыаемас и иезззнсииасть сга ог эи«ргхи; аг па«лехи«а зззисат лишь лолрззочиыс иены в яризеденеоя зсимптотикс (!О) Решения уравнения шрсдиишрэ, «рылись с 9.14. Глава О. Теория Возмущении". Вориамионниб мемед /2(з!'! Оа(.) =Се~пуз ~ ~— ~~ = 'х нов ! Се ( 2(е) 2(е( (1 г = — ! ! — — Ог — — ~-+231(! — и) — 2чеб~ — +оРш — у1~, Г(1 — я) (! ев иав !со ,) ' (15) здесь я > О, гз(г) = Г'(з)/Г(з) — лошрифмнчсскея проипюдиая гамма-функшэи, б = 0,5772..., — постоянная Эйлера. Уровни имеют определенную чстшнть. Для нечетных состояний Фэ(0) = О.
Чтабы удовлетворить этому условию, значение выражения в квааратньш скобках в (15) должно быть бесконечным. Так квк ГВ(з) обрэщасюя в бесконечность только в точкзх з = -й, гле Д ю О, 1,2,..., причем ! Ф(з) и — — при * -д, (г+ л) (1б) то замечаем, что для нечетных уровней о принимает значения н,, = и с п = 1,2, Соответственно, спектр таких уровней пго Е 2дгпг совпадает со спектром г-уровней в центральном поле 27 = -огг (как и следовало ожидать, см. 4.1 и 2.5). Для четных уровней частицы, согласно выражениям (14) и (15), получаем 1 1 я - - — 20(1 — о) + 2 — 4Ф" + 2 1л — = )уев.
(18) о 2 Ик спектр существенно зависит от значения параметра !3. Ограничимся анализом двух предельных случаев. Пусть !1 > О, причем !1ав » 1. Имея в виду соотношение (!б), замечаем, (17) гз1 Обрвт~пь внимание яе разаичнс ергумешоэ логарифме е формуле» (!0) и (!5). здесь е > О, в котором внсиитегральисе слагаемое при е -ч 0 равно лг (12) тле верхние индексы 1 и 2 относятся к волновым функциям Фьг. Сохраняя прн самосоприженном расширении оператора (9) условие иепрерывмости волновых функций (10) в точке а = О: (13) в дополнение к нему из условия обращения в нуль внсннтепншьного слагаемого (12), получаем = !3 = сопзг.
(14) Вещественный параметр гу, определзюший условия сшивания решения уравнеюи Шредингера в точке * = О, задаст самосолряжснное расширение гамильгониана (9). С физической точки зрения возможность выбора разаичимх значений параметра !3 отзсчает различным способам есбреюния потенциала на малых рассюяинях (сравнить со случаем, рассмотрсмным в п. 3)). При этом значение Д однозначно аосстаиавлнаастса по пспожению основного уровня частицы. Подчеркнем такие, что параметр !5 определяет нс только энергетический спектр связанных состояний частицы, но и состояния непрерывного спектре (отражение частицы потенциалом).
Найдем теперь дискретный спектр гвмильтониаиа (9) с условиями сшивания (13) и (Гй) решения уравнения Шрбдингсра в точке л = О. Экслонснцивльно убывающее при (э( -ч оо решение у. Ш. с энергией Ж = -та~/2Л'я~ в одномерном кулоноаском потенциале выражается через функцию Уитгексра зрп,гг(з), см.
(34)г 5 б. Адиабатичеслое приближение что в этом случае четные уровни лишь слегка сдвинуты вниз относительно нечетных уровней, Записав и« = и+ гзи«, согласно уравнению (18) получаем таг 2 Гэи„ш - —, и = 1,2,..., (19) ЗГг(н+ г2и„)" " Рав' причем (гзи„( «б 1. Вта жс формула спразеллива н в физически более интересном случае (у < 0 с (р(св > 1, (см. «обрезание кулоиовского потенциала, рассмотренное в н. 3)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
