Galitskii-1 (1185111), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ф Ф„тачныс с. ф. нсвозиушснного гаыильтониана (частица в б-яие) Фг,г, отвечающие оп)ждсленной четности У (сравнить а прслыдушсй задачей). Теперь заметим, что иатричный завысит Р„атличен от пуля лишь для нечетных состояний, волновые функции которых ис искажаются б-потеициалои и совпааают с в.ф. свобалной частицы. Соответственно формула (2) сохраняется и при учете взвииодсйствия в конечном состоянии, когда не возникает ограничений на энергию вылетающей частицы. В заключение эаиетии, чта при чванная Лыг < (Еа) в рассиатриваеиои приближении вероятность ы обращается в нуль. Прн эгон перехоаы частицы в состояния непрерывного спектра происходят в более выаоких порялках теории возмущений (гиногофатонная ионизацияг) и ииеют потону существенно меньшие вероятности (сравнить с туннельной иоиизацисй в статичсскаи поле, сы.
6.39. соответствующей предельному случаю ыг О). гг) Сравнить с режсихеи прслнвужел залечи. Сравнии полученные результаты (2) и (3). По смыслу приближения а) формула (2) приыснниа лишь при )2а > )Еа) = Лги)г/2т, когда кинстичесюш энергия в аснавиоы канапе иного больше энергии связи. Действительно, в этом случае формулы (2) и (3) практически совпалают. При значениях )2г )Ег), формУла (2) испрниенииа (юш частип с энергией Е )Ег~ коэффиндент отражения Е 1, си.
2.30, и их нельзя расаыатривать квк свободные) Формула же (3), основанная лишь на слабости связи каналов, )9 б а, осшетя справедливой и в этан случае (в чеы легко убслитьсв, арввнив се с резульгатои точного решения, аи. формулу (4) из 6.39). Глава б. теория Возмущений Вариоционный метод ВА6. частица находится в одномерном короткодействующем аотеициале (т(я), так что Т/(н) О при и +са. Рассматривая его как возмущение, найти коэффициент атрюкения с понощью теории возмущений длп переходов в непрерывном спектре. Унаэать условию применимости полученного результата и сравнить ега с 9.29. Решение. Дяя переходов в непрсрмвиом спектре Хмч, = — '(~-4('Э(В< - Вч) Х < ~ «е, « — г <ь см.
(г, с.!90). Под «<. «следует понимать залповые <векторы< (одномсркого движения) свободных частиц и шютестствуюшие шюновые функции /ю,м ! Ф,= — е', Ф,= — е '(/дй ' /г Сделаем зэмсчзиис об их нормировке Для в ф. конечнмх ссаюяинй пиа обычнзл! на б-функцию по «, причем в даниоы случае «ш Ь'. Нормировка жс в. ф. начальною состояния нэ единичную платность потока выбирается из следующих соображений. Считае рассматриваемую систему помещенной в ящик» большой элины Е, в.ф. ивчвхьнаго состояния следовало бм выбрать в виде Ф, = сн*/ /й (норммрозвниой нэ единицу). При этом вероятность псрехахв м имела бы свай буквальный смысл и требуемую рэзмсркость 2'"'. Оливка в аостоянинх непрерывного спектра обычно рассмпринаегси не атдельиав честииа, а поток частиц с плотностью потока / = Ре = е/й.
При этом в качестве харзкшристики процесса используется ие свив вероятность. а Соатзогствуюшсе «сечение процесса, апределясмае соотношением и = н/у'. Оно уже ие зависит ат коикрстнога амбара значения 1 (в отличие от вероятности перехода). Используемая нормкровкз в.ф. Ф< как раэ и отражает описание процесса с вэспсиисм соответствующего <сечения<. В одномерном сяучзс <сечение< — безразмерная величина и имеет физический смысл коэффициента отражения частиц. Выполнив в выражении (!) интегрирование по «(т. е. по Ь'), получаем Я = ш(Ь Ь = -Ь) = — ~ / ГГ(х)е~ ь* Де~ К'Ь ~ / (переходы паопсхолят в соспшния с Ь' = -Ь, отючзюшмс отрзженным частицам).
Этот результат совпаист с полученным раисе другим способом в задаче В.29, а которой абсужпштся ряд вопросов, связанных с вычислением коэффициенте отражения по теории возмущений. $5. Внеаапнне веадействия 8.47. Система, описываемая гамильтаинаном Йе, находится в и-м стационарном состоянми днскретнага спектра. Прн ! ю 0 гамильтонман системы внезапно изменяется н становится равным (при ! > 9) Й/ = Йс+ «о, где Уэ, как и Йе, от времени не зависят. Найти вероятности различных стационарных состояний системы при э > б, Каково среднее значение энергии, приобретаемое системой? Показать, что в случае малого возмущения Ва установленные результаты могут быть получены также в рамках иестациаиарной теории возмущений.
Реме«ие. !) Так кзк под пеиянием ограниченнои! возаействия <ь (ие абпзатсхьиа малого!) эопловвя функция системы не успевает измениться за бсскоисчномалый промежуток времени его включения, то нспосрсдстшнно в первые моменты времени при 3 > 0 Она совпадает с Ф<и — с ф. исходного гэиильтоииана Й, ш Й» (по условию зааачн). 5 5. Внезапные доздейстдия 231 Изменснне (в сРеднем) энеРгии снстемы в процессе включснна взвнмодсйствна Ув, очевндно, равном! сзЕ = (и, с ( Фс ( и, э). (!) Коэффициенты в разложении в.ф. Ф„, нос.ф.
Ф, г конечного гамнльтоннана (Йг = Йе+Фе), определяют нскомые вероятности перехода: н(п, йг) = (сы! =((й,/(п,г)!з. (2) 2) Рассматрнвыг Уе как махов возмущение, дшг Фк г можно воспсжьзоаатьсл известным рвэложеннем теорнн возмущений, см. (УСП.2), н найти, согяасно (2) нг!(л, -ч йг) = ( (, й !!я. (2) Зтот же результат можно яолучнгь в рамках нестацнонврной теоРии возмущений. Интсгрнроввнпе в (УП!.8) по часган лавт с е„(С)= — /С е м — бг — " с С,! ! /, ОУ,„Уы(1) „, (4) йыэ. / ОС Лыс„ -м прнменнтельно к даннаЯ эаааче Ф = рса(1), гле ЧЯ вЂ” ступенчатая функция (в(1) = ! прн С > О н П(1) = О при С < О). Тэк квк да(С)/бс = б(1), то замечаем, что прн С > О первы слагаемое в правой части (4), ощжделяющсе шроятнссть перехода, воспроизводит результат (Э) (второе же слагаемое в (4) опнсываст нскнкеннс в.
ф, и-го состояния при С > О под влиянием возмущенна ре н к переходам снстемы отношення нс нмест). 8А8. Система подвергается импульсному воздействию Й = Йгвб(1), так что ее гамильтониан имеет внд Й = Йе+ СРе б(1). Прн 1 < О система находилась в и-м состоянии дискретного спектра. Найти вероятности разлнчнык квантовых состояний прн 1 > О. Сравнить нк для малого возмущенна Й с результатом нестацнонарной теории возмущений. В случае СРе ш -хРз дать наглядную интерпретацию полученного результата.
Решение. Для ощждслення изменения волновой функции под влняннем нмпульсного воздсйствнл его удобно рассматривать квк преаельный переход прн т О, взаимодействия вила ф(с,т) = Йгэ/(1), где функцня /(1) отлнчнв от нуля лншь прн )с) < т, а интеСрал от нес в прсвелах ог -г до т равен !. Уравнсннс Шрслннгера при (П < г прнннншт енд гДФ = Суэ/(1)Ф (слагаеное Пс в гамнльтонпане опушено, так как оно не дает изменения в.ф. ш бесконечно малый промежуток времени г; в учтенном жс слагаемом прн этом /(1) С/т со). Решение этого уравнения Ф(1) = сэр -- ! /(1)бг~йгс~Ф(-т). л,' Положив здесь 1 = г н устремляя т О, находим искомое изменение жшновой функция Ф(1 = О+) = е Р (- — ! Ф(1 = О-). ССФв) й ) (2) тз! В связи с дэнлсе эвзачсй см, 9.22, глс случай елвзвлвих веззсйсгзий Рэсснэтрнеэстс» в кваэиклэссическон лрнближсиил. Глава О.
Теория Возмущений. Варипционный метод Учитывая, что по условию залечи Ф(0-) = Ф,, находим искомые шроятнасгн 1»1 г в(гг -) Ь) = )/ Фо ' схр (--ЬР»1ФШ иго~ . розлопснис экспоненты в ряд в случае юглого возмущения, когда ](Зро) „]« д, даст в(п й) ш в '(п -) Й) = — г](зуо) ], Й оо )г, лг что совпадает с результатом нсствпионвриой теории возмушеннй, получающимся непосредственным (благодаря б-функции) интегрированном в Оюрмуле (МП.8).
Воздействие виля Р(х,г) = -хробЯ па классическую частицу состоит в мгнооеннон псРсдзче сй импУльса Ро —— 2' Р(г) Ог. это УгвеРЯшсние остастса сппмелливым н в квантовая механикс, что слслустмг нэ формулы (2). Действительно, в.ф. состояний чосгицы в импульсном представлении непосредственно до: а,(р) = (р)г = 0-) н сразу после: а (р) = (р)г = О+) воэдсдствия связоиы соопгошснисм аг(р) = а,(р — Ро), что н стражост отмеченное выше обстоятельство аб изменении импульса чвстнцы. 8.49. Частица находится в основном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной а (О < х < а). В некоторый момент времени правая стенка ямы за короткий интервал времени т смещается е точку Ь > а. Найти вероятности еозбгокдеиия различиык квантовых состоянии частицы после остановки стенки. Решение.
Согласно формуле (2) нз 8.47, находим лаэ', .(Ь+ «а ") )- ~г [аг(Ь и «г Ьг] Ь Условие пРнмсниности: гшы = з'(Л + «здт/таг « 1. 8.50, Частица находится в основном состоянии е О-яме, так что (7 = -аб(х). Внезапно параметр а, характеризующий аглубину» ямы. изменяется и становится равным й (сравнить с изменением заряда ядра атома, например. при р-распаде). Найти а) веронтиость юю, что частица останется в связанном состоянии, б) распределение по импульсам для частицы.
вылетающей из ямы. Решение. а) Используя вырюкеннс Фо(х,о) = гуйс ", шс к =— -ш та лв(Ь) = ~ / Фо г о)(х г")Фо(х о) Лх] ая = — г (2) го)Сровнлть с 6.26. л лля кф. основного состояния частицы в б-яме, см. 2.7, согласно обшсд формуле (2) нз 8.47 лля вороятносгей переходов при внсээлных воздействиях нз систему, находим вероятность того, что частица остзнстся связанной ямал 1г 4аа гео ш в(0, Ог) = ( ](Т Фо(х,а)Ф»(х)а) лх) 1-( +=)' (« б) 2(ля россмотрення переходов в состояния непрерывного спектра в кзчсствс с.
ф. ко. печного гамильтон нзнз удобно выбрать в.ф. Фг г(а), отвечающие состояниям с определенной чстносгью Х. Тзхис функции, нори ировзнные на б-функцию по Л )~2тотяг > О, получены в злвзчс 8.44. Используя выражения для них, согласно очевидному обобщению формулы (2) нз 8.47 на алучап состояния непрерывною спектра. походим 9 5. Внезапные Воздейслгбил 233 Это вырюксние, как н слелуст, нормирована на значенне, равное ! — во, гле во определяется бюрмулай (1). Перехолы пронсхолят только в четные коночные состояния, прн эюм вероятности знвчсннй нмпульса р = ждд адннаковые. Клк видно нз (1) н (2), в случае и ш й гсраятнасть вылета частнцы мала, а прн значениях а < а н а Ъ а, наоборот, мала вероятность частице поиться в свлэаннон сосгояннн.
8.51. Частица находится е основном состоянии в б-пме, 7/ = -об(в). При ! = 0 яма приходит в движение с постоянной скоростью У. Найти вероятность того, что она увлечет частицу эа собой. Рассмотреть предельные случаи мапык н большнк скоростей У. Решение. Лля расчет! искомой вероятности перейдем в систему координат К', лвнжушукюя высею с ямой, в которап *' = л — У!. В. ф. часпшы непосредственно сразу паоле начала движения лмы в искалной, Фо(л), н в движущейся, Фо(я'), снстемах координат имеют внд г Фо(а') =схр ~-- шрл'~ фо(я), Фо(л) = /йе **', л н = пга/Д', см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
