Galitskii-1 (1185111), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Гамнльтониан системы, состоящей из двух подсистем, имеет вид Й = Й, (х) + 1г(х, 4) + Йэ(х), где х, 4 — координаты 1-й н 2-й подсистем, У(х, 4) описывает взаимодействие между ними. Считая характерные частоты 1-й (ебыстрайэ) подсистемы много большими характернык частот 2-й (эмедленнойэ) подсистемы, свести задачу приближенного вычисленияя энергетических уровней и соответстаующик им волновых функций совокупной системы к решению уравнений Шредингера для отдельных подсистем. На основе пану«енных результатов исследовать состояния нижней части энергетического спектра для частицы, находящейся в двумерном потенциале вида „г 0 — + — <1, аэ Ьэ Ег(х, у) = э э .э э в случае Ь 2» а.
Решение. Ввсзсы Ф„,(з,Е) и Ем(4), — систему с.ф. н спектр с.э. оператора Й' = Й,(х)+ У(я,4) прн фиксированных ( эакреплсннык») значениях координат Е «медленной» полсистсмм, так что [Йи(п)+ Й(х,Е)[Фч(я,Е) = Е„,(4)Фм(я,Е) (О (ани играют раль. аналогичную с.ф. н с.з. мгновенного гэмильтоннана прн рассмотрении акнабатичсскнх воззсйствнй на снсыму, см. 8.54 и 8.55). /(ля точных с.ф. поянога гамнльтоннвна системы спрааслливо разложение вида Фн =~:Фн.,(Е)еч(в,Е) Существенным лля дальнейшего является то абстоятельспю, что лля «быстрой полснстсмы изменение состояния мсллснной» выступает как ааиабатнчсскас воэлсяствнс, прн котором сохраняется номер квантового состояния, сн.
8.54. Пренебрежа псусхоламн, прихолим к приближенному вырюкснию лля в. ф. системы, соответствующему учсту лишь одного члена в привсяснноп ваше сумме: Фн Ф..м(я, 4) = Ф..м(Е)фм(х, 4) (2) Записав уравнение Шрслннгсра [Йг + У(х, Е) + Йэ[ Фю.г(4) Фм (я, 4) ж бм«»Ф...»(4) Ф.,(я, Е) и учтя в нем соотношение (1), проделаем следующие прсобраювания. Умншкнм обе части получающегося уравнения на Ф„', слева, проинтегрируем по координатам я «быстрой» 8 6. 282)иибптичеслое приближение При ыом, согласио (3), движсиие вдоль оси у происходит в эффективном паыициалс дзпг(п, Е 1)2Ь2 П(у) = П.»(у) = . . .), )у ) < Ь.
Для такого патсициэла в. ф. ие слишком сильно воэбуждсииых уровиса локализоеаиы иа рвсстояимях (у ( < Ь, гле его можио разложить в ряд: «'и'(п, + 1)2 д'пз(п, + 1)2 П(у) ж 8»паг Выа'Ь' у ° При этом задача вычисления в. ф. Ф„,м (у) и уровней 8„,„, смшится к эалачс о гармоническом осцилляторс, что позволяет поэучить «2я2(п, + 02 дзк(п, +1) / 1~ Ф „= (2»2/аусп21) схр — — ̈́— Ф„(а, у) п»л = 0,1,. (4) (поучитсльио убеаитьсв в том, что при воздействии оператора Й(у) иа в.ф. (4) можно преиебречь действием сто иа функцию Фч(е, у) в соответствии со сдслаипым выше эамечаиием). 8.$9. Гамипьтоииаи системы имеет вид «( 2+уз) Й= — р + — р + +иву, )ц(<«, 2пз * 2М" 2 причем м 2» пз (два связаииых осциллятора с сильно различающимися массами).
Найти уровни энергии системы и соответствующие им залповые функции иа основе адиабатического приблюкеиит Срааиить полученный результат с точным решением, см. 250. 2'гдпаэомя со случаем мшзээмческа о юзэсастзея ла сисмму, рассистэсиеми в 8.54, 8.55, проявляется в том, чго там при вмчнслсипк пэоиэваэиаа дв/Вг мозно была опустить слэмсиос, лалучзюмсссе дкфбсвскаеэсыпксм по вссисиси с.ф. е„(е, л(2)1 мгиаыхном »зилзьтонаапа. подсистемы и преиебрежси действием оператораз'1 ЙЩ иа псремсииую б, входящую в в ф. Ф„,(е б) (т е. положим Й»ФФ ы ФЙ2Ф; здесь опять проваляется развичис характериых времен движения рассматриваемых подсистем); в результате приходим к уравнению Шредиигера дпя меллеииод» подсистемы [Йз(8) + Е.,(()) Ф..м(() = Ю»..,Ф»..2(().
(3) Кек видно, в рассматриваемом приближении взаимодействие сс с »быстрой» подсисммод характеризуется эффсктивиым потенциалом, в роли которого выступает Уыв(8) = Е„(б). Формулы (1)-(3) сосмвлвюг основу адлабатичгскаго лрибгижелпя двя стациоиариых состояиид. Примепителыю к ухазаииому а условии потсициалу, ввиду Ь Ъ а, в роли ° быстрой» подсистемы выступает авижеиие частицы вдоль оси и, а в роли»медлеиноп» вЂ” се движеиие ехал ь оси у.
При фиксироыиио» у движение вдоль оси а — хвижеиис в бсскоиечио глубокой яме шириной а(у) = 2аз/1 — у'/ьт, так что 240 Глава 8. Теория Возмущений. Еариационный метод Решение. Быстрая подсистема — сспивлятор с массой гл, характеризующийся координатой л. При фиксированном у, координате мслленной подсистмы, нмссм (ш = т/Ъ/т ): — -( 1 ф„ыф„е+ — Е„(у)=йш и,+- — — у.
В. ф, и уровни знсрпгн медленной подсистемы определяются согласно уравнению (5) прсды- дугцсй запачи; при этом сопоставить с точным результатом для спектра нз Х50, выполнив в нем разяожснис по малому параметру з/т/М. 8.66. Дае частицы с сильно различающимися мвссамн М я гв находятся в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а и взаимодействуют друг с другом как взаимно непроницаемые точки. Найти энергетические уровни нижней части спектра и соответствующие им волновые функции. Решение.
Воспользуемся здиабатнческим приближением, см. 8.58. Быстрая подсистсма— легкая частица (координата л,). Бс уровни и в.ф. при фиксированном значении лз, координаты тюкслой частицы (мсдлсннал подсистема), имеют внд Ф„= — пп 1 2 х(в, + 1)(л, — лт) Ьтят(в, + 1)з а — хз а — вт ' "' 2т(а — «,)' (считасм ллл определенности лт < лы в. ф. равна нулю при значениях в> ) а н л, < *т, сравнить с 2.51). Энергия Е„, (ет) выступает в роли эффективного потенциала (Г(лт) дая тяжелой частицы при О < лт < а (вне этого интервала 1Г = оо).
для нс слишком сильно возбужденных состояний характерные значения координаты ет « а и У(лз) можно рззхожнть в ряд (сравнить с 8 58): Д'з'(в, + 1)' Д'х'(гз, 1. 1)' У(ет)ш т + з ет, хзрб. 2тат пю' При этом задача вычисления спектра Е„,„, н с. ф. Фн„(лт) свалится к рассмстрснной в 2.8, воспользовавшись результатом которой получаем ггзяз(в, + 1)3 1йзхз(в, + 1)41 из 2тат ).
2тзМаз здесь -аз, где й = 1, 2,..., — последовательность нулей функции Эйри а порядке возрастания значений -а,. 8.61. Используя адиабатическое приближение, обсудить вопрос об энергетическом спектре н виде соответствующик волноеык функций свяэаннык состовний частицы в центральном потенциале притяжения У(г) в присутствии достаточного сильного однородного магнитного поля.
Найти сдвиги уровней Ландау под влиянием короткодействующего потенциала, а также основной уровень атома водорода в сильном магнитном поле. Решение. Гамнльтониан частицы имеет вид Е Е,+ рт+гт( /рт+ т) где й'118 В 1 Вт~ Л етДт, Е р + руг + рз 21з ~ь,р др др рт дзр! 2рс ' 81зст ф 6. Ядипбатичеслпе приблизкелие является гамильтонианом яоперсчиого движения частицы в однородном магнитном поле, направленном паоль осн з, с векторным потенциалом А = ( М'г)/2, см. 7.1. В случае лостатачно сильного магннтноп> поля движение частицы в поперечном направлении определяется. в основном, действием этого поля. При эгон ыл = (е(Я'/ров характерная частота такого движения — значительно превосхолит частоту продольною движения.
Поэтому шш решения зваачи можно воспользоваться адиабетичсским приближением. см. 8.58. При этом в роли «быстрой» подсистемы выступает двшкение частицы в поперечном направлении. Лля него действие потенциала (7(г) можно рассматривать как возмущение. Соответственно волновые функции «быстрой» подсистемы (прн фиксированном значении координаты з проаольного движения, характеризующей «медленную» подсистему) в «нулевом» приближении имеют вид >/2п нл(~(> ~ п»1 (они не зависят от а), где р' >' й (ш( — еш>'(е( я= — >, онш —, п=п»+ 2ел> ' ')( рыл 2 Энер~етическне уровни «быстрой» подсистемы в первоы порядке теории возмущений описы- ваются выражениями Е (,)щЕ (,) Е>е>„ЕШ(,)> Е>«> д „(„+ ~) (2) ЕП> (з) = / Гг ( Я+ ~~ ) ~ Фй (р) ( 2хр бр; а здесь Е определяет уровни Ландау.
1«> Теперь, согласно 8.58, окончательное определение волновых функций частишя Ф„,„, ш Ф„(г) Ф„,(з) и энергетическою спектра Е,„, ш Е„ю связанных состояний сводится к решению одномерного уравнения Шреанигера в эффехтивйоы потенциале, совпадающем с Е„„(з). Свойства такик связанных состояний существенно зависят как от вида исходною потенциала 77(г), так и от квантовых чисел и, т, характеризующих поперечное движение («быструю» подсистему). Рассмотрим некоторыс частные случаи.
1) наиболее полное исследование допускает случай «мелкой сферической ямы 77(г) (достаточно проюеольиого вила) Рааиуса л и характерной глубины г>е, для которой рл>г>е/й' ~ 1 н в отсутствие магнитного поля нет сшюанных состояний частицы. При этом эффективный потенциал п,ее ш е, (з) также определяет «мелкую» яиу, но уже одномерную.
В такой ш яме лля каждой пары квантовых чисел п, ш существует, причем только адно, связанное состояние, хля которого (сравнить, например, с. 2.22) 1«> Р>>„ > Е е»з Š— — "; Фс(з) ш ~/ —" ехр ~ — — (4 ~, ( рп.н > '>I л' ( д' «« (3) 2 / 2~(>( / г+ з)(Ф>е>( )(~2ярб «>з > б » ь Отсюда, в частности, в слУчае слабого магнитного пола и>, лла котоРого лл ~ Л, слелУет Е х л«>«> а„ы -а г ' ~~ Щг)р>ШЫ'бр ба ШУ« — ) гг,«г >">«' (я) >,ал и> Педч«рки«и, что полученные р«зульт«ти з ох>чае м«лкоа яиы ие предпслзгаюг каких-либо о>рани««ний на а«личину изшхтиого паля (воях мсжст быть и слабни), сравнить с 7.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
