Galitskii-1 (1185111), страница 65
Текст из файла (страница 65)
4.26). В выражениях (1) р = таю(7(г)— равнял ьпый импульс в пренебрежем им центробежным потенциалом (обоснование такого п рибли:кения для состояний с монентон 1 - ! в области квазиклассичностя см. в 9.7). Однако в условиях заиачи квк иа малых, твк и на больших расстояниях квазнклассичиость нарушается и следует воспользоваться точными решениями у.
Ш„сшивание которых с квазиклассическнми рсшениямн (1) позволит найти значения фю Уизр и нз совпааення обоих выражений в (1) получить искомое условие возникновения свазанных состояний. У. Ш. как при г О, так и при г со, принимает вид Га 1(1+1)) 2гпа хч+ ! —.— — ! Х =О, л (2) Как известно (см, например, (33)), решения этого уравнения выражаются через цилиндриче- ские функции 21+! 2 — и 2/а >/гЕ,(бг"); з = —, Р = —, 2-и' 2 ' 2-и На налык расстояниях, чтобы удовлетаорить циничному условию т> сх г>+', решение слсаует выбрать в зиле лт = С,//ч()У,гг ).
Воспользовавшись аснмптотнкой функции Бесселя Х, прн л оз, получаем (2з/й> „, яа> и) УО М ГПЦ ПП ! — ГМ вЂ” — + — 1, (2 — ш 2 4)' (3) что соответствует квазиклассичсскому решению иа таких малмх расстояниях, где еше (7 ю -о,/г"', но уже можно пренебречь центробежным потенциаломз>. Сравнение с первым нз вырюкеннй лля УО в (1) даст 1 Г 2ь/а~, ( 214 ! 1) -~( рб = — '." и 7 =я! — +-~ й 2 — ш (2(и> — 2) 4) е (4) Аналогичным образом замечаем, чго иа больших расстояниях решение уравнения (2) слглуст выбрать в виде 27 = С /гу „(-Р>гю), и находим значение параметра (5) Теперь нз требования, чтобы оба вырюксння лля 2> в (!) сознавали (дая чего сумма фаз синусов в иих должна быть равна яр>>).
приходим к искомому условию возникновения К>-го > поачевкием, что зеаисешае от г часть кеазясяассичгсков фю» в емважеияи (э) ис содержит 1 е состзс~сгши с отмсчеиним амон сбсюяняьстаом, по тчсг аситробпкимо потсиииала в основной области классическою лекиеиия накосите» за лвглсеам» ючиосги рассмезриеаемого иризлижсииа, сравнить с 9.7. э 1. 1(бангаобоние энергетического спектра 263 по счету связанного состояния частицы сиоментам 1: 1 Г Г ( 2!+1 21+1 11 - 2! т~ -2ыГГ(г) зг = з (!1у! + + — —- ЛУ т! 2(2 — щ) 2(щ — 2) 2~ ' о (6) Отметим, чта случай ит со сыпветатвует потенциалу с экспоненцнаяьнмм убыванием на больших рэсспжинлх.
Рассмотрим ряд приложений формулы (6). 1) Для о-состояний в потенциале Хюльтенв, У(г) = -Уо/е'!' ', в (6) сяедует выбрать щ = 1, кт ш со и 1 = О. После вычисления интеграла получаем 2пта Уо г — ш Лг, Л что совпадает с точным результатам, ам. 4.8. 2) Аншюгичным обрзиш дзя потенциала юкэвы, (г = — ое ™/г, повучаем согласно (6) 2то еРГ; Л'а 2 Отсюда условиям ааявления нижних 1о-, 2о- н 3в-аостоэннй отвечают значения параметра б, равные 1,52; 6,28; 14,!4, Точнме значения, получаемые численным интегрированием у.
Ш., оказываются рэвнымн 1,68; 6,45; 14,34. 3) Рассмотрим, наконец, потенциал Тайтца !Г = —;„— 'Ит, ллв ксторага г, = 1, из = 3. Согласно (6) легка находим — = (!у,+2!+-) . при этом 2пзо — = (21 + 1) (21 + 2). Лта Как видно, даже двя Рб = 1 кэазнквасснческий результат неплохо жкпраизвовит точное условие при всех значеннвк момента частицы 1 9.10. Исходя из правила квантования Бора — Зоимерфельда, получить выражение для смещения энергетических уровней при малом изменении потенциала на 6У(х) и установить его связь с результатом первого порядка квантовомеханической теории возмущений. Кзноаз интерпретация полученного выражения в рамках классической теории7 Для иллюстрации рассмотреть сдвиги уровней линейного осциллятора за счет ангармоинчности 6(Г = Дхо и сравнить с точным результатом первого порядка теории возмущений.
Решение. Обозначим через В1 ~ н и! 1 4 бК уровни энергии в полях Уо(е) н Уо(е) + бУ(а) соответственно. Разлагая подынтеграяьную функцию в правиле квантования оои ЗВ ш тй (П+ -) Для этого потенциала манна найти точное усвовис появления первого связвннога состояния, Лч = 1, с произвольным моментом !. В. ф, в момент возникновения такога состояния имеет внд Х~ = Со~"~(о+а) в ~, б 1. Кдонтодоние энергетического слвкглрп 26б г — — (2т(е11+ /зе, — У(э) + ееяЦ дв ш 2 дно~ 1 2пт 3 д /(рз() 3 г) ю - — 31 1 —" + — р„(л)(/ЬЕ„+ едв) + — (едэ) 1 дх, (2) 2 ОЕН1 / ( 2гп 2 " " 4р„(е) где р„= 2пз(Е, — У(в)), а жо — точки остановки для невозмушснногодвшкения. Первый гзг член с рг(*) в рвало:кении (2) воспроизводит правую часть в выраженим (1), второй равен Т(ЕШ) ГЗЕ„/2, е третий определяет искомое смещение уровней, твк что гег а 1 тетгрз д /' лз Лл пю~"'"-' Мл-пм (3) Здесь Т(Е.
) — период нсвозмушенного двшкення, Ą— пшшрнзуемость и-го состояния, 1ЗГ определяющая среднее значение днпольного момента системы 4, = Д,р, инлуцироввиного внешним электрическим полем. Согласно (3) полярнзуемость равна (прн Е = л ) ~6) Р(Е) = — — (Т(Е)* ) е д Т(Е) дЕ (4) 1 Г ес 2(Š— У(е) + егтв) Т(Ь),/ е(э, Е) гп Рашашя здесь, как и в (2), интеграл по степеням д, приходим к соотношению Л = ргГ, где /Г опрсделястск формулой (4) [отметим также, что лоляризуемость определяет нзнсненне знерпги классическоя системы прн мсавенном включении поля, гье = -рдт/2, в согласии с (3), сравнить с прелыаушеб задачей). Для оспилюпора Т(Е) = сопи а аг = Е/шшз (как это следует, например, из теоремы виривла); при этом /3, = е /птш, что совладает с то гным кааитовомеханичсским результатом, сн.
2.2. для частицы в бесконечно глубокой потеппиальнол яме р„= -ета~/24елг < О, здесь а— ширина ямы. 9.1чд. Используя правило квантования Бора — Зоммврфельда, получить квазиклассичвские выражения для поправок первого и второго приближения к сдвигу уровня под влиянием возмущения )г(л) потенциала.
Найти сдвиги уровней линейного осциллятора за счет ангармоничности )г ю алз и сравнить их с точным результатом второго порядка теории возмущений. Решение, Записав Е„= Е + Е1 + Е., У = Уе(э) + тг(в) и выполнив в формуле (1Х.5) разложение способом, аналогнчнын использованному в предыдущей залаче, находим Еог м У(к), ец1 = — (т(енг) [(Р(е) )' - (Р(э))т ] ~ 2Т(ЕЮ1) дЕЩ где ез — срелнее зэ период классического движения в потенциале У(*) значение величины ез.
Хлзссическюг интерпретация этого выражения основана на рассмотрении срсаиего за период значения днпольного момента: Глава 9. Квизиклиссическое при бди!кение Здесь черте означает усреднение соответствующе» величины по периоду движения классиче- ской части им в потенциале Г/е(х) с энергией Фг, определяемое соотношением н1 — 2 / /(х) Вх 2 1а! /(х) = — /! —, е„= — (Е, — У/е(х)). Х(ЕР1) / и„(*) ' (2) Для осиилляторе, Г/е = июгзхг/2, с ангармоннчностью У = оя' находим У(х) = 0 н ь 5 Е!х ( ьгг = —, / '-„'".—".--- = -,'.
( — '",) . Соответственно В!1 = 0 и соглааио (1) 2( ) ( 4) (3) что лишь значением последней, равной 1/4, квазикласаической поправки отличается от пгчного выражения, в катаром она равна ! 1/30 (таксе разхичие согласуетая, естественно, с кааэиклассичсской точностью, обеспечиваемой правилом квантования Бора — Зоммерфельаа, сравнить с у! 3). При этом квазиклассическия результат хорошо воспроизводят точный н для состояний с и ! (исключая лишь случай и = О).
9.13. Найти следующую по й кааэиклассическую поправку к правилу квантования Бора — Зоммерфельда. Показать, что при учете ее энергии уровня оказывается равной Л2 В2 '+ 23Еь, 23Еь = — ((Г/'(х)) 2'(Е)), где черта означает усреднение с классической вероятностью, Фи = 2 бх/Т(Е)и(х), прн энергии Е = Ев 3. определяемой правилом Бора — Зоммерфельда Для осциллятора с ангармони еостью вида У = )Зхе и У = охз, найти следующие по й квазикласснчвские поправки к результатам задач 9.10 и 9.12.
Решеииа. 1) Искомое уточнение правила квантовании может быть получено, если при вмволе правила Бора-Зоммсрфельде, изложенном в книге Лашиу н Лифшица (!), еоспояьзоввтьая более точными кваэиклвссичсскнми волновыми функинямн, учитывающими слелуюшую по й квазиклассичсскую поправку. Укажем, какие при этом возникают изменения в аоответству- юших формулах иэ 9 41, 48 в (1). В.ф. справа от правой тачки остановки и' х =- Ь, вместо (47,1) теперь имеет вид Ф = — ехр — рее — — — — — — — ля~, 2т/-!р ! Л / 4 р! 24 ВЕ2,/ р г ь тйип' Г Р' бз Вз Г Р' — — бх = — — — йх 8 / рг 24ВЕ2/ р (на асщеспмнной оси при я > Ь значение р(х) — мнимое, причем гр < О).
Переходя в область классического движения по контуру в комплексной плоскости х, как и в (1), пг т.е. усрглиеичеи с клессическаа вероятностью (О(,з!. 22) готисши. чта используенае нами оаазивчеияе а,Ь левай и паевой тачек остановки аглячеется от принятого е (1!. где Р = -44//йх; здесь использована вырюкение (46,11), записанное в более удобном для дальнейшего виде: наеме квазнкласснческие поправки внесены в показатель экапоненты и учтено сшжиошеиие 267 О 1. К6иитодииие лиера етичесяоло спектре получаем волновую функцию прнмз а < Ь С Г$ Г тЛР Л дг ГР' я) Р = — яп ( - ~ р бе + — — - — — à — бе .г. — 1, х/р (Л 4 рг 24дЕгх' р 4)' х (2) Аналогичным образом нз сшивания с ршиеннем, убываюшнм прн а — со, находим шиновую функцию в области х > е С' ГГ Г тл Р Л д' ГРг 1г) бг = — яп ( — Г рдл — — — — — — à — се+в ,гр (л/ 4 Р' 24 ОБг / р 4) (3) н нз условия совпааения аыршкеннй (2) н (3) приходим к правилу квантования — ~ р да = я (и + -) + — — / — бя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
