Galitskii-1 (1185111), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Для этого заметим, что соотношение (3) слелует нз записи в, ф. а виде » зсп ! - ( р ГСà — — ( Счйг — — ) ю Сг С»мн [ + 7~] (4) ,/р„(г) ~Л / ' й / 4 У', [(и - 2)ГС.-»СГ с с О. Существеннейшим здесь являстея то обстоятевьство, что значение фазы ГГ не зависит от энергии. При этом волновые функпин всех состояний (дяя данного 1) при г 0 имеют одмнаковую, не зависящую от энергии часгнпы радиальную зависимость, что обеспечивает обращение в нуль вненитирааьного слагаемого в соотношении з ХГКХ~бг = ( (НГХГ) Х»бг — — [ХГХ ХС2~][ 2»п е е н означает. что задание"' 7~ осущеспюяег саыосопряженное расширение эрмигова оператора Е (на состояниях с моментом 1, сравнить с !.29). з»СЗ»ление $ зкепеаленпю фнкеяроаеилю щюозвния оанаю нз уроси»в. пспчеренсм, по ояпи н тот зе леэеиезр 7, определяет еаовстза состояния как днехрепено спектре, лри ю < О, Гак л непрерывного сп»хпм.
аэн В > О. Зеиегнм Геккс, по есле ризистсить юмэног сер»зевес лстеиоиеае прх г < ге, зила сг(г) УО'е) (еиссго иелрохиааеиол смихп»), Го дзя заехсхмссгл 7р ог с мозно получпзь соатнсюохие й = э!+ яс/2, сравнить с 9.7. 62. Кдозиклассические Оолнобые фрикции, дерояашосши и Саед«ив 271 3) Проведенное исследование непосредственно переносится и нв случай и = 2, если вшсти ююраюгу Лалгера в цемгробежиый потенциал.
Воспользовавшись эиаченнен интецюла /с' ~ с с+ т/с': ауту (5) г 2 с- ьч -аэгг приводим правило кввнтоюцшя (3) к виду Еа 2ша / 1 ! аг 1п — = 21гп, а, = — — ~1 + - ) > О. Е ' Лг и иэ условия (7) следует /2яп'ь или Ем — -Еисхр ~ — ), а=О,Ю1,62,..., 'ха,)' «и а,ш — ю-яп, «а что совпвлвет с (6). 92. Квавикласснцескне волновые Функции, вероятности н средние 9.1$. Получить вырюкенне для квазиклассической волновой функции в импульсном представлении в области характерных значений импульса частицы. Найти распределение по импульсам частицы а стационарном состоянии дискретного спектра.
Дать классическую интерпретацию полученного результата. Реагеиие. !) Рвссм~рим сначала квазиклэссические ыюновые функции вида быушей волна Ф+(а) ю схр т(ы- ) р(е') Де'), р(х) = 2ш(Е -7/(е)) > О. тЯв) ( д,/ Соапмктвуюшне им в.ф. в импульсном представлении имеют вна Ф (р) ю — ) схр ( — (й / рде'-рл] ) Отсюда сясдуст явное выражение лля спектра 2еп \ Еы=Е..хр ( — ', п=О,Ю1,Ю2,.... (6) а! )' Отьитнм, что число уровней бесконечно как за счет существования состояний со сколь угодно больцюй энергией связи (и -ч -со), твк и эа счет сгущения уравнен при Е = О (двя и +оо)," послепнее отсутствует в случае и > 2.
Приведем также вырюкение для в.ф. иа малых расстояниях. Используя (5) и (6), согласно (4), находим дю!(г) ю С,ъгг ип (а, (!и ( — ) + 1] — - ~. (7) Квк и слелуст, зависимость фаэм от энергии при г -г О отсутствует. Заметим, наконец, что лля патеицнюю 1/ = -о/г' у. Ш. допускает точное решение.
Прн этом х =с е„,(.), (8) где Е„(э) — функция Мюшонаяыю, в точный спекзр совладает с квазнкявсснческим (6). Действительно, при г -ч О рвднввьиая функция (8) прииимшт вню ггг 1 Хв(г) ю С)Г(нц))т/асов (а, Нг — + ый Г(-1ой), к = -з/-2шЕ 2 )' л Глава 9. Кбпзнклпсспчаслае лриблнлгеннп (не путать р квх переменную прсаставлення с жр(а) — импульсом кпасснческой часгншгг) Характерная особенность интеграла (1) дпл кваэнкпасанчсских мктояннй в том, чга фша р(з) его зкспоненцнельнопг сомнапнтеля квк функция л бмстро нзменястся н значение нншгрвла апрввешмтся в основном вкладом окрестностей сгвцнонарных тачек покаэптсяа зкспоненпп. Обознвчны положенне этих точек каку«1 з,*(р).
Онн определяются нз условия — =О, нпн жр(а«) =р. дрь(в) (2) дз Разлагая р~(а) в окрестности точек хе(р), нмееы (аь) '(*)-'(*:) (* (.-*;)', (3) пшсь м = -(у'/ш и е — ускоренно н скорость классической частнцы в иютвстствукицей тачке вь. Выноса теперь в (1) эа знак ннтсгрвла медленно меняющийся миожнтель р 'Гг(*) (т.е. заменяп ега значеннем в саатвввгвующей стационарной точке) н вмчисшш получаю- шнеся шпчгрвлм с нспользованнсм разложения нг (Э), нахолнм Ф (р) ш ~ ехр [- [и ( р дз — ра,~ ~. (4) Подчеркнем, что вкпап в сумму вносят все точки квасснчсской тгюекторнн частнцм, в котормх онв нмест импульс р (при этом Ф = О для знвченнй р < О, в Ф = 0 прн р> 0).
2) Рассмотрим теперь в.ф. Ф„(н) стацнонарнога состояния в пашнцнвяе с одным мнннмумом, рнс. 29. Звпнсав сннус в (1Х.б) через экспоненты н используя (4), магазин прн р>0: -г /ехр(гр(в,(р))) схр(гр(зэ(р))) ( (5) Т(В.) [,/ (зг(р)),~ ( э;)) ) ' г 1 в Ф„(р) лля знвчсннй р < 0 получасгсв комплексным сопряженнем вмраження (5), вмчвсленного прн ммнульсе, равном )р). Волновая функшш (5) отличка от нуля лншь прн значеннях нмпуяьса -«5«ь-:и. В ней учшно, чю уравненнс (2) нмсег два карня, расположенные по разные стороны от точки мннпмума потенциала (Г(а), которые «слнввются» прн р ро (в точке мнннмума (Г(в), лля ббльшнх значений р урввненпе (2) уже нс нмсст корнея).
Распрелслснне по импульсам, 4УР,(р) = (Ф„(р)( Ир, нз-эа наличия в (5) быстро осцвшнрующнх экспонент также сндьно осшипнрует (спзвнпть с осцвшяцнямн (Ф„(в)( ). Однако сслн усрслнвть шо распределение уже по небольшому интервалу импульсов, то ннтерфсренцнонный член пропаввст н пощчватгл /11бр ~ (*,(р))+ (*,(р))У' Т(В.)* (6) (шесь и > 0).
Это выражснне допускает простую классическую ннтерпрсшцпю. Действительно, переходя в вырвжеинн ииг„= гй)т(е) от времени двнження бг вдоль траектории к нзмененпю прн агом вмпульса частнпы хп еспн нх н«т, га в расснатснзасмон прнбпншннв Ф+(р) = о. прв агом з хаасснчссхп запрем«ннов обаастп, гвс з.Ф. Ф(с) зхспонеиапзльно эбыаает, можно считать Ф = о. Згу Хотя ннтмрнрозенпс прозолптсе по узюгм областям около точек а,".
еанпу ам«трав сишамосгн его мазшо пропззодпчь з Веском«чных пасаапх; нопэчзюшн«ся нныгрвлм — ннмгаапм Пуассоне. 5 2. Кбоэикаоссичеслив долиобые функции, Веролтиости и средние 273 н учатмвая двузначность зависимости и(р) от р, прнходнм к распрелеленню по нмпульсам квасснчсской чвстнцы, совпадающему с выраненнем (б) (сравнять с классической вероятно- стью йтр„„= 2 гэх/Тн(х) для координат частицы).
ох. 16. В стационарном состояннн дискретного спектра найти вероятность нахождения частицы в классически эвлршценной области. Применить полученный результат к линейному осцнллятору. вен мпппнкн эп с-С 1 2ячзэчз Аг(э) ш э 2г 1, (2) виэ(э~у' ~ 4,/' где б = 21э)эл/3. теперь нэ сшивания решения с нормнрошнной на сднннцу кваэнкласснческой волновой функцией (131.6) находим 4ш сэ=2я ( — ) Т '(Е,) н дая вероятности нахокдення частицы в кяасснческм запрещенной области справа от точкн остановкн * = Ь получаем м~ = / (Ф(х))эйхш — ~ — ) /(Аг(э)) йэ. Т(Е.)~2 (Ь)/ / э е используя связь функции эйрн с функцнсй макдональды Аэ(э) = т/э/Зяэ киЩ), где б = 2)э(эгэ/3, н известное значение интеграла ) э 'к,'(з) Вэ (см.
[33, с. 707)), находим искомую е вероятность где для потснцхмеа прншденного на рнс. 29 вила учшнм обе классически запрешенныс обшктн,' Г(э) — гамма-функшш, прн этом Г (2/3) ш 1,354. 2( я ллюпора Г/= эхэ/2, Е„=Л (и+ «2) нмеем Р'(а) = Р'(Ь) = 2нгдыэ (и+ -~1 2/ ээг тек «ш ярн атем ( Л ') / у(а) ле), то нз (2) елеауют пряееленние е (1Хзе) Усхезия сшнееяня г кнннкласснчееэзп решеннй (сбязсгь 1П Э 1 — уае сбактызвзикиегснчностн). Решение. Основной вклад в искомую вероятность вносят области, нспосреаственно прнмыкающне к точкам остановки, где нврушаскя кввзнклвсснчнссть.
Рассмотрнм точное решение у. Ш., осношнное нв линейной аппроксимации потенциала в окресгпоспг зтю< точек. Вблнзн правой точки доворота, х = Ь, у. Ш. принимает внд Ф"(х) — (х — Ь)Ф(х) = О, 2нэ(Р(Ь)( (1) пгс (Р(ь)( = гг'(ь), е = Щь). Звненой переменной /2ш)Р(Ь)('т à — (.-Ь) Л прнаодин (!) к виду Ф"(э) — эФ(э) = О.
Решение этого уревнення, убмвающее в глубь классически шпрсщенной областн, вырюкастая через функпню эйрн, т.е. Ф = слг(з). еа Глава 9. Кбозиклиссическое при близквиие н согласно (3) поучаем 1Ч -ОЗ ю„ю О,!34 (и + -) 2/ (4) Как п обычно, кзвзнклассичсский результат имеет достаточно высокую точность и ллл значений л 1. Твк. зля основного н первого возбукаеипого ожтояний осцилзятора нз бюрмулы (4) слезует ме ю 0,169 и м, ю 0,117, в то время кек точныс значения стих верояюосмй резни 0,157 н 0,112 соответственно. 9.17.
Каково в квазнклассическом приближении средмве значение физической величины Р(п), являющейся функцией только координаты частицы, в п-м стационарном состоянии дискретного спектра7 В качестве иллюстрации найти средние кз и кс для линейного осцилллтора н сравнить с точными значениями. Рмиеиие. В приближении (1Х.б) для волновой функции получаем ь Э /)з(е)бс /2ю / Р( )де - = т(В.) l в(*) = т(В.) /,/В„-(Г( ) 9.18. В кввзиклассическом приближении найти выражение для среднего значения физической величины Р(р), лвляющейся функцией только импульса частицы, в п-м стационарном состоянии.
Вычислить средние рз и ре для линейного осцнллятора и сравнить с точным результатом. реювиив. Воспользуемся лля волновой функции приближением (И.б) и вырезны синус через экапоненты. Теперь заметим, что р ип(-/рдв) ю твк квк ввиду кмюнклассичностм следует лмффереициразать лишь экспоиеипивльныс сампожнтелн как наиболее быстро изменяющиеся. Аивлогнчнми (1) выражением, с заменой в прелой чести )жр(л))' на г(лр(а)), описывается результат действия не рассматриваемую е.ф.
оператора Р м 2г(р). Теперь вычисление среенего Р, сводится к вычислению четырех ниюгралов. Двв нз ник содержат бмстро осцнллвруюшис множители, ехр ((ж21/Л) / ряс], поэтому оии мелы н могут быль гнтущсны. В результате получаем 2 Г Р(2г(е)) — У(-р(е)) 1 Г 2з(р(е)) Де т(В.) / е!е) бз = — зф т(Е„) 3 е(е) (2) твк чта кввнтоюмсхвиическос аредисе совпеласт со средним значением за период лвижепня в классической механике.
Для линейного осцнллятора, (Г = пьызет/2, по бюрмуле (1) получаем — 3,/, з'=а ~п+-), ь'=-а ~н +н+-/, (2) 2)' 2 ь 4/' где аг = Л/ты (дяе вычисления интжраяов удобна сделать подстановку е = т/2В,/тлыз мп и). Значение вз совпадает с точным; отличие кввзнклесаического среднею ез от точною только в том, что в последнем вместо слювемаю 1/4 (в скобках) фигурирует !/2. Зги результаты согласуются с кввзиклвсанчсской точностью вмрвжеиня (1), обеспечивающей правильные значения первмх двух членов рвзяоження по параметру 1/и рассматриваемой физической вслнчппы; сравнить с 9 10 и 9 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
