Galitskii-1 (1185111), страница 70
Текст из файла (страница 70)
9.24. Найти предэксноненциальный множитель в кевзиклвссическом еыршкении длн коэффициента прозрачности барьера вида, приведенного на рис. 32, а, и прн укаэанной там энергии частицы. Применить полученный результат к барьеру из 2.35 н сравнить с точным, см.
также 9.23, О). г/(х а Ь 6 0 Рис.32 Ренгелие. Поступая тэк же, кзк и при выводе кзвзнклвссичсской форнулы (гХ.9) для прони- цаемости барьера, см. (!, б 50), н считая, что пвявюшне нв барьер частицы движутся слезя направо, запишем волновую функцию при * > Ь в виде с !' г гя ) Ф(я) = — схр ( — ) р(х)дз+ — ). =,гр(— .) (»,)' 4 )' При этом в, ф. в области барьере 1 С Г! Г ф(з) = — ехр ( - ) (р(в)) дз~, 0 < в < Ь т/'!р(*)) ( й / (2) ц! Сравнить с енелогнчинм нзмснснясм фазм кзазнкзвсснчсскай волновое функции при рассмотрения сэяззнимх сссгояння, нэиыдяшим х мохифнкзцнн правым хвзятоваиня Бора — Зонмсрсильзв в звпвчнг 9!.
Глава В. Квозиклоссическое приблилгпнип (здесь отброшено затухающее в глубь барьера слагаемое). Существенно, что в условиях зшшчи зго решение при ненимо, вообще говоря, нешюредствеино вплоть до точки о) е = О, в которой потенциал иапытыввст скачок, Волновая функция при я < 0 имеет впд ф(я) = — ~схр ( — / рдэ] +дахр (-- ( рдз~].
з с (3) При такой норнировке коэффициент прохождения барьера Р = (С)г. Сшивая выражения (2) и (3) в точке а = 0 (используя непрермвиость в. ф. и сс произволнай, причен ввиду квазнклвсснчностн достаточиодиффсрснпироввть лишь экспоненпиэльныс множители как наиболее быстро изменяющиеся), получаем (1+ А)р, ~ (О) = С(Р»(Е))рг(0))) (! — А)р< (О) = !С(тгг(0)! Г Рз (Е) где м»-,Ь и-'ш, нш-ф и,-н, а Ре(Е) определяется обычным кшзикэвссическнм вырюкением (!Х.9) лля пронинвсмостн барьера. Отсюда легко нююяин значение С, в с ним н коэффнпнснт прозрачности барьера: (4) Появление здесь прелэкспоненпивльного множителя (величине которого порядка свинины) по сравнению с (!Х.9) связано с изменением условий сшивания квазнклассическнх решений в окрестности точки поворота а = О, Применительно к поюнпналу нз 2.35 имеем Уз = Ус, Ц = 0 и предэкспоисициальнмй множитель оказывается рваным 4 т/Е»ТУ» — Е)/Ус.
Прн этом (4) совпадает с точным результатом (естественно, при большой величине показателя экспоненты, котла Р < 1, сравнить с 9.23е). 9.25. То же, что и в предыдущей задаче, но для потенциального барьера вида, приведенного на рнс. 32, б). Применить полученный результат к прямоугольному барьеру нз 2.31. Решение.
Залечу можно было бы решить так же, квк и предыдущую, учитывая, что теперь условия сшивания кввзиклассических решений, основанные нэ линейной аппроксимации потенциала, изменяются в обеих точках поворота а, 6, Однако окончательный результат представляется очевидным и без вычислений. Для этою зачетны, что нодификация кввзнклассической формулы (!Х.9), связанная с изменением условий сшивания волновой функпни, нспользусммх прн сс эмеояс, сводится к появлению дополнительного прсдэкспонснииеяьного множителя о(Е), зависящего от характера нарушения условий кшзиклассичностн в окрестности точек поворота. Важным свойством этой зависимости является ее 46акшарипмаллнй внл: о(Е) = о,(Е) Оз(Е), тле не за виси нею лруг о!друга м нож итслк а, г(Е) связаны с каждой из тачек поворота (на первый взгляа такое соотношение нсоче внииа из-за различного вида решений, с щи вас мы к в левой и правой точках поворота; однако если учесть независимость коэффициента прохождения при данной энергии от направления падения частиц на барьер, то оно представляется уже естественным, сравнить с 9.26).
В условиях сшивания решения, основанного на линейной »з! При этом Е ие пмзжо бзпь слишком блнззин к Уг н У~ (чюбм в окрссгнаспг гочки з = О из перушевась условие кеззикзвссичшктн). насели У(з) = У~ саин прк е < О, то етарас мранячсннс амутсгеуег. 5 3. Вролождение через потенциальные барьеры аппроксммаинн потенциала н приводящего к формуле (!Х.9), имеем а2л = 1, а е условнях прсдыдушей задачи , Р--и,22Ч вЂ” -П а2=, а!=1.
(2) 2 1 согласно (1), лля данной заввчн а, описывается вырыксннем (2), в аз(е) отличается от а,(Е) лишь заменамн В2 на Вз н Уг на Вы Это замечение Решает вопрос о вмчнсленнн проннцаемостн барьера: Р(Е) м а,(Е)аг(Е)Р,(Е), где Ре(Е) описывается (1Х.9). Отсюда лля прямоугольного барьера высоты Уе н ширины о получаем при, Ъ 1; (3) т(!/з — Е)а л2 Е(!/е — Е) ! 2 В(Е) = 16, ехр ! -- 2пз(Вс — Е)оз) Вез ( Л сравммгь с точным результатом лля проннцвсмостн барьера нз 2.3!. Решение.
Формуле (!Х.9) прн Е О непрнменнмам!. Согласно ей В(Е = О) и О, в то время как точный результат дает В(Е) ш ЬЕ -ч О. Для вычисления коэффициента Ь в этой зввнсмностн согласно 2.39 надо найти решенне у. Ш. с Е = О, удовлетворяющее граничному условию Ф(а) -2 1 прм з -2 Еоо. Твк квк в случае Е = О квазнклассичность на больших расстояниях нврушаешя, то в этих областях глелует ыюпахьзоеаться точным решением у.
Ш., а затем сшить его с квазнклассическнм решением ма конечных расстояниях (глс точное решенно уже н» может быть получено, но прнмснныа кввзнклвссмка; сравнить с аналогичным подходом прн решеннн задач 9.8 н 9.9). У. ш. на больших расстояниях, где У(я) ш У2 2(е/)и!)и 2, прннимвет внд а 2тГ/о" Ф' — — „Ф =О, а= —. (*!" ' л] Решения этопг уравнения выражаются через цмлннарнческне функции (см., например, (33)) т/(н(Е,(2!2/аз(я('/~), е =— 2 — и С учетом граннчного условна Ф(+оо) = 1, Решенно у.Ш.
на большнх расстояниях справа следует выбрать в ваде Ф = Ст/е/ н(2!2/а2г,х /гн), С = (22/аз2)пГ(! — з,), (1) где Г(з) — гамма-функция. На расстояниях е < а, ', шюпсльзовввшнсь аснмптотнкой функпин Бесселя 3„(з) ш ( — /! з!и (г — — + — /1, з оо, 2 «( получаем Ф(я) ш С!н ~ — ) е"'/~схр ( — в'/ н) 2,«п2/а2/ ~, и2 - 2 (2) (здесь учтено, что аргумент функции Бесселя в (!) — чисто мннмый, в и > 2; прн этом экспонснцнальио убывающее с уменьшсннен а слывемсе в (2) опушено).
Это решенно имеет Мг Сразить с 9.23 б! 9.26. В кеазикласснческом приближении найти для медленных частиц„Е г О, проннцаемость потенциального барьера, имеющего прм и — шоо степенное убывание (/ ш Упт(о/(кОп" с и, 2 > 2. Обобщить полученнь2й результат на случай барьеров с экспоненцнальным убымннеи на больших расстояниях. Глава 9. Кдеэиклиссическое лриблиэкение уже квезикяасснчсский внд, что определяет в. ф. Ф(х) во всей обхвати квазнкласснчностн нв конечных расатояниях(где патенпиал, конечно, нс описышется своей аснмпгогикой): Фм ' схр(- / (р)лх~ ш 2 ехр(-- / (р)дх~, (3) зассь р = (/-2шН(х)2 Г ) 1 (й е(2( ~-2) -и2( 2 2) С) =С)ехр(--3( (р(ех) = -у-(и) — 2)и "' а, " Г((-а(). ( й/ 1 2Чл (4) Ю Теперь занетнм, что решение у.Ш.
иа больших расстояниях слева (т.с, ири * -аа) жискно бмть выбрано в виве (6) В(Е) = 7((Е)72(Е) ехр -- 2тН(х) лх~ и Е, ( й3 В (8) где ш,з(В) = 2лр(,2 (9) Усшноаеенный характер модификапии квазиклвссической формулы ((Х.9): появление лаполнительиого предэкспонснпивльиого множителя 7(Е) и его 4мктаризоввиный вид 7(Е) = Ъ(Е) ' 72(Е) отражают общую закономерность, отмеченную в преаьшушей задаче. Аналогичным обрезан можно была бм рассмотреть случай потенпналв с экспоненциахьимы убыванием, Н ш е "'(", на больших расстояниях (о точном решении прн этом у.
Ш. см., например, 4.86). Однако, если иметь в нилу 9.236), то окончательный результат представляется очсвидимм н без вычислений; а этом случае та 2 = 2 за (2хдИ2 2) схр ( — 2ийй( 2) (1б) Ф(х) = С4'-хН»;2, (2(маза)(-х)'(~2), Гдс Н» (2) — фуи)и(ия ГВИКЕЛЛ, Гах Хах Нисниа ОНО Прн Зиачсипях )Х! и, аз 2 В Казан классической области переходит в экспоиенииально убывающее в глубь барьера решение (3). Воспользовавшись асимптатикай Н( )(х) при х со, пол)чаем (2) С = -2.
— ехр — яе))С). 1( (и, — 2)д ( 2 Теперь, исполюуя связь функций Гвнкеля н Бесселя, находим асимптотнку решения (5) при х -аа (при этом аргумент функции Ганксля стремиться к нулю). Она, квк н следует, имеет вна Ф ш -Вх, причем, с учетом выражений (4) н (6), коэффиписит В окаэыаастса равным »Ю 1 ( 1 Г В = — ехр (-- 1 (р(лх~, ВВ, ( д,/ где значения В2 2 определяются выражением Г(! — е) ((и — 2)"~ (7) (индексы 1, 2 дяя краткости записи опушены). Неко»)еи, еаспальзовава2хсь результатом 2.39, приходим к искоману вырюкснию дяя коэффиинента прохождения медленных частни, которое махно записать в виде 6 3. Прохозкдение через погленциольные барьеры н двя мышениых частиц тсз еяаЕ~ з.
(1 1) Поучительно получить послслнее соотношение из вмраженнй (7) и (Я), рассматривая экспонснпиальный котеипиал как результат прыельного перехода при и — ~ оо степенного потенциала. Для этою введем сначала *с = иЕ и рассмотрим значения х, блнзкнс к *е. При зчон э э эс Соответственно для перехода ст сюпенного потенпиааа 87 = о/*" к зкспоиенцнальиому Г/ = Г/ес Ыл наса положить о о — „ш — „= Г/„т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
