Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 51
Текст из файла (страница 51)
1!1 мы имеем (2) таким же соотношением, как н в теории Паули (формула (38) 5 6 ч. 1П), а именно, Р =азу,Р +! — ). . лГх (4) Мы предполагаем, что четырехкомпонентная функция ф* есть собственная функция оператора лэ — — р,М', (6) который (в отличие от зу*) коммутирует с оператором энергии. Поэтому мы можем воспользоваться формулой (16) $ 4 и положить М*~>* =- ййр,ф'. (6) В силу соотношения (4), будет Рф — зз(Р + — р)Ф Этот оператор связан с изученным в $4 оператором .~( = о Рф+ззРЯ (3) эи УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РАПИАЛЬНЫХ ФУНКНИИ 339 и, следовательно, Р.Р*ф — зз (Р.Р„+ Рь — ") ф .
(8) Таким образом, уравнение для собственных функций оператора энергии напишется И Н'ф" = ~ сраззрс + срьзз — + л2с2р, + У (г) ~ 212' = ()гф'. (9) В это уравнение входят матрицы (1О) та = РаЗЗ тЬ = РЬЗА тс = Рсс которые удовлетворяют тем же соотношениям татЬ Ьтс тЬтс = Ста тста ЬтЬ (11) как и матрицы р„рь, р,. Для удобства дальнейших вычислений выпишем матрицы т„ть, т, в явной форме.
Мы имеем 0 0 0 — !) (! 00 0 0 0 0 — ! 00 — с 0 0 с 0 0 с 0 0 0 0 — ! 0 0 0 0 ! 0 0 00 — 1 001 0 о ! о о (12) -1оо о Перепишем уравнение (9) в виде Н"ф*= (ст,р,+ сть — + пгс2т,+ Н(г) ~ 2Р*= (к'2(2". (13) Пользуясь выражениями (12) для матриц т„ть, т„мы можем написать уравнения (13) в раскрытом виде.
После перенесения члена с потенциальной энергией в правую часть мы получим (14) Подставляя сюда значения ф',. из формулы (20) $ 4 и заме- няя оператор р, его выражением через производную, мы полу- чим для радиальных функций )(г) и п(г) систему уравнений — сс!г — + сс — ьс+ тстав= ()()' — Н) ), 221 . И с2г г (сй — „„— 1с — 1+тс) =(Вг — Н)д, ан . И 2 (15) повторенную два раза, И ср,,2р', — !с И вЂ” сдзф2" — !с — ф", + сд,ф, '+ Ы вЂ” ф2+ И Аа — ср,ф,'+ ы — ф,'— 'ф,' = (йЯ вЂ” и) ф'Р "ч',=(йЯ вЂ” и) ф,", ЛЬссф", = ()Р— Н) ф",, ЛЬс2ф, = (Ц7 — Н) ф .
ТЕОРИЯ ДИРАКА 340 $6. Сравнение с уравнением Шредингера В уравнениях (15) з 5 можно избавиться от комплексных коэффициентов, положив 1+ а 1-а 'ч'2 ' З1'2 (1) откуда 1"1 +112 = ''2/21, 1"1 11"2 = '1/2 Д'. (2) Складывая и вычитая оба уравнения (15) $5, получим для новых функций 11 и 12 систему из двух уравнений первого порядка с вещественными коэффициентами ,21 А — 2 — 1 +и кс 7 дс Ы12 й — тс'+ Ф вЂ” Гà — + — 1= Йг Йс 1. (3) Когда энергия Чг близка к +тс2, коэффициент при 12 в первом уравнении гораздо больше коэффициента при 11 во втором уравнении; поэтому 12 весьма мало по сравнению с 111 1 12 ! ~~ ! 11 (~ (4) а следовательно, функции 1 и д в уравнении (15) 3 5 почти равны друг другу (н почти вещественны).
Для сравнения системы уравнений (3) с уравнением Шредингера положим В' = таз + ŠŠŠ— У н будем считать величины —, и — весьма малыми по тс тс' сравнению с единицей. Если мы нми пренебрежем, мы получим К)1 Й 2тс ГС 22 Лг г 1 Ь 2' ,4 а е-и го гс (5) В2 с210 а2 (а Если мы положим здесь ~с = г)г (г), (8) где ~1, и 1~ ~— приближенные значения функций 1'1 и 1'. исключая из этих уравнений 122, получим для 121 уравнение СРАВНЕНИЕ С УРАВНЕНИЕМ ШРЕДИНГЕРА 34! то уравнение для Й(г) — — — Л+ —,, [Š— У(Г)) Я=О (9) г(гй 2 гЯ А (Ф вЂ” 1) 2ггг в точности совпадет с уравнением Шредингера для радиальной функции (16) 5 3 гл.
1г7 ч. 11, если только Шредингеровское квантовое число 1 связано с нашим квантовым числом й соотношением й (й — 1) = 1(1 + 1), (10) которое совпадает с (17) 5 3 ч. 111. Таким образом, введенное в $ 3 ч. П1 число 1 (т. е, порядок обыкновенных шаровых функций, через которые выражаются шаровые функции со спнпом) есть не что иное, как азимутальное квантовое число теории Шредингера. Из уравнений (3) можно исключить (г и не делая пренебрежений; при этом получается г(г (! А (А — 1) 2!в д~г Гг 1! +гг (Е Й1! ли 7 д, А х (я-и)г 2гггсг+ Š— У г(г ~ г(г Г ) !7 Вгсг В правой части стоят малые члены, представляющие поправку на теорию относительности н на спин, Для двух значений й=1+1 и й= — 1, (12) для которых левая часть (11) одна и та же, значения этой поправки различны.
Разность поправок к уровням энергии (диагональных элементов матрицы для поправочных членов) дает при. ближенаое значение расстояния между термами, а именно, ЬЕ=Е(й) — Е(-й+1) = 4, г (2й — 1) ~ — — [~г(Г)1~Й, (13) о где )г(Г) — решение уравнения (7)„нормированное так, чтобы было ~ ((гг(Г)")!г2Г = 1. (14) о Отметим здесь одно преобразование уравнения (11). Если мы положим ТЕОРИЯ ДИРАКА Гь и то уравнение для !р будет — — р+ — (Я вЂ” и) р = Мьр а (й — 1) 2гс дгс г- ас ! аси А аи (д-и)' 3 ~ Жl~с 4 (2с~ сс + Е' — и Р (, Нг,Г (16) Это уравнение уже не содержит первой производной от неизаи ! вестной функции. Если считать, что ~ » — ~ << тс'-, то последний член в правой части (16) можно отбросить.
В первом члене правой части можно пренебречь величиной Š— У по сравнению с 2тсз. и 7. Общее исследование уравнений для радиальных функций Обратимся теперь к исследованию уравнений (3) й 6. Эти уравнения имеют две особые точки: г=О и г=со. Начнем с исследования вблизи г = О.
Положим, что при малых г потенциальная энергия 0(г) разлагается в ряд вида У (г) = — —,' + А'+ А"» + ... (1) н подставим эти выражения в уравнения (2). Приравнивая коэффициенты при г'-', получим систему. линейных однородных Коэффициент — А~ равен, как мы уже отметили в 5 7 гл, 1Ч ч. 11, произведению заряда ядра й!е на заряд электрона — е, так что А = Уе'. Отбрасывая в коэффициентах правых частей уравнений (3) $6 все члены, кроме тех, которые обращаются в бесконечность при г = О, получим с(1 А А~ 1 — — — 1 = — — — 6+ г сс г =г+-1.= — -6 + ... а(г Гс А~ ! дг г ' Ьс г Положим, что вблизи г=О 1 =а г'+а',г"'+ ..., ~ г =а,г'+а,'гсы+ .
) () 5 Н ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАДИАЛЬНЫХ ФУНКЦ!ЛЙ 323 уравнений а1(а — й) + †' а2 = О, ~ — —,а1+ (в+ й) а2==О А1 Ьс для определения а, и а2. Эти уравнения имеют решение, если определитель из коэффициентов при неизвестных равен нулю (5) Отсюда получается для показателя з значение А2 Е= ~ '2~/ В~ — —,= ~ ЕО Лес' (6) где ес есть положительная величина ~~й2 у2 (е ) (62) е' Постоянная — есть отвлеченное число, равное приблизивс 1 тельно — . ~зт .
Поэтому при всех допустимых значениях 12' и й величина, стоящая под корнем в (6), будет положительна. Постоянная е' 1 у= вс !37 (7) носит название Зоммерфельдовской (Яопппег(е!4) постоянной тонкой структуры. Таким образом, вблизи г = О общее решение уравнений (3) $6 имеет вид ~1=ог" (1+ )+бг-"~вс(е"+ь)+ 1 1 (3) чтобы функции 11 и 12 обращались в нуль при г=О, необходимо, чтобы постоянная Ь равнялась нулю. г А1 А2 Если гс2=1, то ее — — ~/1 — ( —,зт) <1.
Поэтому, хотя 11 и12, а следовательно, и ф* будут обращаться в нуль при г=О, но первоначальная функция ф = — будет (для ~ и 1= 1) обра- 22* г ~/21МО щаться при г-еО в бесконечность, как г" ' =г22~-ФЛ~~!*-1, (О) ТЕОРИЯ ДИРАКА Агег — > тс', (10) т. е. г<Л! 3 10 ' см. (11) Займемся теперь исследованием уравнения для больших значений г. Положим, как и в $7 гл.
1'гг' ч. 11, что на больших расстояниях потенциальная энергия имеет вид и(.) = — — + —,. + ... А В Будем искать решения уравнений (3) $6 в виде 1! = е~ (аггз + Ьггз '+ ...), !( 12=с" (огсз+ Ьггз '+ ...). ) (13) Подставим эти выражения в уравнения и приравняем коэффициенты в членах порядка е"гэ и е""га-'. Мы получим тсг+ Нг а,а + а, „, = О, 1 „сг гтг а, Ь +ага =О, (14) Ьа+Ь2 Ь = — аг(р — и) — аг Ьс, тсг+ В' А 1 те' — Вг А Ь! Ьс + 1гга а! Ьс аг (Р+ й)' (15) Приравнивая нулю определитель в уравнениях (14), получаем для постоянной а значения а = ~= — Ь!тгс' — )с".
1 Ьс (16) Левые части уравнений (15) имеют те же коэффициенты, что и уравнения (14). Пользуясь тем, что определитель из этих коэффициентов равен нулю, мы можем исключить из уравнений (15) Ь! и Ь2, если умножим первое уравнение на — а, второе тс' + !Гг на и сложим. Мы получим йс А тсг+ Пг А тсг+ аг а,а(Р— Ь)+ага Ь +"' Ьс Ьс аг Ьс (еи+ 8=0, тс'+ !Р откуда, выражая аа и а, при помощи (14) через аг, В этом можно видеть некоторый недостаток теории. Это обстоятельство связано, быть может, с тем, что нельзя экстраполировать Кулонов закон притяжения на расстояния столь малые, что $ и исследоВАние уРАВнениЙ для РАдиАльных Функция а45 будем иметь после упрощений аг А 2а,ар+ 2а, — ° — =О. 'сс Ьс Это уравнение дает для р значение (17) аа2с2 Постоянных Ь, и Ь, мы определять не будем.
Сообразно двум знакам у а общий интеграл будет иметь вид те+аг / а, еагга ~1 1- — -1- ) -1- лс г глез+ ЧГ / а, +С, е 'г-В~1+ — '+ ...)г (18) или с )э= — С,ае"'га (! + — + ...) + г / + С,ае "г-В (1 + — + ...). (!8') Если мы предположим 1В" 1) гпс', (19) то величины а и 8 будут часто мнимыми и функции 1, и 1г будут при г- сс оставаться конечными при любом выборе постоянных С, и Сь Но эти постоянные мы можем выбрать так, чтобы Г, и Гс обращались в нуль при г = О. Следовательно, мы можем утверждать, что область (19) принадлежит сплошному спектру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
