Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ч ч. 1Ц дЯ,', (х) х ~д„+зЯ»(х) (р+з)Я', (х), [(12) % 4 гл. Ч ч. 1Ц где Я суть обобщенные поляномы Лагерра, подробно исследованные нами в $4 гл. Ч ч. П. С этим значением ), Я) мы можем положить ф~=Хе ' ч1~.,(я). (23) ТЕОРИЯ ДИРАКА 332 [Ч. м (27) Равенства (27) и (23) перепишем для краткости в виде ф Лфо ф Л.1,2 (28) где ф', и ф2' суть определенные выше функции. Уравнения (1О) для двухкомпонентной функции 2р представляют первые два уравнения системы ($1 Р + з2РР + БЗР ) Ф = Р'2р (29) для четырехкомпонентных функций.
В уравнениях (1О) о1, ом оз суть двухрядные матрицы Паули, а в уравнениях (29) з,, з„з, суть четырехрядные матрицы (21) 5 1. Структура этих четырехрядных матриц такова, что первые два уравнения системы (291 совпадают, как мы только что говорили, с уравнениями (10), а последние два получаются из них заменой 2р1 на — ф4 и 1р2 на 1рз. Поэтому если функции (28) удовлетворяют первым двум уравнениям системы (29), то вместе с функциями фЗ = 12Ф2) 'Ф4 = — $', (30) они будут удовлетворять всем уравнениям этой системы, Это имеет место независимо от вида операторов Р„, Рм Р„в частно.
сти, и для рассмотренного нами в $1 случая свободного электрона, причем уравнения (!9) и (23) 5 1 соответствуют уравнениям (28) и (30) 5 2. Ввиду такого соответствия можно не повторять выкладок 3 1, а только напомнить формулу (13) 5 1, связывающую соб. ственные значения В' и Р'1 Г = ~ 'Х1!п22сА+ с'Р', (31) н вытекаюнзее из (13) $2 выражение для Р'1 Р'=~ 1Р, '+ЮУ. (32) В заключение заметим, что зависимость функций (23) и (27) от угла 1р показывает, что они являются собственными функциями оператора й хРР УР + оз — Рр+ — оз (33) нетрудно показать, что как для положительных, так и для отрицательных значений т имеет место равенство — ~2$ — ' ( (2 л2)1, ~ = — 2111 1 .„,. Подставляя (26) в (25), будем иметь 2р1 =Л, ~ 21е 11'"+от~1 1.„+1Д).
ЗАдАчА со сФеРическОЙ симметРиеЙ ззз для собственного значения (34) Оператор и', коммутирует со всеми тремя операторами Н, Р и р„входящими в уравнения (6), (7) и (8). Этот факт выражает аксиальную симметрию рассматриваемой задачи. й 3. Интегралы уравнений движения в задаче со сферической симметрией Рассмотрим задачу об описании состояния электрона в поле с центральной симметрией по теории Дирака, Та же задача была разобрана нами по теории Шредингера в гл.
1'Р' и т' ч. П; кроме того, в части П1, посвященной теории Паули, мы изучили свойства момента количества движения электрона, обладающего спинам. Теперь мы познакомимся с теми отличиями, которые вносятся теорией Днрака; эта теория объясняет наличие дублетов и дает полную картину расщепления уровней энергии в магнитном поле. . Подобно тому как это делается в классической механике, удобно сперва рассматривать задачу в прямоугольных декартовых координатах, а затем уже переходить к сферическим. В прямоугольных координатах оператор энергии для нашего случая имеет вид Н =ср,(а„р„+ а„р, + о,р,)+ те'р,+У(г), (1) илн Н=ср,Р+ тс'р,+0(г), Р = а„р, + а„рР + а,р, где (3) 1 — бах~ 1 2 3аР 1 — Ьа е е .ЗГ„= т„+ .ХР— — тР+ "~"з = ~%+ (4) есть оператор, введенный нами при рассмотрении волнового уравнения Паули [формула (11) $5 ч.
1П). Различие здесь только в том, что в теории Дирака операторы для составляющих спина о„а„, о, представлены четырехрядными матрицами, а в теории Паули — двухрядными. В теории Паули были введены операторы 334 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ч. ч для составляющих полного (т, е, орбитального плюс спинового) момента количества движения. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям Я,Я, — Я„Я,=ИЯ„, Я„ЯР— Я„Я„= ИЯ„ а составленный из инх оператор Я=о„Я„+о Я„+о;Я,— — л, 1 (6) который можно представить в виде Я а„т„+ о„т„+ о,л4, + й, (7) коммутирует с каждым из операторов Я„, Я„, Я,.
Кроме того, как показано в $ б, ч. П1, оператор Я антикоммутирует с оператором Р, определяемым формулой (3): ЯР+ РЯ=О. (8) В оператор энергии (2) теории Дирака входит оператор Р, умноженный на матрицу р„и, кроме того, входят два члена, коммутирующие с р,. Так как матрицы р, и р, антикоммутируют, то отсюда непосредственно следует, что оператор Яо=р,Я=Яр, (9) будет коммутировать с р„Р, а тем самым и со всеми членами оператора энергии Н, так что мы имеем НЯо — ЯвН =О, (10) а значит и (Яо)=0 и Ф (1! ) Таким образом, для поля со сферической симметрией величина, соответствующая оператору Яв, будет постоянной.
Для произвольного поля производная по времени от этой величины была вычислена нами в $10 гл. 1 (формула (11) 5 10). Мы убедились, что в задаче со сферической симметрией три оператора: Н, Яв — — р,Я и Я, коммутируют между собой; поэтому мы можем рассматривать совокупную систему урав-: нений Нф=Яф Яоф = Иф, (12) ( 2) ОБОБШЕННЫЕ ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 335 Последние два уравнения тесно связаны с уравнениями для шаровых функций со спином, которые мы изучали в части П! этой книги.
Мы обозначили здесь целое число, пропорциональное собственному значению оператора л(гп, той же буквой й как целое число, пропорциональное собственному значению оператора «1 теории Паули (формула (22) 5 1 ч. П1). Это не может вызвать недоразумений, поскольку число й принимает в обоих случаях одни и те же значения и физический смысл операторов .а(г и,луо в соответствующих теориях аналогичен. $ 4.
Обобщенные шаровые функции Для нахождения общих собственных функций операторов ,зГп = р,.зу и М, необходимо преобразовать их к сферическим координатам. Это преобразование мы будем сопровождать каноническим преобразованием четырехкомпонеитной волновой функции, аналогичным тому, какое применялось в 5 2 ч. !П к двухкомпонентной волновой функции теории Паули. Четырехрядные матрицы О, о„, о., соответствующие нашему выбору матриц Дирака, мы будем обозначать") через зн з,, з,. Согласно формулам (26) 5 4 гл. 1 ч. ьг, мы имеем 0 — 10 0) 1 0 0 0 0 0 0 — 1 0 0 1 0 !! о оо 0 — 1 0 0 0 0 — ! 0 !О О О! 0 1 0 0 ! 0 О 0 0 0 0 — 1 !ОΠ— ! О Чтобы выразить операторы а1', и Х в сферических координатах, мы можем воспользоваться формулами, выведенными в 5 2 ч.
П1 на основе теории Паули, с той только разницей, что мы должны заменить фигурирующие в них матрицы оь о,, оа на л„л,, ам Выпишем главнейшие из этих формул вновь (в новых обозначениях). В сферических координатах Г, б, гр, связанных с прямоугольными х, у, г обычными соотношениями х=гз!пдсозср, у=ГЕ!ПОБ1пф, Я=гсозб, (2) операторы .я', и М имеют вид 2 Ь Я =( — з, з!п1Р+ засов сР) Ро+ + ( — л1 с1дбсоз 1Р— нас!дб з!и 1Р+ з ) РФ+ й, (4) *) Смешения этих матриц с введенными в части !У операторами а„, а„, а, для составляюших спинового момента количества движения системы электронов можно не опасаться. теопия дипхкх !ч. ч где, как обычно, р„ре, рч означают операторы д . д . д р = — И вЂ”, де=И вЂ”, р = — И— дг ' де' Я д~р (5) (впрочем„оператор р, в выражения для 3Т, и Х не входит).
Произведем каноническое преобразование операторов и функций по формулам, аналогичным (7) и (8) $ 6 ч. 1П, а именно, 9; =В.УВ+, ф =53Р, (6) где Я = соз — + 133 з!п — 8 = соз — — 133 31п —. (7) Ф ° Ф е Ф ° ° % 2 3 2 > 2 3 2 После преобразования мы будем иметь 37;= р, .я" = — 3, с1п бре + 3, ( ре — — с1п б ! + ззре + —.
И х и (8) (9) аналогичное (21) $ 6 ч. П1, Применим затем преобразование, а именно, Х =ТАТ+, где Т = соз — + 133 з(п —, Т О .. О + 2 2 фп= Тф', (10) =' соз — — !33 з(п —. (11) О .. О 2 3 2 Мы получим, как и в теории Паули„ М'"= .!3" = Р Ф' п 3~ бз — — — —.ч~). ) Мпе ч 2 (12) Наконец, полагая я'= т/З(нб !3" ', $'=.~/31нбф", т73!и О (13) будем иметь (14) ΠΠΠ— 1 О О 1 О О 1 ΠΠ— 1 О О О ра = ра = (15) Согласно (7) и (11), матрицы канонического преобразования 5 и Т содержат только операторы з„з.„з3, но не содержат р„ рь, р,. Поэтому вид этих последних операторов при преобразовании не меняется. В частности, мы имеем, согласно формуле (27) 5 4 гл, 1, ОБОБШЕННЫЕ ШАРОВЫЕ ФРИКЦИИ ЗЗ7 После умножения на р, уравнение для собственных функций оператора Ж' =р,з»' можно написать в виде .Ж'ф* = Ир,ф*.
(16) Соответствующая уравнению (16) система уравнений для четырех компонент функции ф" будет иметь вид — „ф. — 1р ф, = — ййф, Рр Рф 5!и о (17) Рф ф» — (Р ф» =/гйфз', Р»р мпе фз+ Рпфз ф4' Если выразить операторы Р и оз через производные и изменить знак в обеих частях некоторых из этих уравнений, мы можем написать их в виде двух одинаковых систем уравнений для двух функций каждая, а именно, дфз дфз — — — =еф, Мпд дф де (18) д»Р~ д»Р4 51п О дф дд — + — =йф дфз д»Рг — — — = — йф, Мп О д»р де 4' (18*) 1 дР» дфоп — — + —.= — Йф .
Мпе дф де 1 дд дй — — — — =йу мпо дф дд 1 дУ д»' — — + — =и. 51пе д»р де (19) Уравнения (18*) отличаются от (18) только знаком при я. Такие уравнения уже встречались нам в теории Паули при рассмотрении шаровых функций со спином Я 3 ч. П!), Мы их писали там в виде 1ч. ч ТЕОРИЯ ДИРАКА Решением наших уравнений (18) и (18') будут функции ф',=~(г)У(6, ф), ф,' = й (г) л (б, ф), ф,=!(г')Л(б, ф), ф;= — а()у.(б ф), (20) где функции !(г) и д(г) уже от 6 и ф не зависят.
Зависимость нх от г определяется уравнением для собственных функций опе- ратора энергии. 5 5. Уравнение для радиальных функций Обратимся теперь к оператору энергии. После преобразования к сферическим координатам его можно написать в виде Н'=ср Р'+ тс'р,+ !1(г). (1) Оператор Рь для четгярехкомпонентных функций получается нз соответствующего оператора для двухкомпонентных функций заменой матриц Паули аь он оз на четырехрядные матрицы з,, з,, з,. На основании формулы (37) 5 6 ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
