Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 49
Текст из файла (страница 49)
1, Н= с(а р„+ азра+ азр,)+ тс а4, или Н =ср,(о„р„+ а„рз+ а,р,)+ тс'р,. (2) (3) Так как для свободного электрона имеет место закон сохране. ння энергии, мы можем к волновому уравнению присоединить уравнение для собственных функций оператора энергии Нф = В'ф. (4) Далее, операторы р„р„, р, коммутативны с Н и поэтому являются интегралами уравнений движения. Так как они коммутативны и между собой, мы можем считать составляющие количества движения заданными числами р'„, р„, р', и подчинить функцию 4» добавочным условиям д4» р„ф= — И д'» =р„'ф, д4» Математически это равносильно тому, что мы зависимость всех четырех функций 4»4 от координат и времени предполагаем 325 $4) своводныи элвктяон в виде (2РХ+РРР+РРР 42 4) 414 4рсе 2 т.
е. рассматриваем плоскую волну. Еще одним интегралом является оператор Р = о„р„+ о„р„+ о,р„ (7). который коммутирует как с Н, 4ак и с р„, РР, р,. Мы можем, следовательно, подчинить ф также условию Рф = Р'4Р. (8) С оператором Р мы уже встречались в теории Паули, но там нам не приходилось вычислять его собственных функций, поскольку в уравнение Паули входит только его квадрат, который при отсутствии поля равен Рз= р';+ р„-+,.
(й) Поэтому, когда р„', р„', р,' заданы, величина Р' может принимать только два значения Р— 4-,РР,"4. Р'„'4-Р ° Р = —,/;, 4-;„*4.;,. ОР) Оператор Н, выраженный через Р, будет иметь вид Н = ср,Р+ тс'р,. (11) Так как Н2 т2с4 1 с2Р2 (!2) собственные значения ят оператора Н будут ИР = + ~lт2с4 + с'Р' и (р = †.ь/т2с4 + с2Р2.
(13) Таким образом, при заданном значении количества движения мы имеем всего четыре решения первое (Р =+1'яГ 1, Р=+1Р 1, второе йг=+1)Р 1, Р= — 1Р1, третье В'= — 1Иг 1, Р=+1Р 1, четвертое 112= — 1йт 1, Р= — 1Р 1. Первые два соответствуют положительной кинетической энергии, из них первое — магнитному моменту илн вектору спина, совпада4ошему по направлению с направлением движения, и второе — направленному противоположно движению. Последние два соответствуют отрицательной энергии и не имеют физического смысла в рамках обычной квантовой механики, оперирующей с сохраняющимся числом заряженных частиц; [Ч. Ч теОРия дигхкх 326 (18) где 0 1 ! 0 о о 0 О ! 0 о — ! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -! 0 — [ 0 0 0 0 0 О 0 0 — [ 0 О [ 0 0 0 0 0 — 1 О 0 !) (21 Яз = — 1 О ) то уравнения (18) для функций зр[ н фз сохранят свой вид, но к ннм присоединятся два аналогичных уравнения для функций фз и зрь а именно, — (Рз + [Рз) фз — РАз = Рфз — (Р, — [Рз) фз+ РА = Рф (22) Решение этих уравнений мы можем написать в виде ф -Н(Р.+[Р,), фз- — р(Р+Р,).
(23) в существовании таких решений мы уже убедились в общем случае в $11 гл. 1. Найдем теперь собственные функции, описывающие эти четыре состояния. Мы имеет систему алгебраических уравнений (4) и (8), которые напишем (отбросив везде штрихи) в виде (а, Р„+ азРз + а,Р,) ф = Рф, (15) (ар Р + тсзр,) зр = %7[р. (16) Эти уравнения служат для определения четырехкомпонентной функции зр.
Но уравнение (15) сохраняет смысл и для двухкомпонентной функции теории Паули. Если мы, согласно формулам $1 ч, П1, будем разуметь под а,, аз, а, матрицы Паули а„=а„а„=а,, а,=аз, (17) то уравнения (15) напишутся (Р— [Р )ф + РА =Рфо (Р +[Рз)Ф вЂ” РЯ Р'Ф. Вследствие соотношения (9) определитель этой системы уравнений равен нулю. Мы можем положить зР[ = Л(Р+ р,), фз — — Л(р„+ (рз), (19) где Л вЂ” постоянная.
Если же мы будем рассматривать (15) как уравнение для четырехкомпонентной функции н возьмем, в соответствии с формулами (26) 9 4 гл. 1, в качестве а„ а„, а, матрицы ах зо аз зз аз зз' (20) $и СВОБОДНЫИ ЭЛЕКТРОН Таким образом, решение уравнения (15) для четырехкомпонентной функции ф содержит две произвольные постоянные х и 14. Отношение их можно определить из уравнения (!6). При нашем выборе матриц мы имеем, согласно (27) 8 4 гл. 1, (24) и уравнение (16) в раскрытом виде напишется СРф~ теюф4 = )(! ФО сРф, + тс-'фз — — 974Р,, — сРФ + тс~4РŠ— — Иг4РЕ, — срф, — тсюф1 = 97ф4.
(25) Выражая по формулам (19) и (23) компоненты волновой функ- ции через Х и р, получим отсюда два уравнения ()ю' — ср) 7, — тс'р = О, — тсюХ + (Я7 + сР) 14 = О, (26) которые повторяются в (245) по два раза. Эти уравнения дают З, Нг+ сР тс' (27) !4 тс' В' — сР ' Отсюда следует, что отношение Ц14 вещественно и его знак совпадает со знаком энергии Я7. Из формул (27) следует также Л4 + н4 %' Л4 — 444 Р (28) 2Л44 тсю ' 2ЛИ тс ' Подставляя найденные значения (19) и (23) компонент волновой функции в выражения для вектора тока, приведенные в $8 гл. 1, и пользуясь соотношениями (28), мы будем иметь А,=47Л4Р(Р+р,), А,=О (29) и для пространственно-временных составляющих вектора тока При В' > О можно нормировать функции ф так, чтобы было А4= тсю, а при йг < О так, чтобы было А4 — — — тс'.
Тогда будет при Я7>О Аю=%' А4=ср4 Аю=ср„, А,=ср, (31) о о о) О ! О О ОО-1 ΠΠΠΠ— ! о о о — ю' ΠΠΠ— 1! О О 4 О ОО! О о — о о р о о о 4 ΠΠΠ— 1ОО О таоуия диухкх 1ч. у 328 и при Юг<0 Ао = Я7 А1 = — сР ° Ау = ср Аз = — сР,.
(33) Таким образом, пространственные компоненты вектора тока пропорциональны количеству движения, а отношения их к временной компоненте соответствуют отношению скорости частицы и скорости света. В заключение заметим, что в нерелятивистском предельном случае, когда энергия К близка к +гпсз, величины Х и р близки друг к другу, вследствие чего имеют место приближенные равенства Ф = — Ф4 ~~2=13 ((У) О) (33) Если же ~ Р ) << тс, но энергия отрицательна, то будет Ф ж Ф4, Ф2 ж — $3 (Ц7 < 0). 5 2. Электрон в однородном магнитном поле Влияние однородного магнитного поля на уровни энергии электрона было рассмотрено нами в нерелятивнстском приближении в конце части П1, посвященной теории Паули. Здесь мы рассмотрим более простую задачу, предположив, что никакие силы, кроме однородного магнитного поля, на электрон не действуют, но будем решать ее на основе. теории Дирака уже без дальнейших пренебрежений.
Положим, поле направлено по оси г и по абсолютной величине равно ~,Ж). Вектор-потенциал мы можем положить равным 1 1 Ак = 2 ~®(У' '(у 2 ~М!», А,=О, что соответствует в цилиндрических (полярных) координатах х= рсоа~2, у=рз(п~р (2) значениям А„= — ~ Я ~р', А =О, А,=О. (1') Задачу нашу мы сформулируем в декартовых координатах и перейдем к цилиндрическим (полярным) только в конце вычислений. Оператор энергии будет иметь вид Н = ср„(а„Р„+ о„Ру + о,Р ) + тозр„ (3) где Рх=Рк 2 1УУ(У Ру=ру+ 2 ~®~х~ Рг=Рт (4) Здесь, как и в случае свободного электрона, интегралом уравнений движения является оператор Р=ауР + оуРу+о Р„ (5) $2! ЭЛЕКТРОН В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ззв который входит в выражение для оператора Н. Другим интегралом будет оператор Р., который коммутирует с Р.
Мы можем поэтому рассматривать совокупную систему урав- нений (6) (7) (8) Нф = Ю4)4, Рф =- Р'ф, Р,ф = Р',Ф Как и в случае свободного электрона, каждому собственному значению оператора Р будут соответствовать два значения 97, а именно, ЯК = -~ ~/тес4+ с'Р' (9) Задача приводится к нахождению собственных функций оператора Р, т. е. к решению уравнения (7). При нашем выборе матриц первые два уравнения (7) могут быть написаны в виде (ГГ,Рк + о2РР + озР,) 4Р = Р'Ф, (10) где ОА — двухрядные матрицы Паули. Найдя 4р4 и 4вз из этих уравнений, мы можем получить затем 4рз и $4 из уравнения (16) з 1. Применяя к (10) оператор Р еще раз и пользуясь перестановочными соотношениями между операторами Р„, Р„, Р, (приведенными в 9 5 ч. П1 и в 9 9 гл.
1 ч. Ч), получим (Е+Р'„-+Р'.+— " ',~л~~ф=Р'ф. (!Ц Если мы разделим это уравнение на 2т, то получим в левой части оператор, входящий в оператор энергии Паули (19) $ 5 ч. РП и совпадающий с ним, если электрическое поле равно нулю. В уравнение (11) входит уже только одна матрица ам которая притом будет диагональной. Поэтому уравнение (11) распадается на два, причем каждое из них будет содержать только одну функцию 4)4. Имея в виду (3) и (8), мы можем написать их в виде ~Р,+Р4', + — (хРЕ УР„+")+ 4 4 (х'+У')~ф, = = (Р' — Р,") фн (12) ~Р'+Р'+ — ( Р— УР— й)+ — ~-(х'+У')~4Р = =(Р' — Р,') 4Р .
(!2") теория диРАКА ззо Эти уравнения отличаются друг от друга только знаком у члена, содержащего й. Выразим в них операторы р„и ру через произ- водные и положим для краткости (13) Мы получим дггуг дгг)г . Г дгуг дгуг ~ — — — — 21Ь ~х — — у — 'хг + — дх' ду' ду дх ) + Ьг(хг+ уг) фг 2Ь (21 1) гРг — — „— —.," — 215 (х — — у — ) + дггу дгг(г, . г' дгуг дгуг Х дхг дуг ( ду дх ) + Ь' (хг + уг) г(г. = 2Ь (21+ 1) г)гь (14) (14*) В полярных координатах (2) эти уравнения принимают вид К этим уравнениям мы могли бы прийти и более прямым путем, исходя нз оператора Р, преобразованного по формулам $6 ч.
1П к цилиндрическим координатам. Уравнения (15) и (15") легко решаются разделением переменных. При этом достаточно рассмотреть уравнение для одной из функций грг или фм так как в силу (7) эти функции связаны соотношениями д ' — 1 д ' + Ь(х — Еу)г(гг= Ь (Р' — р',)грр (16) д '+Е д"' — Ь(х+Еу)фг= — (Р'+р,')грг (16") которые являются обобщением уравнений (18) в 1 на случай наличия магнитного поля. Уравнения (14) и (14*) получаются из (16) и (16*) в результате исключения одной из функций грг и г)гг.
Положим грг=ХЕ ' РЕ, (17) где Ег есть постоянный множитель, лг есть целое число, а 1 зависит только от р, и введем новую независимую переменную $ = Ьр'. (18) — + — — + — —, + 22Ь вЂ” — Ь-ргг(гг + 2Ь (21 — 1) г)г = О, дггу~ ! дгуг ! дггРг . дгуг г г др- р др рг дгрг дгг ! (15) — ~' + — ~' + — †+ 22Ь ~' — Ьгргф + 2Ь (21 + 1) ф = О. 2 (15*) 4П элактгон в одногодном магнитном поля ЗЗ1 Вытекающее из (16*) уравнение для 1 будет да(~~Ц)+(4+ 4$)) ( + 2 ))' Это уравнение только обозначениями отличается от уравнения для функций, связанных с обобщенными полиномами Лагерра, которое было рассмотрено в гл. Ч ч.
11, посвященной теории Шредингера [уравнение (3") $ 3 гл. Ч ч. 1Ц. Мы видели, что собственные значения оператора в левой части (19) суть 1+ — +,' =,+' +р (р=0,1,2,...), так что ! будет целым неотрицательным числом 1=0, 1,2,... (20) При данном 1 число лт может принимать значения т= — 1, — 1+1,...,— 1,0,1,2,... (21) В качестве собственных функций мы можем взять при т > 0 $ ~в Й~ (з)=е 'а»Ф(з) (22) при т(0 п~ (з)=( — 1) е 'з 'Я~.~ Д), (22*) Функция ф1 выражается через ф, по формуле (16), которую в полярных координатах можно написать в виде й е ьР»» д4» . д»Ь» ф = —,, ~~р — » — 1 =» -[- дроф,) (24) Р— р» р др дч Подставляя сюда выражение (23) для фь будем иметь На основании свойств полиномов Я,(х): Ы»х (25) — рЯр+1(х), [(9) $4 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
