Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Чтобы написать уравнение Шредингера для водородоподобного атома в пространстве импульсов, нужно прежде всего найти, во что переходит в пространстве импульсов оператор умножения на 1/Г. Волновые функции в пространстве координат н в пространстве импульсов связаны соотношением ! — — „(АР,+ЯРЕ+АР,) 8 ч(Р РР Р)= — 28т„~а " " " '<р(х, у, г)дхдуЖ». (4) МНОГОЭЛЕКТРОННАЯ ЗАДАЧА 1ч, ш где через (г(р') =г(р'„с(р'„е(р,' обозначен элемент объема в пространстве импульсов. Таким образом, оператор, который в пространстве координат имеет вид умножения на !/г, преобразуется в пространстве импульсов в интегральный оператор Поэтому уравнение Шредингера в поле с Кулоновой потенциЛег альной энергией — — будет в пространстве импульсов инте- Г гральным уравнением вида — Р ф(Р) = — —. 1- ° 92Р).
! г яег ( г(г(Р ) 2ег 2п-'а ) (Р— Р'р (8) Так как мы рассматриваем точечный спектр, для которого энергия Е отрицательна, то можно ввести средний квадратичный импульс Ро = 1I — 2гпЕ. (9) Деленные на ро составляющие вектора количества движения мы будем рассматривать как прямоугольные координаты на гнперплоскости, представляющей стереографическую проекцию шара радиуса' единицы в четырехмерном евклидовом пространстве. Прямоугольные координаты некоторой точки на шаре бу- дут 2РоРк = в!па в(п() сов гр, Рг)+ Р 2РоРР = в)п а в(п () в)п гр, Ро+ Р 2РОРк (10) =в(пасовб, Ро+ Р Ро Р =сова, 2 Ро+ Р Нам нужно найти вид оператора Е, который переводит функцию гр в функцию Егр, представимую в виде (2пе)чг г 7 Но мы имеем 1 (кок+" РЕ+*Рк) (г(Р ) А (кок+"РР+ «Рк) 1 — ~е =е 2пга .) ((г )г (г СИММЕТРИЯ ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ АТОМА 289 Ч'(а, б, й= — "- р, я*Я+ рз7ф(р), (13) для которой условие нормировки имеет внд 2 — ~ 1 Ч' (а, б, <Р) (з Ю = 1 ', ' ! ф (Р) !з Г(Р = ~ ) ф (Р) ~' Г(Р = 1.
(14) 2я ) 4 2Р; Если мы положим для краткости Ятсп хее1 Л= — = БРР Ь ТГ- 2т1.' (!5) и перейдем к новым переменным, то уравнение Шредингера (8) примет вид (16) 2 Здесь 2ь!п — есть длина хорды, а Ге — длина дуги большого круга, соединяющей точки а, д, у и а', б', ГУ на четырехмерном шаре, так что 4 з1п' — = (з — $ )'+ (т! — т! )'+ Я вЂ” ~')'+ (т, — т')з. (17) Уравнение (16) представляет собой не что иное, как интегральное уравнение для шаровых функций четырехмерного шара.
Собственными значениями будут целые числа Х = и (а = 1, 2,...), а собственными функциями будут однородные гармонические полиномы степени п — 1 от $, т), ь, у, т. е. функции вида Ч =ий, ТН~,Х), (18) где и(хь х,, хм х,) есть решение уравнения Лапласа в четырехмерном пространстве (19) причем зз+ Ч'+ ь'+ Хз=(. (11) Углы ГГ, д и у представляют сферические координаты на гиперсфере.
Вместе с тем углы б и ~р являются обыкновенными сферическими углами, характеризующими направление количества движения. Элемент поверхности на гиперсфере равен ГК1= з!и'аГ!аз!Пб~ЮГйр, (12) а полная поверхность гиперсферы равна 2П'. Введем вместо ф(р) функцию 290 МНОГОЭЛЕКТРОНИАЯ ЗАДАЧА Как видно из (15), целое число п есть главное квантовое число. Таким образом, теория атома водорода оказывается связанной с четырехмерной теорией потенциала. Связь эта позволяет легко вывести все свойства водородных функций и, в частности, установить для них теорему сложения, справедливую не только для пелых действительных значений л 1точечный спектр), но и для комплексных п 1сплошной спектр). Наиболее существенным следствием наличия такой связи является установление группы преобразований, допускаемых уравнением Шредингера для атома водорода.
Очевидно, что уравнение (17) сохранит свой вид, если произвести над переменными 9, ть ь, т оРтогональнУю подстановкУ, т.е. если подвеРгнуть гиперсферу произвольному четырехмерному вращению. Отсюда следует, что и исходное уравнение Шредингера обладает не только обычной сферической симметрией, но и более высокой степенью симметрии, соответствующей четырехмерным вращениям. Этим объясняется тот давно известный факт, что уровни энергии для водорода зависят только от главного квантового числа и. Использование такой более широкой группы преобразований уравнения Шредингера и позволяет получить те результаты, о которых мы говорили в начале этого параграфа.
На подробной формулировке этих результатов, а также на их выводе мы здесь останавливаться не можем.' Часть Ъ" ТЕОРИЯ ДИРАКА Глава! ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА й !. Квантовая механика и теория относительности Теория Шредингера, а также теория Паули носят нерелятивистский характер. В этих теориях не принята во внимание невозможность движения материальной частицы и распространения каких-либо действий в пространстве со скоростью, превышающей скорость света. Релятивистское обобщение квантовой механики требует привлечения новых физических понятий и даже некоторого видоизменения интерпретации волнового уравнения. Это видоизменение связано с необходимостью введения помимо спина еще одной новой степени свободы электрона и с невозможностью ее истолковать, оставаясь в рамках задачи одного тела.
Однако формальная постановка задачи одного тела (электрона) в заданном внешнем электромагнитном поле — постановка, находящаяся в согласии с требованиями теории относительности, возможна. Эта формулировка была найдена Дираком, предложившим свое уравнение для электрона. В $13 гл.
П1 первой части мы видели, что волновое уравнение, т.е. уравнение, определяющее закон изменения состояния электрона (функции ф) во времени, должно иметь вид — 'д, — — бФ где Н есть оператор энергии. В тесной связи с волновым уравнением находятся квантовые уравнения движения, из которых нами было получено волновое уравнение (5 !3 гл. П1 ч. [) н которые в свою очередь выводятся из него 5 4 гл.
1Ч ч. 1). Нам предстоит теперь, следуя идеям Дирака, обобщить волновое уравнение (1) на теорию относительности. Мы должны потребовать, чтобы оно было инвариантным по отношению к преобразованию Лоренца и чтобы из него получались классические уравнения движения теории относительности. ТЕОРИЯ ДИРАКА 5 2. Классические уравнения движения 292 Припомним, какой вид имеют классические уравнения движения теории относительности и соответствующие им Лагранжева и Гамильтонова функции. В механике теории относительности количество движения ЄЄ, Р, связано со скоростью х, у, г соотношениями Р,= ', (1) где хг+ уг+ гг (1*) и уравнения движения электрона с массой лг и зарядом — е в электромагнитном поле имеют вид — = — — (уЯ вЂ” г,еэ ) — ед', сР„ ег с е ЙРР е — = — — (гМ вЂ” хЯ,) — ед', ег с аР е — = — — (хМР— уЖ,) — ед',.
ес с (2) Из них легко выводится уравнение — = — е (хд „+ уд е + гд',), «т сц де Т есть кинетическая энергия электрона (4) Эти уравнения могут быть получены нз функции Лагранжа Ы= — тсг ~~1 — — ", — — '(хА„+уАР+гА,)+еФ, (5) где Ф вЂ” скалярный и А=(А,, А„, А,) — векторный потенциал. Обобщенный «момент», сопряженный с координатой х, равен е е — — А =Р— — А х с с х и аналогично для других координат; таким образом, «моменты» р„р„, Р, не совпадают с составляющими количества движе- вывод волнового иихвнвния Р =Р*+ А~ Ри=ри+ — Аи Р*=Р.+ — А (У) (см. формулу (16) $5 ч. 1!1).
Энергия электрона равна ~/ Выражая ее через обоб1ценные моменты, получим классическую функцию Гамильтона О„„„= те "~/1 + —... (р + —, А) — е Ф. (8) (9) $ 3. Вывод волнового уравнения Нам нужно найти квантовый оператор, соответствующий Гамильтоновой функции (9) ~ 2. Мы начнем с простейшего случая свободного электрона, когда электромагнитное поле отсутствует н скалярный и векторный потенциалы равны нулю.
В этом слу- чае О = те' ~1 + — (р' + Р' + р ). 1 Из-за характерной для теории относительности симметрии уравнений относительно координат и времени, раз волновое уравнение содержит линейно оператор дифференцирования по времени, то оно должно содержать также линейно операторы дифференцирования по координатам.
Следовательно, квантовый оператор энергии должен быть линейным относительно операторов д р = — И вЂ”. х дх' д р = — г'й— ду т. е. он должен быть вида И = й Р. + М + Рир. + Ь (2) где ~ь — неизвестные пока операторы, не содержашие р„, р„, р,. Но эти операторы не должны содержать также и координат х, у, г, ибо для свободного электрона все точки пространства равноправны. Следовательно, онн должны действовать над какими-то новыми переменными, от которых волновая функция теории Шредингера не зависела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
