Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Мы ввели 259 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПЕРАТОРА Р Найдем теперь вид оператора Р в сферических координатах. Переход от цилиндрических координат к сферическим г=гсовб, р=гв(пб (17) совершается по формулам, аналогичным формулам перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим. Подобно (4) и (4*), мы имеем теперь д4~ д9 мо д дэ — =совб —— дз дг г дв ' — =в!пб д + д9 . дэ сове дф (18) откуда мое Р,=совб Р, — — Р, РР в!п~~ Р + 2 Ро' (18") +(т1 в!об+ азсовб) р, — — . ' „.
(19) Для упрошения этого выражения произведем каноническое преобразование, аналогичное преобразованию (7), а именно, =Тф, Р =ТРТ+, (20) где матрицы Т и Т+ равны о .. е Т = сов 2 + !авв1п (21) + 6 .. 6 Т = сов — — !а в!ив 2 " '2 Матричные коэффициенты в первых трех членах выражения (19) можно представить в виде а,совб — азв!Пб=Т а,Т, ав =Т а,Т, (22) о, в)по+ азсовб= Т а,Т, а коэффициент а, в последнем члене в виде а, = Т+ (а, сов б + ав в!и б) Т. (22*) Вычисляя преобразованный оператор Р, получаем отсюда р" = — 'Ро+ „.„О РР+азр," —,,„,„(а,совб+аз в!Пб), (23) Подставляя эти значения Р, и Рр в формулу (14), получаем для оператора Р' выражение Р' = (а, сов 6 — ав в(п б) 2 Ре + —.' РР + ТЕОРИЯ ПАУЛИ Г2, !П где Рф=ТР Т+, Р"= ТР Т+, Р"= ТР,7'ф.
(24) Ввиду того, что матрица Т содержит только координату б, мы имеем РЯ=Рф Р =РР. (25) тогда как дт+ в Ре=ре — (ЛТ дв — — рф — я о2. (25') Подставляя (25) и (25") в формулу (23), получаем следующее окончательное выражение для преобразованного оператора Р: Р" = — '(~~ — 7 — ~(дб)+ —,,„' р + ~~(р,— — ). (26) Заметим, что оператор Р в цилиндрических и в сферических координатах принимает несколько более простой вид, если произвести подстановку 2р* = т/гр2р' для цилиндрических координат, ф* = г ~/з)пбф" для сферических координат. (27) (28) Подстановкам (27) и (28) соответствуют преобразования операторов вида Р" = ~/р Р' = (29) Р'=г ~lз)пб Р" г тlмл о (30) Выполняя эти преобразования, получаем для цилиндрических координат — о~Р + Р +пзР (31) н для сферических координат (32) ( ф~ (2р ~р,44 Дз ) ф«(2,4р ( ( (34) Выражения для вероятности того, что в результате измерения координат электрона получатся значения, лежащие в данных пределах, также несколько упрощаются от подстановок (27) и (28), а именно, вероятность неравенств Р < о' < о+АР, ~Р <т' <в+2(т, <г' < +Ь (33) будет ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПЕРАТОРА Р а вероятность неравенств д <6'<6+с(6, <р «р' «р+гйр, г < г' <г+г)г (35) будет (с новым значением ф*) ! ф"7г'з(пбЙЬЙрг(г=~ ф*~'-сЮйрЫг.
(36) о о, Р = — „Р~+ гиае Р + (37) Легко видеть, что Р*= ох(р +( — ). (38) Но по свойствам матриц о~ и оз оператор А'" антикоммутирует с ом Поэтому будет также справедливо равенство Р* =(р, — ! — ) оз. (39) В последних формулах матрицу оз можно толковать как радиальную составляющую спина. В самом деле, если мы положим 1 о„= — (хо, + уо~ + гоз), (40) то мы будем иметь ТЗО,Я+ Т+ = о„ (41) так что после примененных нами преобразований 3 и Т мат- рипа о, переходит в оз. Поэтому формулам (38) и (39) соответ- ствуют до преобразования соотношения Р= о,(р, +( — ) =(р, — 1 — ) о„ (42) которые можно проверить и непосредственно.
Согласно формуле (13) 3 5, операторы Р' и М" (так же как и Р и М) антикоммутируют друг с другом. Это легко Выразим исследованный здесь оператор Р через оператор спиново-орбитального скаляра момента количества движения й. Исследование удобнее всего проводить в сферических координатах. Преобразования, которым были подвергнуты оба оператора, одинаковы: матрицы преобразования 5 и Т одни и те же для обоих операторов (см.
формулы (!1) 3 2 и (8) $6 для 5 и формулы (18) э 2 и (21) э 6 для Т). Поэтому мы можем работать с преобразованными операторами Р* и М', которые имеют вид 262 ТЕОРИЯ ПАУЛИ !ч. !ы проверить. В самом деле, умножая выражение (38) на лГ«еле ва, а (39) справа и складывая, получаем »Г"Р" + Р* !Г*= Р.(2Г оз+ оз-~Г') =6 (43) В заключение приведем здесь выражение для оператора Р в криволинейных ортогональных координатах "). Если в координатах д» дз, оз квадрат элемента дуги равен с(з = гз! г(г)! + «22 г1г)2 + гзз гзчз (44), где через р» обозначены операторы д р» —— — !7! —.
до» (462 При наличии электромагнитного поля нужно в этом выражении заменить р» на ° »=Р»+ с А"' (47) где А» суть ковариантные составляющие вектор-потенциала, оп- ределяемые по формуле А, бгх + Ая с(у + А, !2г = А! б!у! + А, Щ + Аз г2дз. (48у Нетрудно проверить, что в частных случаях цилиндрических и сферических координат выражение (45) переходит соответственно в (14) и в (26). $ 7. Электрон в магнитном поле Рассмотрим оператор Паули для случая постоянного магнитного поля. Вычисления мы проведем для наглядности в прямоугольных декартовых координатах. Если магнитное поле достаточно слабо, то членами в операторе Но, содержащими квадрат *1 Эти выражения были даны для несколько более общего случая в работе автора «Волновое уравневис Дирака н геометрия Римана», ЖРФХО, т. 62, стр. 233 (!930).
то оператор Р имеет вид И ~Р! ! 2 д (1н 722~23)] + оч! + ~ Ра ' (1К лз"!)] + †) Рз — (1872|Из)], (45У ог Г ° Гг д 1 изГ Г! д Из (. 2 доз Из („2 дчз ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 263 векторного потенциала, мы можем пренебречь, в линейных же членах мы можем заменить А„А„, А, выражениями Ах =-2 (ерйу — УМх) ° Ау — — 2 (ХМх — ЕУЬх) 1 А, = — (ум„— хну), 1 которые дают А„Р + Ауру+ Ахр» = 2 (Л!х'хвх + ну ухну+ л!гхнх) (2) где т„, ту, т, — составляющие орбитального момента количества движения электрона (см. (1) 5 1). Используя (2), мы получим для Нэ приближенное выражение Н"= — (р'„+ р'„+ р,'-') — еФ+ — '(т„М„+ т М + т,Ж,).
(3) Добавляя к НУ, согласно (19) $5, члены, зависящие от спина, мы будем иметь Н" = — (р'„+ Р'„+ р,') — еФ+ 1 + — ((л!, + йо ) Ж„+ (Гн„+ йоу) Ж„+ (лу, + йо,) УУ,1. (4) В это выражение входит скалярное произведение магнитного поля на вектор магнитного момента электрона !х„= 2 (гн~ + Йох), !Ау = 2 е (л!у+ Йоу), ух =2 (т + Ьо~). (5) Этот вектор складывается из двух частей: орбитальной и спиновой. Орбитальная часть пропорциональна орбитальному моменту количества движения электрона (6) н спнновая часть пропорциональна собственному (спиновому) моменту 1 ! 1 — йох, — йоу, — йо,.
(7) При этом множитель пропорциональности между магнитным и механическим моментом для спиновой части вдвое больше, чем для орбитальной. Этот факт иногда называют магнитной аномалией спина. В задаче со сферической симметрией зависящая от магнитного поля поправочная часть оператора энергии (4) коммутирует 22б4 ТЕОРИЯ ПАУЛИ с главной частью (оператором (7) $ 5). Поэтому поправка к уровню энергии на магнитное поле состоит просто в добавлении к нему собственного значения поправочного члена в (4).
Если направить ось е вдоль магнитного поля, то добавка будет равна 2„,с (Ш ~ !) ®г где бгп' есть собственное значение оператора т,. Однако происходящая от спина поправка к ОЕ, состоящая в замене гп' иа лт'-г- 1, не вносит новых уровней, поскольку т' есть целое число. Существенную роль играют здесь лишь поправки на теорию относительности. В операторе энергии Паули Н' (формула (4)) эти поправки не учитываются. Учет их приводит к тому, что в поле со сферической симметрией уравнение для радиальных функций будет содержать не только квантовое число 1 теории Шредингера, но и квантовое число й, входящее в уравнение для шаровых функций со спином (9) (формула (22) э Ц и связанное с 1 соотношением й(й — !) =1(1+ !) (!0) сг ! Ьс !37 (П) есть безразмерная постоянная, которую принято называть постоянной тонкой структуры.
Влияние же магнитного поля на уровни энергии характеризуется величиной (8). Расщепление уровней энергии в магнитном поле носит название явления Зеемана (Ееешап). Полная теория явления Зеемана для атома водорода будет изложена в конце этой книги на основе теории Дирака. Здесь же мы хотели бы только подчеркнуть тот факт, что поведение элек- [формула (2О) 9 Ц. Мы знаем, что при 1 = 0 будет единственное значение й = 1, но при 1 = 1, 2, ...
возможны два значения й, а именно, й = = 1+ ! и й = — 1. В результате Шредингеровский уровень, соответствующий данному значению 1 (и определенному значению главного квантового числа п), распадается при 1) 1 на два близких уровня, которые образуют дублет. Этот дублет принято называть релятивистским дублетом. В уравнении для радиальных функций порядок величины релятивистского поправочного члена по отношению к главному (потенциальной энергии) может характеризоваться величиной у', где ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 265 трона в магнитном поле убедительно доказывает наличие у него новой степени свободы, связанной со спином.
Существование этой новой степени свободы электрона играет особенно важную роль в квантовомеханнческой теорие системы многих электронов (например, атома или молекулы), которую нельзя даже формулировать, не учитывая свойств симметрии волновой функции по отношению к перестановкам электронов. Эти свойства заключаются в требовании, чтобы волновая функция системы электронов, выраженная через совокупности переменных (х, у, г, о), относящихся к каждому электрону, меняла знак при перестановке двух таких совокупностей, относящихся к двум электронам. Требование это называется принципом Паули или принципом антисимметрни волновой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
