Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

й 18. Замечания о принципе наложения и о вероятностном толковании волновой функции Мы рассмотрели в 33 !4, 15 и 16 задачу о столкновении частицы с тяжелым ядром атома. Задача эта представляет особый интерес ввиду того, что дает наглядное представление о физическом смысле волновой функции. Как мы знаем, волновая функция ф(х, у, х, 1) служит для описания состояния одной частицы. Состояние может быть таково, что данная физическая величина может не иметь определенного значения.

Пусть, например, волновая функция свободной частицы равна Г М вЂ” ХР— РР'1 — — Г ф=(с,е" + с,е" /е В этом состоянии энергия равна Е=,Р (2) но направление движения не имеет определенного значения; если поставить опыт, позволяющий констатировать направление движения (например, при помощи определенным образом ориентированной диафрагмы с отверстием) и повторять его много разг то окажется, что существует вероятность обнаружить частицу движущейся вдоль оси х со скоростью о = р/и, а также вероятность обнаружить частицу движущейся вдоль оси у с той же самой скоростью. Иначе говоря, в состоянии, описываемом. волновой функцией (1), частица имеет потенциальную э 1м вгвоятностное толковлнив волновон эхнкцнн 237 возможность быть обнаруженной движущейся в том или в ином из указанных двух направлений.

Разумеется. это означает совсем другое состояние, чем то, которое соответствовало бы движению по равнодействующей; если бы частица двигалась по биссектрисе угла между осями х и у со скоростью, соответствующей энергии (2), то ее волновая функция равнялась бы 1 »+ « — = — щ ф=.з." "' е ' а это выражение совершенно отлично от (1). Возможность состояний, в которых данная величина пе имеет определенного значения, и которые получаются наложением состояний с определенным значением этой величины (принцип наложения состояний), является самой характерной чертой квантовой механики, коренным образом отличающей ее от механики класснческои.

Описать такого рода «смешанное» состояние одной частицы на языке классической теории совершенно невозможно; необходимость же принять принцип наложения состояний вытекает хотя бы из того факта, что лишь на основании этого принципа можно вывести из общего источника двойственный характер света и вещества, проявляющихся как в виде волн, так и в виде частиц. В первоначальной форме волновой механики волновая функция толковалась как некоторая волна в пространстве, соответствующая собранию частиц, способных претерпевать дифракцию (волна де Бройля). На этой основе истолковывался для волновой функции принцип наложения. Так, например, в формуле (1) член с,е " соответствовал волне, изображавшей поток частиц, движущихся в направлении оси х со скоростью о = рапп а второй член, как такой же поток, направленный по оси у. Вся волновая функция (1) представляла бы тогда наложение этих двух потоков; плотности нх относятся друг к другу, как квадраты модулей амплитУд, т.

е. как 1с, )':1сз1». Толкование волновой функции по де Бройлю, хотя и обладает наглядностью, но является, строго говоря, неточным; «потоки» могут интерферировать между собой и их наложение следует понимать как наложение волновых функций, их представляющих. Кроме того, мы знаем, что волновая функция описывает состояние одной частицы (а не потока частиц) и должна быть истолкована на основе понятия потенциальной возможности для тех или иных результатов опытов (измерений) над частицей.

Об этом мы уже говорили в 5 6 гл. 1Ч ч. 1. Мы выяснили там, что элементом статистического коллектива не может быть ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА [ч. и 2за квантовый объект. Поэтому не имеет смысла вводить в рассмотрение «ансамбли» из таких объектов, понимаемые в смысле обычной статистической физики. Если уже считать, что само понятие вероятности предполагает наличие некоторого ансамбля, то таковым может быть только ансамбль из результатов определенным образом поставленных опытов, Вернемся к волновой функции вида (1).

Рассматривая ее с точки зрения понятия потенциальной возможности, мы можем составигь выражения для вероятностей обнаружить частицу движущейся в направлении оси х и в направлении оси у, если она первоначально находилась в состоянии 11). Вероятности эти будут пропорциональны квадратам модулей амплитуд и их отношение будет равно 1с~ (з:1сз ~ ».

Этот результат согласуется с тем, какой получается из рассмотрения волн де Бройля как описывающих потоки частиц, если понимать слово «потока» не слишком буквально и допускать возможность взаимного уничтожения этих потоков в результате интерференции волн, их образующих, Часть 111 ТЕОРИЯ ПАУЛИ ф 1. Момент количества движения электрона В 5 7 гл. П мы рассматривали операторы момента количества движения, составленные из операторов для координат и для количества движения по формулам т, =ур, — гра, т„= гр„— хр„ т, = хр„— ур„. тат» — т,тв = гйт„, т,т, — т.т, = Ит„, т„тн — твт, = Ит„ (2) если считать, что спиновый молгент удовлетворяет тем же перестановочпым соотношениям, и ввести гипотезу о том, что операторы для каждой из составляющих спинового момента электрона имеют два и только два собственных значения, которые отличаются лишь знаком. *) Первоначальный смысл английского глагола «1о вр1н» есть «вертегь веретено», Эти операторы можно сопоставить моменту количества движения материальной точки с тремя степенями свободы, соответствуюшнмн движению в пространстве.

Поведение электрона в магнитном поле, а также свойства систем, составленных из многих электронов (например, электронной оболочки атома), показали, что электрон обладает также некоторой внутренней степенью свободы, связанной с его собственным моментом количества движения, не зависящим от движения его в пространстве. Эту внутреннюю степень свободы (и соответствующий ей собственный момент количества движения электрона) принято называть английским словом («спин» *).

Свойства собственного (спинового) момента количества движения электрона можно изучать исходя из перестановочных соотношений для обычного (орбнтального) момента количества движения 240 ТЕОРИЯ ПАУЛИ 1ч. 1и Операторы для составляющих сппнового момента можно по. ложить равными в (гнх)кп — —, ах, (3) Г~ (ш,),„= — а„ где о„ау, а.— самосопряженные операторы, имеющие простые собственные значения, равные ~-!.

Множитель '/х вытекает из требования, чтобы операторы (3) удовлетворяли соотношениям (2). При вычислении спина в единицах й (а не л/2) удобно пользоваться вместо а„а„, а, операторами 1 1 8= — а, а=во, к 2 к у — а у~ Эти операторы будут применяться в части 1Ъ' при рассмотрении многоэлектронной задачи. Перестановочные соотношения для операторов а, а„, а, имеюг вид а„а, — а,а„= 2!а„, а,ак — ака, = 2!ау, а,а„— ауа, = 2!а,. (4) Но мы имеем тождественно а'„'о, — а,а'„= а„(а„а, — ахах) + (о,а, — а а„) о„ и, вследствие предыдущих соотношений, а„'а, — а,а„' = — 21 (а,а, + а ак), ауа, + о,о„ = О, а*ах + аког О ако„ + а„ок = О. (б) Сопоставляя равенства (4) и (5), мы получаем ауа, = — о,о„= 1ак, охах = — а„а, = 1а„, а а =- — а О =1ак. ф у к (б) Согласно нашей гипотезе, собственные значения а равны -Е1, так что а' имеет единственное собственное значение ат =1 и будет уже не оператором, а числом, коммутирующим с любым оператором, в том числе с оператором а,.

Поэтому правая часть последнего уравнения равна нулю. Записывая это равенство вместе с двумя аналогичными равенствами, мы будем иметь эц момент количества движения элвктуонх 2241 а»«р(г, а) = «р(г, — о), ау«р (г, а) = — !а«р (г, — а), а,ф (г, а) = аф (г, а). (8) Если записать функцию ф в виде столбика -© (9« где я=ф(2, +1) и «1 =ф(2, — 1), то предыдущие формулы напишутся (1О) Таким образом, операторы а„а„, а, принимают форму матриц а»=а«ау =а2 ໠— аз (11) где а~= 1 О, а = . О, а~= О 1 (12) Эти матрицы носят название матриц Паули (Рац!!). Выбор матриц для операторов а„огь а, определен лишь с точяостью до канонического преобразования (соответствующего линейной подстановке над величинами $, «!).

Поэтому, если, как это принято в литературе, разуметь под оь ам ау численные матрицы (12), а сохранить за а„о„, а, физический смысл, вытекающий из формул (8), то равенства (11) не являются обязательными, но могут быть заменены другими эквивалентными равенствами. Кроме того, мы имеем (7) Величины а, о„, а, можно рассматривать либо как матрицы, состоящие из двух строк и столбцов, либо как операторы, действующие на функцию от некоторой новой (дополнительной к координатам) переменной о, принимающей только два значения, например значения а = ~1. Обозначая эту функцию через «р(г, о), где г есть совокупность трех пространственных каор.

динат, мы можем удовлетворить соотношениям (6) и (7), положив, например, г42 ТЕОРИЯ ПАУЛИ Р1 11! Операторы а„а„, а„удовлетворяющие уравнениям (6) и (7), обладают векториальным характером в том смысле, что если мы введем три линейные комбинации аА =1,а„+ т1а„+ п1а„ а„'=11а,+ тто„+ и.а, а,' = 11а, + т а, + и о„ (13) электрона имеют вид "1~» ЛТк + В ах Г1 М„= пт„+ —,а„, Ь К, = гп, + — а,.

Характеристики

Список файлов книги