Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(2!) 2е л З/2е Формула (3) дает теперь следующее значение множителя а(е) в выражении (1): ~г(!+!+ ' )~ а (е) = = Т/8е е Аг~ 'Т/и !2!+ ! !! Функцию ~Г(1+1+ ~', ~~ =Г(1+1++~Г(!+1 нетрудно выразить через элементарные функции. = = Л,, перемножая равенства ! З/2е Г(1+ 1+1Л,)=(!+й,) ... (1+ (Л,) Г(1+/Л,), Полагая Г(Х+ 1 — й,) =(! — й1) ... (! — /Л~)Г(1 — !Л,) и пользуясь формулой Г (1+ й,) Г(1 — й,) = —,"", (23) получаем ! Г(1+ 1+/Л1) ! =(1 +Л1)(2 +Л~) ... (1~+ Л!) Л ' (24), а нормированными относительно е будут, согласно формуле (7), имеющие асимптотическое выражение % и! ИНТЕНСИВНОСТИ В СПЕКТРЕ ВОДОРОДА 217 для переходов между дискретными уровнями и 7 (и', 1; е) Ле = (е, е)4(! г~(гг' !! е ! !) ~о! ! ~ .~( ° !! ! ! !) !В(! ! 1)) А (2) для переходов с точечного на сплошной спектр.
Для произвольных квантовых чисел и', и, ! входящие сюда величины г(и', 1; и, !-~- 1) выражаются довольно сложно, но для малых значений и' различные функции К:о являются простыми полиномами, и интегрирование по г можно выполнить для произвольных чисел и или е без особого труда. Мы ограничимся здесь рассмотрением случаев и' =! (серия Лаймана) и и' = 2 (серия Бальмера). Для и' = 1 единственное возможное значение Р есть Р = 0; поэтому надо вычислять лишь интеграл г(1, 0; и, 1)= ~ г',Ки(г,) Кю (г,)г(г, о (3) илп г (1, 0; е, 1) = ) гоК|о(г,) К„(г,) Иг,, (3*) Для и =- 2 Возмо>кн з два значения !', а именно, !' = О, !' = !.
Соответствующие интегралы будут д 1=0 г(2, 0; и, 1) = ~ г,'Км(г,)К, (г,)г!г, о (4) и для !'==-1 г(2, 1; и, О)= ) г";Кн(г,)К [г,)о(гн о С г(2, 1; и, 2) = ~ г,КЕ, (г,) К,(г,)аг, о (6) Яо (х) = Я,'+' (х) — рЯР" ~ (х), [(8) з 4[ ~ х'е "'Я,'(х)Нх=, +, Г(а+р+ 1), [(16) $ 4) о и, кроме того, такие же интегралы для сплошного спектра. Бсе эти интегралы берутся в конечном виде при помощи формул (8) 5 4 и (!6) 5 4 и их непосредственных обобщений на собственные функции сплошного спектра. Упомянутые формулы имели вид ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА в!в !ч. и Чтобы получить желаемое обобщение, выразим здесь поли- номы ),)а через ряды Р по формуле (22) 5 3.
Мы получим (е+1)Р( — р, з+1; х)= = (з + 1 + р) Р ( — р, з + 2; х) — рР ( — р + 1, з + 2; х), (7) е х Р( — р, а+1; х)дх=,+, ~! — — у! . (8) -ао а 1" (о+ !) / ! ХР о В последнюю формулу можно ввести новый параметр Ь, заи менив а на — и х на Ьх, после чего она примет вид '.' ° е "'х'Р( — р, з+1; Ьх)Фх=,, (1 — — ) . (9) о Нетрудно убедиться, что эти формулы справедливы не только для целых р, но и для любых дробных и комплексных значений этого параметра, если только постоянные а и Ь таковы, что )а(: !Ь| и интегралы (8) и (9) имеют смысл.
Для доказательства (7) достаточно сравнить коэффициенты при степенях х в обеих частях равенства, а для доказательства (8) и (9) можно разложить Р в ряд и проинтегрировать его почленно. Рассмотрим теперь интеграл (3). Подставляя по формулам (!4) 9 6 и (20) $ 6 значения радиальных функций, будем иметь Г (1, 0; и, 1) = о = — и ' ~/1 — —,) Г'е А ~ Р( — и+2, 4; — )дг.
(10) о Этот интеграл не совсем подходит под тип (9), так как степень Г в нем совпадает со вторым аргументом у Р, тогда как в (9) этот аргумент на единицу больше степени х. Для вычисления его мы можем либо применить формулу, получаемую дифференцированием (9) по параметру а, либо увеличить, при помощи (7), второй аргумент у Р на единицу, а затем уже вос- Г.ользоваться формулой (9).
Применяя олин пз этих приемов, получим ~гае ) и/ Р( — и+2 4' — )аг= о ( — Б (1+ — „')"'. ( ) интенсивности в спвктге водогодл 219 Подстановка этого выражения в (10) дает — (и — !) г(1, 0; л, 1)=!бп' л+— (и+!) (! 2) Интегралы (4), (5) и (6) вычисляются при помощи тех же приемов; в результате довольно сложных выкладок получается г(2 0 л !)=23 у~2л-''(пв — 1)' („+ 2)~+3 ' 23 (и 2)л — 3 г(2, 1; л, 0)==п' ,„/а („.1 2)а+3 (! 3) (14) У 9 г (2, 1; п, 2) = = п 3 (пв — 1) ' (и+ 2) (15) Подобно этому, можно вычислить соответствующие интегралы и для сплошного спектра.
Для этого нет необходимости повторять все выкладки, а можно воспользоваться готовыми результатами (12) — (!5) на основании следующих соображений. Сравнивая выражения (15) 9 6, (1) $9 и (25) $9 для радиальных функций точечного и сплошного спектра, мы убедимся, что они могут быть представлены в виде )аю(г~)= — 3 1'3(л, 1, г,), 2 (16) ав ( ')= /(1- — „',И)-' — „',) ..~1-ЯХ в Х (21 + 1)1 е " г' ( — л + 1+ 1, 21 + 2; — ) . (18) С другой стороны, интегралы типа (9) представляют также аналитические функции входящих в них параметров; так, где 11 в обоих выражениях есть одна и та же аналитическая функция от л, а именно, ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 220 (Ч. 11 или г'(1, 0; е, 1) = 5 5 .8 (1 + 1"~12е)">24 ' ° (1 — 1 .~г(2е) Тмв 2.
(20*) ,~/! е-л 512,5 Аналогично мы могли бы получить г'(2,0; е, 1), г'(2, 1; е, 0) и г'(2,1; е,2), но проще сделать переход к сплошному спектру уже в окончательных формулах для интенсивностей. Чтобы получить интенсивность, соответствующую переходу между данными уровнями энергии, нужно взять сумму выра>кений (1) и (1') по всем допустимым значениям 1. Для серии Лаймана сумма приводится к одному члену 1(1, и)=( — г) )г(1,0; и, 1))2, так что, по формуле (12), 24 ( ! )25-1 1(1, п)=— и (11+!)2"+' (21) Для серии Бальмера мы имеем 1(2гп)= —,(4 г) ()г(2, 0; и, 1)12+)г(2, 1; и, 0) ~~+ + 2)г(2, 1; и, 2) !2) откуда, на основании (13), (14) и (15), получаем 25 2 24-5 1 (2, п) = — ",„., ° (бпг — 4) (Зпг — 4). (22) л (и+2) "+ Чтобы получить отсюда интенсивности для сплошного спектра, умножаем эти выражения на квадрат отношения множителси при 11 в формулах (18) и (17), т.
е. на величину ,г -лт>2>в ' например, формула (11) справедлива и для чисто мнимого п = Поэтому, если мы положим, например, т/25 з 5 5 — иг ° г(1, 0; п, 1)=8(1 — — ) 2 (1 + — ) '" =1(п), (!9) то, на основании (3), (3')„(16) и (17), мы будем иметь г'(1, 0; е, 1)= 1( — ') ! — е ЯВЛЕНИЕ ШТАРКА, ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ % 1Н 22! С и заменяем п на = . В результате получается »Се« 1(1, е)ЛЕ= 21 21 1,1 + С' Л/2Е) '4С24 (1 — С ЛСС2Е) АС2« ° ЛЕ, (23) — сс «214 1(2, е) Ле= ° (5+ 8е)(3+ 8в) Х вЂ” -з 21 р', (1 + 21' Лсс2е) "~»' ° (1 — 21' Лс 2е) Ас2с «° Ле. (24) Чтобы освободиться здесь от мнимых величин, положим в формуле (23) (0< ч <Ф) (0 < 2) < ~ ) Л/2Е = 1д 11, и в формуле (24) 2 .~/2Б=1дт)с (25) (26) В заключение заметим, что интенсивности, наблюдаемые на опыте, зависят кроме свойств отдельного атома также н от числа атомов в «начальном» состоянии, которое будет различным при различных условиях опыта.
Поэтому сравнение выведенных здесь формул с опытом может быть лишь косвенное. 5 11. Явление Штарка. Общие замечания Если поместить атом в электрическое поле, то его уровни энергии, а следовательно, и спектральные линии, соответствующие переходам между этими уровнями, расщепятся, вообще говоря, на несколько компонент. Это расщепление спектральных линий в электрическом поле носит название явления Штарка. Для атома водорода расщепление будет пропорционально силе поля; для других атомов оно пропорционально квадрату силы поля.
Это различие объясняется следующим образом. При наличии внешнего электрического поля, направленного, скажем, вдоль оси е, составляющая момента количества движения вокруг оси г остается интегралом квантовых уравнений движения, так что «магнитному» квантовому числу пс можно по-прежнему Эти подстановки приводят наши формулы к виду -4Ч~ с4«ж -2сс Ма Ч (27) Е«-ЗЧ с1« Ч. 1(2, е) ЛБ= „, (! + 4 соз22) )(1 + 2соз22)с)182)сЛ~,.
(28) г22 теоРия шРединГеРА приписать определенное значение. В случае не-Кулонова полк данному уровню энергии Е = Е„, будет соответствовать только одна собственная функция с определенным значением т; длк Кулонова поля таких функций будет несколько. (Они будут отличаться друг от друга азимутальным квантовым числом 1). Другими словами, для не-Кулонова поля уровни энергии будут простыми, а для Кулонова поля они будут кратными.
Поэтому для вычисления поправки на внешнее поле нужно в обоих случаях применять различные методы теории возмущений. Так как добавочная потенциальная энергия пропорциональна координате г, то легко видеть, что для простых собственных значений невозмущенной задачи поправка в первом приближении рсвна нулю. В самом деле, эта поправка равна диагональному элементу матрицы, который, вследствие правила отбора для г, исчезает.
Таким образом, для не-Кулонова поля остается поправка второго порядка, пропорциональная квадрату внешнего поля. Иначе обстоит дело для Кулонова поля (кратные собственные значения). Там поправку первого приближения, пропорциональную первой степени внешнего поля, нужно вычислять, приравнивая нулю определитель б(Х) ((4) $ 5 гл. 1Ц, причем она оказывается отличной от нуля. Заметим, что состояние атома в электрическом поле не является, строго говоря, стационарным. Вследствие того, что потенциальная энергия электрона на' больших расстояниях от атома может убывать до — оз, электрон будет иметь конечную вероятность оторваться от атома. Получаемое по методу теории возмущений приближенное решение уравнения Шредингера соответствует «почти стационарному» состоянию в смысле $ 1 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
