Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Рн А=О О или что и требовалось доказать. Из сравнения (8) и (17) видно, что постоянные а и с в формулах (8) и (14*) связаны соотношением Г (' " ' + пч) Г ( — '+, ';л,) Г(5+!) (!8) если только контур интегрирования выбран так, чтобы выполня- .лось условие (1О), которое можно написать в виде $8! ВыВОд АсимптотическОГО ВыРАжения 2ОЗ Таким образом, мы доказали формулу г~ — '+ !л,)г ~ — ' — л,) 2 3 ~ 2 Ю-! г-1 — +!А, — ПР Х ) еы'г ' (1 — г) ' аг, (19) Зная, что оба выражения (8 )и (14*) суть интегралы уравнения (7), конечные при х~ = О, мы могли бы, разумеется, вывести формулу (18) простым сравнением этих выражений для х~ = О. Полагая в формуле (19) г = 1 — ги мы получим равенство Р(', +!Ли з+1; !х)=е" Г( — 2-!Ли +1; — 'х), (20) пз которого следует, что функция у, определяемая формулой (6), будет вещественной, если только постоянная а в выражении (8) для Я вещественна, что мы и будем предполагать. $ 8.
Вывод асимптотического выражения Чтобы вывести на основании формулы (!4) $7 асимптотическое выражение для Я, справедливое при больших положительных значениях хь мы деформируем путь интегрирования в интеграле (14) 5 7 следующим образом. Вместо прямолинейного отрезка мы соединим точки О и 1 ломаной линией, идущей от О до !А, от !А до !А +! и от !А + 1 до 1, где А — некоторое положительное число. Так как между первоначальным н деформированным контуром подынтегральная функция голоморфна, то величина интеграла от гакой деформации не изменится.
Если мы будем увеличивать А до бесконечности, то интеграл по участку от !А до !А + 1 будет, вследствие показательного множителя е ' " под интегралом, стремиться к нулю, и в пределе мы получим ( 1 Я= $ е""г'(г) 8(г= $ е""!'(г)г(г+ $ е'"'~(г)г(г, (1) где 1(г) имеет значение (13) $7. В первом интеграле полагаем Я г=ье ' (2) и во втором 8 1 — г=йе (2') 21О ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА Р1. !! Пределы для ь будут в обоих интегралах О и оо.
Мы будем иметь Ю !о+и — — л, — +м, — !л, Гл се 2 2 ' ~ е-хи~ 2 '(1 122) 2 о Х Л 5-1 — !л +е!2~се 1 2 ' ~ е-21е~ 2 '(1 + 1~) 2 о Если мы введем переменную У =~х„ (4) то можем написать -! !2+Н вЂ” — Л, Я Я + Е12 СЕ где через У обозначен интеграл М вЂ” л 2-! 2 а У есть сопряженная с ннм величина. Асимптотическое выра- жение для У получить уже нетрудно; для этого достаточно разложить подынтегральную функцию по обратным степеням х, и проинтегрировать почленно.
Ввиду того, что ряд 2-! 2 — 1 ( Г'- пь 2Л! —— 1 — 1 — ) =1+ ° — + 2 П х! у ! х, ( ' 2 )( ' 2 )(П)2 сходится лишь при ~ У)< ~ х, ), тогда как интегрирование по У происходит до бесконечности, ряд, полученный почленным интегрированием, будет расходящимся (асимптотическим). Мы будем иметь У = Уоо(!Л! + — — —, !Л! + — + —; 1 2 2 2' 2 2' х!У' (8) х хл Г( +!Л!) 3+! — +ы, Х ! Г( — '+,' -й!) ° У, (5) Х 2 1 ВНВОд Асимптотического ВНРАжения 2!! 4 Е! где символ Р22(а, 3; г) обозначает формальный ряд, составленный по закону Р ( й )=1+ —" +"'"+"'"+" Е2+ (0) ! 2 На Основании (17) $7, мы можем наши результаты записать в виде ~х, 4х~ х Х+ ! е ' р~ — + (ЛН з + 1; !х!) = е " р~ — 1Л, в + 1; †!х,) = Л л 54.! 4х~ Г ( г + 1 ) 4 ы + ~ ! 4 А 2 ич 2 "("' -') Х Р (!Л, + — ', ', !Л, + '+'; — !) + л л х+~ 4х< + е 4 2 'х 2 е2 )( Г(х+ !) -4( 4 и — -А — — +42,— г( — + а,) ! — х, 1+4 ХР22( 4Л1+ 2, — 1Л, + — ! ) (1О) Х~ причем знак равенства нужно понимать в смысле асимптотического равенства.
Полученная формула справедлива не только для вещественных, но и для комплексных значений Л, и х, при условии — — ~(агсх,(~ —. Так, например, если мы положим .гх+ ! Л~=сЛ=4~ — + р), х! = — ех, где р — целое положительное число, то второй член в (!О), вследствие того, что 1 — =О, г( — р) обратится в нуль, а формула (1О) даст точное (а не толька асимптотическое) равенство е 2Р( — р, а+ 1; х)= ( — !)РГ(х+ !) г(8+ р+ !) 20~ х). 2ххр ~ —,в — з — р — — ) (11) Из сравнения (1!) с (11) 5 3 и (22) 5 3 ясно, что формула (!1) дает полиномы ()',(х), расположенные по возрастающим степеням х (слева) и по убывающим степеням х (справа). ТЕОРИЯ ШРЕЦИИГЕРА !ч 1е 2!2 9 9. Радиальные функции водорода для сплошного спектра На основании результатов предыдущих параграфов (формулы (9), (1!) 5 2 и (2), (3), (6), (8) 5 7), мы можем радиальную функцию атома водорода для сплошного спектра написать в виде причем эта.
функция будет вещественна, если толька а(е) вещественно. Чтобы получить асимптотическое выражение для этой функции для больших гь подставим в формуле (10) 5 8 вместо з, Аь Х~ Их ЗНаЧЕНИя И ПОложнм (2) г(!+1+ — ') ~г(!+!+ ' ) а ряды гее заменим нх предельными значениями Р,„=1. Мы получим тогда (2!+ !)! т~ — 1 г(!+ 1+ — ') Х вЂ” соз [г, у'2а +=19(г, ~78а) — (1+ 1) — + (а)~.
(3) г, ч/2е 2 Нам нужно нормировать эту функцию так, чтобы было ееье 11т — ~ г', ~ К„(г,) па Йг, = 1. ! А, оде 0 е (4) Иногда бывает удобно ввести вместо е другой параметр й, связанный с е соотношением а=г(й), (5) . где 1(й) есть некоторая монотонная функция, и рассматривать собственную функцию й'(й, г), нормированную по формуле 11гп — ~г' ~ )с(Й, г,)г(й ггг, =1.
! АА-ео Ал О А (6) Л,с (гу) = =а(е)е "' '(г, Х~йа) Р((+ 1+, 21+2; сг,.)/8а), (1) Найдем связь между функциями, соответствующими раз- личным нормировкам, Мы имеем, считая Ле и О«е положитель- ными, ба= 7'(й) Ой, е+ Ае й+ йй Ры(«,) е(а = 1'(й) ~ )((й, «,) <й, так как Ой бесконечно мало. Подсгавляя эти выран1дния в (4) н сравнивая с (6), получаем )с(л, «,) =)7„(«,) ~/ ~ — „' ~ . Формулу (4) или (6) можно преобразовать следующим образом. Так как собственные дифференциалы, относящиеся к различным участкам сплошного спектра, ортогональны, мы можем вместо (6) написать (7) 1! — ( ', ) А(е',,)еу ° ( е(е".,)еее)е,=!, (8) о й А-Ь,й где Л,л > Ол.
В этой формуле мы можем перейти к пределу Ол-+О, оставляя б,й отличным от нуля. Мы получим й-ьй,й ~ «',К(й, «,) ~ Л(й', «,)е(й'е(«, =1. (9) Пусть теперь 1се(е, «,) — ненормированные функции, а с(л)— нормировочный множитель, так что Р(й, «,) =с(й)Ле((е, «,). (10) Так как Ь,й бесконечно мало, мы можем вынести множитель с(е) из-под знака интеграла н получим для определения его уравнение й+А,й (й) ~е 1 «~йе((е «1) 1 )хе ((е, «1) е(Я п«и (11) о й-А~й Выражение в правой части не зависит от ЛА как могло бы показаться на первый взгляд. Предыдущие соображения относятся не только к данному примеру, но и к общему случаю нормировки собственных функций в сплошном спектре.
Для вычисления интеграла (11) разделим промежуток интегрирования по «е на две части: от нуля до некоторого «, = А и от А до оо, Интеграл в конечном промежутке (от 0 до А) эя РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ СПЛОШНОГО СПЕКТРА 213 теопия шгедингепь 214 1Ч. П Преимущество этой формулы в том, что, взяв А достаточно большим, мы можем пользоваться асимптотическим выражением для 1тс(й, гй).
Положим й = т/2е (13) и возьмем в качестве 1(с(гс, г~) ту функцию, которая имеет асимптозическое выражение )тп (й, г,) = — соз (йг~ + — „!р г, + у), 1 1 (! 4) где у есть векторная функция от й, значение которой можно получить из сравнения (14) с (3). Можно показать, что при вы- 1 числении предела (12) члены — !иг, + у под знаком косинуса не играют роли, так как они малы по сравнению с главным членом Ф»ь Оставляя поэтому только этот член, мы будем иметь С й+ ь,й !с(й!Р 11п1 ~ соз йг~ ~ соз й г~ (И'с(г~ = ь,й-йп „ ! пп ~ (1 + соз 2Ь',) ' ' аг1.
(15) ь,й~о г~ Легко показать, что Г сой 2йг, Мп Ь~йг, !!т дг, =О. ьй и А г, (16) В самом деле, это выражение равно 1 ! й1п (2й + Ь,й! г, 1 1 й1п (2й — Ьа! г~ 11т дг,— — ~ — Йг, ,! л 2,) г, А а величина в скобках представляет разность двух сходящихся интегралов, которые при Ь,й = 0 совпадают. Остается, следовательно, (17) будет, очевидно, стремиться к нулю одновременно с б4.
Поэтому остается интеграл от А до по, и мы будем иметь й+ь,й , = 1нп ~ г'Р(Ь г ) ~ И(й', г,)с(й'с(гп (12) !с(й1!й ь1/, 0 „! ' ! 3 е! РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ СПЛОШНОГО СПЕКТРА 2!5 Вводя здесь новую переменную 1=г1 Ь,/е, получим Ю + ААА 0 так что мы можем положить с(/е) =.у —. /2 (19) Таким образом, собственными функциями, нормированными относительно /е, будут те, которые имеют асимптотическое выражение /2 1 г )т(/е, г,) ж т г — — соз йг, + — 1О г, -1- у) и г~ /! /2 ! г — 1 й„(г,)ж у —.у — — соз~г~ ~/2е+ =!дг, + у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
