Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Сделаем подстановку 6=(1 — х') ' о (11) Для о получается уравнение (1 — х') —, — (2т + 2) х — „„+ (1 — т) (1 + т + 1) о = О. (12) Если бы мы вместо (!1) положили т е4=(! — х') ' н4 (13) 4)ба уравнения (12) и (14) получились того же вида, как и уравнение (8), причем для (12) число й равно 1+ и, а для (14) оно равно 1 — пт. Поэтому мы можем положить И4+24 о=с, (х2 — 1), 44х + ~4-42 п4 = с2 (х' — 1)'. (15) (16) Приравнивая выражения (11) и (13) для 6, получим 44+24 Е=с4(1 — х) 2 — „„(х2 1)'= иГ-24 = С2(1 — х ) 2 (х2 — 1) (17) 44Х~ то для ш получилось бы уравнение, отличающееся от (!2) лишь знаком у пг, а именно, (1 — х') й+(2гп — 2)х %+ (1+ и)(1 — гн+ 1) =О. (14) ТЕОРИЯ ШРЕДИИГЕРА 1ч.
и 172 Чтобы найти отношение постоянных с!/см достаточно приравнять оба выражения (18) для какого-нибудь частного значения х. Вычисление дает с, (! + т)! = с, ( — !) (! — т)! Принято полагать 1 с,=— 2!11 (19) и, следовательно, = — ( — !)" 1,Р (1+ т)1 2!11 1! — щ)! (20) и обозначать соответствующее решение уравнения (6) символом Р! (х). Таким образом, функции т „!+,„( з )! Р (.)=0-') — "„„'" —,", (21) равные также Р! (х) = ( — 1) (1 — хт) з —,, (22) оа (!+Ш)1 — е' "' (х — 1) (1 — т)1 Йх ~ 21! удовлетворяют уравнению — ~(! — кх) — „~ — —,; Р! +Ц!+ 1)РГ= 0 (23) всего 21 + ! значение.
Неравенство )т)<1 (26) вытекает из физического смысла этих величин. В самом деле, т' есть с точностью до множителя лз собственное значение опе- и представляют те решения, которые остаются конечными при х= ~1. Выражения (21) и (22) определяют функцию Р! (х) как для положительных, так и для отрицательных значений целого числа т, причем из сравнения (2!) с (22) следует, что При !т) ) ! выражения (2!) и (22) обращаются в нуль, так что решений уравнения (6), которые бы оставались конечными при х = ~ 1, не существует, поэтому при данном число т может принимать лишь значения т= — 1, — 1+1,...,! — 1,1 (25) НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ а 5] ратора т,'-, а !(! + 1) — собственное значение оператора т' = = та + т'„ + т,'-, отсюда следует "), что откуда а так как )т) и ! суть целые числа, то предыдущее неравенство эквивалентно неравенству (26).
Припоминая выражение (9) для полинома Лежандра, мы можем шаровую функцию Рг (х) с положительным значком т представить в виде Рг =(! — х ) а — „Р,(х) (т)0). (27) В теории потенциала обычно рассматривают лишь функции с положительным значком т и пользуются этой формулой в качестве их определения. При исследовании дифференциального уравнения (6) мы предполагали, что т есть целое число, Однако в некоторых задачах, связанных с теорией Паули н теорией Дирака, число пг может быть и полуцелым (т, е, половиной нечетного числа). При этом функция (1) уже не будет однозначной функцией точки, так как она будет менять знак при увеличении ср на 2п.
Но выражения (!7) для 8 сохраняют смысл и в том случае, когда оба числа ! и т полуцелые, так что ими можно пользоваться и в этом случае. $ б. Некоторые свойства шаровых функций В дальнейшем нам придется пользоваться различными свойствами шаровых функций: поэтому мы рассмотрим их несколько подробнее. Припоминая формулу Коши (Санс)гу) (!) 2н1 г (а — хгге' для производной порядка ! от аналитической функции и полагая в ней (а 1)г 2гп *! Если ф есть обнгая собственная функция операторов т' н ьна, то й~г (! + 1) = $ ф (гн', + т + нге) ф ггт = угон г + ~ф (гне + т') ф ггт Ъ |ганг г.
174 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !ч, н мы можем представить полином Лежандра, определяемый формулой (9) $4, в виде интеграла 1 ! Г (х' — 1)! Р,(х) = — ° — ) 21 2гн !г — х) Р1 Введем здесь новую переменную интегрирования Ь, положив 2 — Х х' — ! 2' Решая это уравнение относительно г и беря то определение корня, для которого г = х при Ь = О, будем иметь * = — (! — ~/ 1 — 24 .1. 1 ) Отсюда е'х х — х Ь З/1 — 2ХЬ+ ~' (5) (6) = ) !Г~Р! 1(х).
(1 — 2хг + г')Ч" 1-0 (8) и интеграл (2) примет вид Р1(х) = — „ 2гн ! з71 — 2хе+ й' ь1+' откуда по формуле Коши (1) ! (Ф 1 Р! (х) = — ( —, П ~ е'ь! з7! — 2хь+ ~' )Е з Следовательно, Р1(х) есть коэффициент в ряде Тейлора г'Р,(х). 1=О Этой формулой удобно пользоваться для вывода различных свойств полиномов Лежандра. Дифференцируя (5) по г, получим =7 (г! 'Р1(х). (1 — 2кг -1- г') А ~-' 1еп Умножая (6) на 2г и складывая с (5), будем иметь (21+ Ц г'Р, (х). (7) 1 3 С другой стороны, умножая (6) на г' г.
(5) на г и складывая. получим НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ % 51 175 Приравнивая в этом тождестве коэффициенты при отдельных степенях г, будем иметь (21 + 1) хРс (х) = (Е + 1) Рс+, (х) + ЕР,, (х). (9) Полученное соотношение представляет рекуррентную формулу, позволяющую вычислить Рсэс (х), когда известны Рс(х) и Рс 1(х). Продифференцируем теперь разложение (5) по х и разделим результат на г. Мы получим 1 7 с йРс+, г (1 — 2хг + го) С' х-о Нх 1=11 Умножая это выражение на ! — го, будем иметь с-о (10) Сравнивая (10) с фсурмулой (7), получаем (21+ 1)Р,(х) = — „'~'— (11) Соотношения (9) и (! 1) можно обобщить на шаровые функции. Дифференцируя формулу (11) лс раз по х и умножая затем на лФ ~-! (1 — х') ', мы можем, иа основании (27) 9 4, написать ее в виде ! (2Е+ 1) (1 — хо)УРс (х) = Рс<.+1' (х) — Рс-+1 (х).
(12) дифференцируя же формулу (9) си раз и умножая затем иа (1 — х') ', получаем 1 (2Е+ 1) хРс (х)+(2Е+ 1) т(1 — хо)о Рс '(х) = =(Е+ 1) Рс+1(х) + ЕРс 1(х). Заменяя здесь, на основании (12), (21+!)(! — хо)' Рс '(х) на Рс+,(х) — Рс 1(х), получим формулу (2Е+ 1) хРс (х) = (Š— си + !) Рс+1 (х) + (Е+ лс) Рс-с(х), (! 3) Но сумма выражений (6) и (8) равна выражению (7), умноженному на х: Ю Ю М ~ г' (Е + 1) Р +1 (х) + Х гсЕР,, (х) = ~ г' (21 + 1) хР, (х).
с-о с=о с=о ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !ч 1! '176 или, если мы заменим т на и+1, гл.Н / — ь(1 — хз) ' Р7Р' (х)) = — (1+ т+ 1)(! — и)(1 — хз)' Р~ (х). (! 4) Умножим теперь (2!) 3 4 на (1 — х~) е и продифференцируем по х. Мы получим т '! т+! — ((! — х') ' Р7 (х)) = (1 — хе) ' Р7+' (х). (15) Уравнения (14) и (15) образуют систему, из которой можно, путем исключения Р7+ (х), получить уравнение (23) $4 для Р7(х). Введем в (14) и (15) вместо х независимую переменную б = агссов х. Уравнения напишутся —," Г(в!пб) +'Р7+'(совб)3= =(1+ и+!)(1 — т)(в)пд) + Рг (совб), (!6) ло [(в!по) Р7 (сов бЯ = — (в)пб) Р7~~ (сов 6) (1У) илн, если выполнить дифференцирование, — Р7(сов 6) — т с(д ЬРГ (сов 6) = — Р7"' (совб), — Р~ +'(совд)+(т + 1) с!дЬР7 ' (созб) = (18) =(1+т+1)(! — т)РГ (совб).
(19) С этими уравнениями мы встретимся в теории Дирака. связывающую три последовательные функции с одинаковым значком т. Формулы (12) и (13) справедливы как для положительных, так для отрицательных значений т. Если в шаровой функции верхний значок окажется по абсолютному значению больше нижнего, то ее нужно заменить нулем. При изложении теории Дирака нам придется пользоваться системой дифференциальных уравнений для шаровых функций, которую мы сейчас выведем. Умножим формулу (22) 9 4 на (1 — х')' и продифференцируем по х. Мы получим формулу, которую можно написать в виде П$ и~-1 — ((1 — х') ' Р7 (х)) = — (!+ т) (! — т + 1) (1 — х') ' Р7 ' (х) НОРМИРОВАННЫЕ ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ Они обладают свойством ортогальности ! ~ Р!" (х) Р!.
(х) (х =0 (1 ~ 1'), но еще не нормированы. Обозначим через Р! (х) = сь РТ(х) (2) функции, нормированные так, чтобы было Ф! - 1 Р (.)Р (.).. = „., 2 — ! и найдем нормировочный множитель с, . Мы имеем -!- ! — [Р!" (х)) !1х. (с )х (4) Для вычисления интеграла заменим в нем квадрат Р! произведением выражений (2!) и (22) $4. Мы получим +! ! 2 „(1+и)! 1 !" !~!-"(х'-1) и'+"(х' — 1) — =( 1)- )г (! м)! (2!Н)В ~ хх! Р! !1х + !1х. Интегрируя 1 — лх раз по частям и замечая, что = (21)!, Р'Х будем иметь +! 2 (! -Р гий (21)! — (1 — хз) !1х.
(х!,„)з (1 — т)! (2!Н)х Р! Последний интеграл вычисляется легко; он равен +! 2 12!Л)! 21+! (2Н) -! 5 6. Нормированные шаровые функции Рассмотренные в предыдуших параграфах функции Р7 (х) представляют замкнутую систему собственных функций само- сопряженного оператора в левой части уравнения -Н(1 -") й+ —,"„Н=«~+ 1) ~ 178 тяояия шеедингюл (ч. и Следовательно, +! ~ ~Р~(,)3,(, (х )3 (5) Отсюда Ч (1+т)1 и нормированными функциями будут Р) (х) = 1/2!+ 1 ~/( + Р1с(х).
(6) Выразим их непосредственно через производные. По формулам (21) и (22) $4 мы будем иметь Р) (х)= ЪI2!+1 л/ ) (1 — х')г ° ( (8) (1 (- т)1 Нх~+»' 2~11 и Отсюда видно, что Р! (х) — ( 1) Р~ (х). (10) Для нормированных функций рекуррентные формулы (13) и (12) 3 5 принимают вид ,т+! +, Р1~~ (х). (!2) В заключение выпишем несколько полиномов Лежандра и функ- ций Р) (х): Рз(х)=1, Р,(х) =х, Р,(х) = 2 (Зх — 1), 1 з 1 Рз(х) = — (5х — Зх), Р,(х) = — (35х" — 30х'+ 3), 1 „! 78 Р~ (х) = ~/ — (1 — х ) «2 1 Рз (х)= ~/ 8 (1 — х), Ря (х)=,~/ — (1 — х1 х, вп РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 179 /35 . а —,' 7!05 Рз (х)= !/ — (1 — х ), Рз (х)= ~( — (1 — х )х, *' г2! Рз (х)= ~/ — (1 — х')' (5х' — 1). 5 7. Радиальные функции. Общее исследование Рассмотрим дифференциальное уравнение (16) 2 3 для радиальных функций, которое мы для удобства выпишем здесь еще раз: — „,, + —,—,„— —,, 77+ — „, (Š— (7(г)) 1(=0. (1) ЕгЯ 2 ~И 1(1+ !) 2аг Чтобы исследовать это уравнение, нужно сделать определенные предположения относительно вида потенциальной энергии на больших и на малых расстояниях от ядра. Начнем со случая больших расстояний. Положим, что при г-а оо энергия может быть представлена в виде (7(г) = — —, + —,, + А В (2) Член — А/г представляет Кулоново поле, действующее на больших расстояниях.
Для волнового уравнения валентного электрона коэффициент А равен А = Л'"е', где Л'*е — эффективный заряд ядра (алгебраическая сумма зарядов ядра и внутренних электронов), так что А положительно (притяжение). Для волнового уравневия а-частицы коэффициент А (отталкивание) будет. отрицательным. Постараемся выяснить характер решения при больших г. Для этого по~~жим !х гаеаг (! ! + ) (3) где многоточием обозначены члены порядка 1/г' и выше. Вычисляя отдельные члены в дифференциальном уравнении (1), будем иметь — = гве" ~а' — — ГРЕаг ( + ) 2 аг! 2а —,, (Е + — + ...) Рх = гзеа' ° —,, (Е + — + ...) . теОРия шРединГеРА 1Ч. 11 1ао ПОДСтаВЛЯЯ Этн ВЫРажЕНИЯ В УРаВНЕНИЕ И СОКРаЩаЯ На ГЕЕаг, получим аз+ —,, Е+ )2(р+ 1)и+ —, А+ С(аз+ —,' Е)~ — + ...
=О. Отсюда выводим два уравнения зтЕ О 2(О+ 1) а+ —, А =0 (4) / 2тЕ а =,~/ —— Ьг (5) р= — ! + —., Аа 2Е ' (6) соответствующие двум знакам квадратного корня в выражении (5) для а. Подразумевая под сг какое-нибудь одно значение квадратного корня, мы можем написать главные члены общего решения уравнения (1) в виде /с = — 'тС1е '"' + Сае / а(г+ —,, 1З г) -а(г+ —, 1Ег)) г (7) Мы видим, что характер решения различен, смотря по тому, будет ли а вещественным или мнимым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
