Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Наибольший интерес представляет случай высокого барьера потенциальной энергии. Он характеризуется тем, что величина ! 1 — Я = — Яр (гр) а Ь (16) фр(г) =ф (г) (О < г < г,), Рр(г)=О (г) г) (17) будет весьма велика по сравнению с единицей. В этом случае поведение функции 1, а следовательно, и ф будет существенно зависеть от значения коэффициента в формуле (12). Если ср=О, то первый член в (12) отсутствует и функция будет быстро убывать при возрастании г от г, до гм так что амплитуда ф в области Ш будет гораздо меньше, чем в области !. Это значит, что вероятность (точнее, плотность вероятности) обнаружения частицы в области внутри барьера будет гораздо больше, чем для области вне его.
При произвольном значении параметра энергии Е нельзя сделать так, чтобы постоянная с, обращалась в нуль. Требование с,(Е) = О выделяет некоторые значения Е подобно тому, как в обычной задаче теории Шредингера выделялись собственные значения оператора энергии. Пусть Е = Ер — одно из таких значений. Обозначим соответствующую функцию ф через фе (г).
Поскольку эта функция отлична от нуля и вне барьера, мы не можем рассматривать ее как описывающую состояние частицы внутри барьера. Для описания такого состояния мы можем ввести близкую к ней функцию фр(г), положив чм гхспхдх почти.стхцпопхгного состояния ! зэ Мы можем наложить на нее условие нормировки Г ~ ~ ф0(г) 12г~й'= ~ ! фз (г) (2г2с(г = 1.
(18) о а В состоянии, описываемом функцией ф0(г), частица находится внутри барьера, но состояние это не стационарно, поскольку функция фа не удовлетворяет при г = гз условию непрерывности, необходимому для собственной функции оператора энергии. Состояние системы будет, однако, приближенно стационарным в том смысле, что если в начальный момент времени 1 = 0 оно описывалось функцией фа(г), для которой вероятность нахождения частицы внутри барьера равна единице, то в последующие моменты эта вероятность будет медленно убывающей функцией от времени. Закон убывания этой вероятности можно назвать законом распада системы, находящейся в почти стационарном состоянии. По классической механике распад системы был бы связач с прохождением частицы через барьер потенциальной энергии.
Если бы можно было всегда локализовать частицу в пространстве, то пришлось бы сказать, что в области над барьером ее кинетическая энергия проходит через отрицательные значения, что невозможно. С другой стороны, такие явления, как выбрасывание и-частиц нз ядра атома или ионизация атомов во внешнем электрическом поле, убедительно показывают, что распад систем такого типа действительно может происходить. Сопоставление этих двух заключений неизбежно приводит к выводу, что к перечисленным явлениям классические понятия неприемлемы и что истолкование их требует введения новых, а именно, квантовых понятий.
Но согласно механике утверждение о том, что частица находится над барьером, лишено смысла, пока не указано, каким образом это может быть констатировано. Констатация же нахождения частицы в области над барьером требует сообщения ей недостающей энергии. Тем самым устраняется упомянутый выше парадокс. й 8. Закон распада почти-стационарного состояния Закон распада почти-стационарного состояния системы может быть формулирован для весьма общего случая, если ввести в рассмотрение функцию распределения энергии в этом состоянии.
Обозначим буквой х совокупность координат (или тех переменных, через которые выражена волновая функция), Пусть фа = ф(х, 0) есть начальное значение волновой функции ~р(х, 1) ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 160 сч. 11 рассматриваемой системы. Разложим фь в интеграл по собственным функциям фе(х) оператора энергии: 2Р (х, О) = ~ с (Е) сйе (х) с(Е.
Тогда состояние системы во время 1 будет с ф(х, 1) = ~ е " с (Е) Фе (х) дЕ. (2) Вероятность 1(1) того, что через время 1 система может быть обнаружена в начальном состоянии, равна квадрату модуля «скалярного произведения» р(1) = ~ ф(х, 0)ф(х, 1)дх, (8) так что мы имеем 1 (1) =! р (г) Г (4) На основании теоремы замкнутости для функций с(се(х) величина р(1) может быть представлена как «скалярное произведение> коэффициентов разложения функций (1) и (2). Мы имеем р(1) = ~ е " с(Е) с(Е)дЕ. (5) Но величина с((«" (Е) = ис(Е) дЕ =( с(Е) ~гдЕ (6) есть функция распределения энергии для начального состояния (а значит, и для состояния во всякий последующий момент времени 1). Поэтому выражение (5) может быть написано в виде с р Я = ~ е " те (Е) с(Е = ~ е " сЛ(т (Е). Таким образом, введенная выше вероятность того, что через время 1 система еще не распалась, равна 2 1.
(1)=~ р(1) 1-'= ~ е " сс)Р'(Е) (8) Мы получаем, таким образом, следующую теорему. Закон распада состояния фь зависит только от функции распределения энергии в этол состоянии и выражается формулой (8). При соответствующем определении интегральной функции распределения %(Е) формула (8) будет справедлива и в том случае, когда функция %(Е) разрывна (точечный спектр), Заметим, что закон распада может быть одинаков и для двух разных состояний, если только функция распределения энергии для них одинакова.
Следует также иметь в виду, что в формуле $81 злкон пхспхдх почти-стхционхгного состояния 161 (9) где, согласно (7) и (8), Е(!) есть вероятность того, что во время ! система не распалась. С другой стороны, можно доказать, что из условия (10) вытекает непрерывность У'(Е). Мы приходим к выводу, что необходимым и достаточным условием наличия распада является непрерывность интегральной функции распределения энергии. для вероятности распада время ! отсчитывается с того момента, когда (в последний раз) констатировано, что атом (или система) еще не распался; самое же состояние фэ нераспадавшегося атома не меняется. Это можно, если угодно, выразить словами; атом не стареет, а распадается внезапно.
Это следствие справедливо для любого закона распада, не обязательно экспоненциального. Интересно отметить, что в формуле (7) подвергается преобразованию Фурье не амплитуда вероятности (не волновая функция), как обычно в квантовой механике, а сама вероятность. Согласно терминологии, принятой в теории вероятностей, р(!) есть характеристическая функция для распределения энергии. Из свойств интеграла Фурье вытекает связь между быстротой распада и плавностью функции распределения.
Выясним сперва условия, при которых вообще будет иметь место распад. Если существует дифференциальная функция распределения энергии (плотность вероятности) ш (Е), то интегральная функция распределения (е'(Е) связана с ней соотношением Е' К(Е') — И7(Е) = ~ ш(Е)йЕ, где Е и Е' — любые два значения энергии. Если Е') Е, то написанное выражение есть, очевидно, вероятность того, что энергия системы лежит между Е и Е'. Если точечный спектр отсутствует, функция К(Е) будет непрерывна для любого начального состояния.
При наличии гке точечного спектра функция К(Е) может быть непрерывна лишь в том случае, когда в начальном состоянии обращаются в нуль все относящиеся к точечному спектру вероятности. Предположим, что функция К(Е) непрерывна. Из связи (9) между гР(Е) и гв(Е) следует, что непрерывность %(Е) равносильна абсолютной ннтегрируемости ш(Е) в обычном ее определении. Но если ш(Е) абсолютно интегрируема, то величина интеграла (5) стремится к нулю при неограниченном возрастании Е Таким образом, из непрерывности )й'(Е) следует !. (!) — +0 при 1-+ со, (! 0) 162 теОРия шредингера рс. и (1! ) Пусть следующая пара полюсов будет иметь мнимую часть Г'.
Нетрудно видеть, что если )настолько велико, что ~ г'-г (12) то значение интеграла (7) будет обусловлено вычетом в одном из двух полюсов (11), тогда как остальные полюсы не будут играть роли. Но если бы функция ш(Е) имела только одну пару полюсов, то мы могли бы положить *") ) Г Ш(Е) = — (Е Е,) +Ге (13) т.е. пришли бы к дисперсионной формуле распределения энергии. Подставляя (13) в интеграл (7), мы получаем ! 1 — Ес — Г (с) р(1) =е (14) и, следовательно, 2Г Ь (1) = е (15) Таким образом, для получения обычной экспоненциальной формы закона распада достаточно уже общего предположения о мероморфном характере функции ш(Е) — предположения, которое может быть обосновано путем анализа уравнения Йредингера для данной задачи. *) Мероморфной называется функция, регулярная и однозначная на всей плоскости, кроме отдельных изолированных точек, которые являются ее полюсамн.
") Мы считаем здесь, что Г С Еа — Е; где Е' — нискний предел интегрирования в (7) (обычно Е' = О). Во многих задачах функция распределения энергии удовлетворяет гораздо более жестким условиям, чем простая не. прерывность Гьт(Е). Так, в задаче о вылете частицы из потенциальной ямы через барьер потенциальной энергии плотность вероятности цс(Е) будет мероморфной функцией ") комплексной переменной (задача эта была рассмотрена в предыдущем пара. графе). Так как при вещественных значениях Е функция ис(Е) будет вещественной, то полюсы ее будут расположены симметрично относительно вещественной оси, причем вычеты в нолю. сах будут величинами комплексными сопряженными (по физическому смыслу функции ш(Е) как плотности вероятности, она не может иметь полюсов на самой вещественной оси). Пусть ближайшая к' вещественной оси пара полюсов будет Е=Еос-сТ (Г) 0). ГлаваГЧ ЭЛЕКТРОН В НОЛЕ С ЦЕНТРАЛЪНОЙ СИММЕТРИЕЙ 5 1.
Общие замечания Задача об описании состояния электрона в поле с центральной симметрией имеет большой практический интерес, так как решение ее дает не только теорию спектра водорода (движение в Кулоновом поле), но также и приближенную теорию спектров атомов с одним валентным электроном, например атома натрия. В атоме водорода электрон находится в Кулоновом электростатическом поле ядра, так что потенциальная энергия У(х, д, г) равна е' и(г)=- —,. В атомах с несколькими электронами последние как бы теряют свою индивидуальность, так что нельзя, строго говоря, рассматривать состояние отдельных электронов и описывать их волновыми функциями ф, зависящими от координат одного электрона каждая.
Вместо этого нужно рассматривать состояние всего атома как целого и описывать его волновой функцией, зависящей от координат всех электронов. При этом нужно учесть наличие у электронов внутренней степени свободы (так называемого спина), а также свойства симметрии волновой функции по отношению к перестановке электронов. Многоэлектропная задача будет формулирована в части!Ч этой книги. Пока же ограничимся замечанием о том, что в известном приближении можно выразить волновую функцию всего атома через волновые функции отдельных электронов. Тогда для этих последних получаются уравнения того же типа, как в задаче одного тела (с некоторыми добавочными членами). Поэтому можно, например, для атома с одним валентным электроном составить уравнение для волновой функции этого электрона и говорить, что он находится в поле ядра и остальных (внутренних) электронов.
Это поле будет, подобно полю в атоме водорода, обладать сферической симметрией, но оно уже не будет Кулоновым. Ввиду изложенного, случай пе-Кулонова поля с потенциальной энергией ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !64 [ч. н 5 2. Интегралы площадей Волновое уравнение Шредингера для электрона в поле с потенциальной энергией и(х, у, е) имеет вид Нф — !'й — = О, д~> д! где оператор энергии Н равен ем (Рх+ Ру + Р~) + (х У (2) Положим, что потенциальная энергия и зависит только от расстояния г от ядра атома, которое мы будем считать неподвижным и лежащим в начале координат и(х, и, е) =и(Г) (.=-~х'+ р'+ ') (З) Волновое уравнение напишется — (Р, + Р', + Р ))ф+ и (г) ф — И ф = О, ! д$ (4) или, если мы выразим р„, р„, р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
