Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. 2 с А=! (10) Подставляя сюда выражение (3) для ф„', и обозначая для краткости через У'„; сумму У,=~~~", ', ,')'(пд1У1тр)(гпр1У1кг)+ щ а пг теоРия шРединГеРА 1ЗЕ 1~1. !! Отсюда, умножая на ор„и суммируя по д, получаем о РА Оûà Ы' (11) Мы пришли к уравнениям того же типа, как уравнения (1) $ 5, и можем по изложенному в $ 5 способу найти матрицу о!А. Может оказаться, что матрица о!т» по тем же причинам, как Ьм 5 5, определяется неоднозначно; тогда для полного определения ее пришлось бы перейти к высшим приближениям. Предположим теперь, что матрица осх найдена и что функции фо, надлежащим образом «исправлены», т. е.
заменены, в случае надобности, их линейными комбинациями. Тогда уравнение (7) для Е„', = Е;, будет выполняться тождественно, так что соответствующее с „останется произвольным, а для Е„'„Ф Ф Е'„, величина с, определяется по формуле (8).
Согласно уравнению (6) для 7 = г величина с„, также останется произвольной и может быть положена равной нулю; тогда функция ф„, = ч!'„„+ еф„'„будет, с точностью до величин порядка е', нормированной. Наконец, поправка второго порядка к энергии, т. е. величина Е'„;, будет равна «Р/ Е„, =У„, (12) где под У",, мы должны, конечно, разуметь «исправленное» !!";„ которое мы обозначили через 51,",. В результате мы получим первое приближение для собственной функции ор„„ и второе приближение для энергии.
Таким же путем мы могли бы получить и высшие приближения, но ввиду сложности формул они не представляют практического интереса. й 7. Случай близких собственных значений Из формул $ 3 видно, что если два собственных значения Е„ и Е„ невозмущенного оператора близки друг к другу, то о о в выражениях (9) и (12) 9 3 для ф' и Е„" проявляются малые знаменатели ń— Е»ч Вследствие этого, получаемые приблио о а а жения будут плохими, а если знаменатели ń— Е„того же порядка, как и числители (умноженные на е), то указанными формулами вообще нельзя пользоваться. Это значит, что в такоч случае нельзя разлагать искомые функции и собственные зна.
чения по степеням а. Вместо этого можно применить способ, ,идея которого состоит в таком расположении вычислений, чтобы во всех членах с малыми знаменателями числители обратились в нуль. При изложении этого способа мы ограничимся получением «нулевого» приближения. слгчхи влизких совстввнных значении ~зз Напишем исследуемое уравнение в виде Нф=Еф, Н Но1 У (1) (2) где и положим, что невозмущенный оператор Нз имеет два близких о о собственных значения Е~ и Еъ которым соответствуют собственные функции ф', и ф',.
Будем искать то решение уравнения (1)„ для которого Е близко к Е~ и Еь В качестве исходного приз з блнження нужно взять вместо фз или ~Д, как это делалось в 5 3, линейную комбинацию — с Фз+с $0 (3) В самом деле, нз формулы (9) э 3 мы можем заключить, что главный член в выражении для ф,' будет пропорционален ф'„ поэтому целесообразно принять его во внимание уже в исходном приближении. Кроме того, нз формулы (10) $ 4 следует, что в предельном случае, когда Е~ совпадает с Еь функцией нулевого приближения будет линейная комбинация чг', и ф,', Под.
ставляя выражение (3) в наше уравнение (!), получим приближенное равенство с~(Н вЂ” Е)'Ф, +с,(Н вЂ” Е)фз=О. (4) где На= ~МНМ "т (1 й=1 2) (6) Заметим, что недиагональные члены Нм и Нм здесь малы по сравнению с диагональными Ни и Нан так как для невозмущено о ного оператора Ни=Ни =О.
Уравнения (5) служат для определения коэффициентов с~ и сз и параметра Е. Приравнивая нулю определитель ! Р Н вЂ” Е ! и решая квадратное уравнение Ез — (Нн + Н ) Е + НнН вЂ” ~ Н, 1з = О, (8) Умножая (4) сперва на фо а затем на ф, и интегрируя, получим два уравнения (Нп — Е)с, +Нц,с,=О, ~ Нмс, + (Нм — Е) с, = О, 134 теОРия шРединГеРА 1ч.
ы' получаем для Е два значения Е= — (Нп+ Н22)~ — 2/(НИ вЂ” Н22) + 4! Н12!2, (9) ! 1 где Род определяется формулой, аналогичной (6). Поэтому Нга О будет порядка з, и если бы разность Е~ — Е2 не была мала, то выражение (9) можно было бы разложить по степеням е; но если эта разность мала, то разложение будет плохо сходиться или даже будет расходящимся. Отсюда ясно, почему способ, изложенный в 2 3, неприменим к случаю близких корней.
Два значения Е, получаемых из (9), дают в первом приближении возмущенные собственные значения Е~ и Е2 оператора Н, которые соответствуют невозмушенным значениям Е", и Е',. Из формулы (5) можно найти коэффициенты с1 и с2. Это удобнее всего сделать, введя две вспомогательные вещественные величины а. и р по формуле 2Н„ = — !9 ае'з, НИ вЂ” Н22 (11) Из (5), (9) и (!1) легко вывести, что отношение — ' принис, мает два значения (! 2) Если мы теперь положим е а си — — соз — е 2 6 2 а см — — з!и — е 2 (13) з з а а С„= — З!и — Е ', С22 — — СОЗ вЂ” Е 2 то мы получим нормированные решения уравнений (5). Соот- ветствующие собственные функции будут О ' 2 0 з „~ соз е 2,фо ебп е 2фо 2 ' 2 а е а ф.'=з!п — е ' ф'+ соз — е 2 Оро 2 2 2' (14) которые мы обозначим через Е! и Е2.
Из (2) следует, что НРА= Еьб в+ЕУ;2, о (10) '% В1 АНГАРМОНИЧЕСКИИ ВИБРАТОР 135 Эти функции и могут служить исходным приближением. Составленные при помощи них элементы матрицы оператора Н будут Н;., = ~ ф;Н~',Г(т= ЕДА (1, й= 1, 2), (15) так что н12 = О. поэтому, переходя к следующим приближениям и составляя при помощи Чои Ф", и остальных функций ф,', фо, ... выражения, аналогичные (9) или (12) 5 3, мы не получим о о в них членов с малым знаменателем Е~ — Е2, так что эти выражения действительно будут представлять лишь малые поправки.
8 8. Ангармонический вибратор В качестве примера применения теории возмущений рассмотрим ангармонический вибратор в одном измерении. Предположим, что единицы меры выбраны так, что уравнение для собственных функций оператора энергии имеет вид 'Гл 2О О О + вь2фо ЕО фО 2 К 12 2 л л л (2) собственные значения и функции нам уже известны, а именно 2 ЧГя ~/З"л~ (3) Е„=п+ —.
1 (4) Элементы матрицы для возмущающего оператора у=йв (п1ГГ ~п ) ~ фовлвфо цлв ЮО где е22 = ВУ найти первое приближение уравнения представляет поправочный член. Предложим себе приближение для собственной функции и второе для собственного значения. Для невозмущенного ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 136 !ч. и (П~и п)=.4Ха., п+ А~" +' Ьп„,п, (б) (и!е(п)=е чп(п — 1) бл оп +1п+ е)бпп + + Е ~/(и+1)(п+2) 60+ел" (7) Мы будем иметь (п )У! и')=(п !йЧ и') =~(п )й! й)(й(й'(и') = !' л(л — 1)(л — 3) ! ~ з б.-о,л + у 6 и' б.-!,, + + (У (и+1)О б, „, + ~(и+1)(л+2)(л+3) бл, Диагональный элемент матрицы У равен нулю, как это, впрочем, видно и непосредственно из формулы (5). Следовательно, поправка к собственному значению в первом приближении исчезает.
Приближенное значение собственной функции будет ф =Фо+ЕФ', (9) где, согласно (9) 5 3, С" (а~и~и) '('л Л.л ЕО ЕО ~('л!' !л л ж (10) В нашем случае отличными от нуля будут только четыре члена этой суммы, а именно, (л — 3(и 1 и) 0 (и — 1)и)и) ~Рл ло ЕО (п-0 до ЕО лп-! + л и-о и л — 1 1") фо + ("+3!!'1") „~о ЕО до п+! до ЕО л+Э' л л+! и+О Подставляя сюда выражение (8) для элементов матрицы, полу.
чим окончательно ор = —,!1,à — п(п — 1)(п — 2) ор О+ З.у 3 по!ро — 3 1,7~ — (и+ 1) пр" +! — — ~/ — (и+ 1) (и+ 2) (п+ 3) ~>„+о. (!1) 4 получатся проще всего путем перемножения найденных в 5 6 гл. 1 матриц для е и для ЕО, элементы которых равны Аи ГАРМОИИЧЕСКИИ ВИБРАТОР )зт Нам остается вычислить по формуле (12) 9 3 поправку для энергии во втором приближении. Мы будем иметь Е + „з (и ! Цз 1 44(44 — 1) (44 — 2) 9 9 3 8 8 1 (А+ !)!и+2)(А+3) !3 4 А !1~4 (12) 3 8 Следовательно, приближенное значение энергии будет Е = Е' + е'Е" = (и + †) — — вз (п» + и + †) . (13) (14) так что 2 ( + 2)' (15) Прибавляя (15) к (13), получим для собственного значения Е„ выражение =(+И+И -Ф")(+2,)'+~ - 1"8" В частном случае, когда 6 — е, выражение (!6) отличается » 2 а 1 от Е„только постоянным членом — а».
В заключение заметим, что добавка к потенциальной энергии гармонического вибратора членов вида е$» или 6$4 меняет характер собственных функций оператора энергии. Поэтому мы имеем здесь дело с упомянутым в $ 1 случаем, когда формальное применение теории возмущений приводит к расходящимся рядам и дает не «вполне», а лишь «почти» стационарные состояния.
Формальный характер решения проявляется и в том, что при больших значениях п поправка к уровню энергии в формуле (16) перестает быть малой. Таким образом, поставленная нами задача решена. Положим, что в операторе энергии имеется кроме ев» еще один поправочный член вида 6$4, так что уравнение для собственных функций напишется 2 Р' + (2 Е + аэ + 6",) ф = Еф. Если здесь 6 будет порядка в», то первое приближение для собственных функций не изменится, а к выражению (13) для собственного значения прибавится диагональный элемент матрицы для 634. Вычислим этот добавочный член. Мы имеем (и )84! и) =(и! Ц и-1)(п — 1)8»! и)+ + (и )$! п+ 1)(п+ 1 )$»! и)= — и'+ — (и+ 1)» Глава П! ИЗЛУЧЕНИЕ, ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ И ЗАКОН РАСПАДА.
5 !. Классические формулы Квантовые законы, управляющие теми явлениями, в которых конечная скорость распространения действий в пространстве не играет роли, могут считаться ныне окончательно установленными. Эти законы могут быть формулированы при помощи тех понятий, которые были изложены в первой части этой книги, а также некоторого нового принципа [п р и н ц и п а П а у л и (Рап!!)), необходимого при постановке задачи многих тел. Теория Паули и многоэлектронная задача будут рассмотрены в части П1 и части 1У этой книги. Напротив того, теория явлений, в которых конечная скорость распространения действий существенна, не получила еще своего окончательного завершения. К числу этих явлений принадлежат прежде всего те, которые изучаются в электродинамике и теории относительности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
