Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 19
Текст из файла (страница 19)
12Рг (Š— ТТ)1 ь (7) Обозначая через и абсолютную величину скорости частицы и через ш — абсолютную величину ускорения, мы можем написать 1/2лт(Š— (7) = тпо, (8) 1 ига б бг ! = гига. (О) Следовательно, условие (7) дает тУ ЬгР (10) или — » 1. Ггм (11) (12) где о — абсолютная величина скорости, р — радиус кривизны траектории.
Отсюда следует Рг нг ~) —. (13) Подставляя это в неравенство (10), мы получаем — « 1 Ь Егор (14) или — « 1, х 2пр (15) Это и есть тот критерий, который мы хотели вывести. Помимо л (деленной на 2п постоянной Планка) в него входят только величины классической механики, притом лишь к и и ем а т и ч е с к и е величины и масса частицы. Заметим, что по известной формуле кинематики мы имеем 1!8 теогия шгвдингвгх 1ч.
м (16) х=асоза! и, следовательно, т'тз ! ! оз — хз — пзыв шз — хг — пз 4 2 ' 2 Поэтому твз та2<о Ва 2В (17) (18) по фор- Но энергия вибратора выражается через его амплитуду муле Е = — та'ы ! 2 (19) Следовательно, величина (!8) равна та'а Е 2л Рюв (20) и неравенство, выражающее наш критерий, принимает для вибратора вид (21) где Х по.прежнему обозначает де-бройлевскую длину волны. Таким образом, длина волны де Бройля должна быть весьма мала по сравнению с радиусом кривизны траектории. Критерий, выражаемый формулами (!О) и (11), допускает два различных применения. Во-цервых, если мы будем считать скорость и ускорение частицы функциями точки [формулы (8) и (9)), то в той области пространства, где выполняется неравенство (1!), выражение (3) или (4) будет давать хорошее приближение к шредингеровской волновой функции.
Во-вторых, мы можем ввести в наше неравенство вместо скорости и ускорения некоторые средние их значения. Левая часть его будет представлять тогда некоторый постоянный параметр, порядок величины которого по сравнению с единицей будет характеризовать применимость классических уравнений. В начальный период развития квантовой механики Бор сформулировал «принцип соответствия>, согласно которому формулы квантовой механики должны переходить в классические формулы прн больших значениях квантовых чисел.
Поэтому мы должны ожидать, что упомянутый параметр (левая часть неравенства (11)) связан с характерным для данной задачи квантовым числом. Покажем на простейшем примере, что это действительно так и будет. Рассмотрим движение гармонического вибратора в одном измерении. В этом случае скорость будет параллельна ускорению.
В качестве параметров, характеризующих скорость и ускорение, мы возьмем средние квадратичные их значения. Мы имеем $91 кРитеРий ЙРименимости ФОРмул клАссическОЙ мехлники !19' Но, согласно формуле (16) 5 8, энергия вибратора равна Ел 1Л+ е)й~ (22). где и — квантовое число вибратора в данном состоянии. Следовательно, наше условие (21) приводится к требованию, чтобы квантовое число и было велико по сравнению с единицей. В заключение следует отметить, что применимость классических уравнений не означает еще применимости классических представлений. Принципиальное отличие «вероятностного» способа описания явлений при помощи волновой функции от «абсолютного» способа описания при помощи классических величин и классических понятий — отличие, о котором мы говорили в начале части 1 этой книги — остается в силе и тогда, когда классические величины дают хорошее приближение для волновой функции. ГлаваП ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 5 Е Постановка задачи Решения уравнения Шредингера и нахождение собственных функций оператора энергии, а также других операторов может быть выполнено точно лишь в простейших случаях.
Приближенное решение некоторых более сложных задач (задачи многих тел) требует применения существенно новых методов, например, вариационного начала. Многоэлектронная задача будет рассмотрена в части (Ч этой книги. Здесь мы рассмотрим тот случай, когда решение предложенной задачи может быть разбито на два шага. Первый шаг состоит в упрощении данной задачи и в точном решении упрощенной задачи. Второй шаг состоит в вычислении поправок, позволяющих приближенно учесть влияние малых членов, отброшенных при упрощении. Существует общий метод для вычисления поправок, который носит название теории возмущений.
Изложением его мы и займемся в этой главе. Положим, мы имеем оператор (будем считать для определенности, что это есть оператор энергии), который может быть представлен в виде суммы двух членов Н =Нз+ еН. (!) Первый член, Н', есть оператор невозмущениой (т. е. упрощенной) задачи, а второй член, еН, представляет поправку (возмушение), которую будем считать «малойхч для удобства мы написали поправочный член в виде произведения малого параметра е на оператор К Возмущение мы будем предполагать таким, что при уменьшении параметра е до нуля как собственные функции, так и собственные значения оператора Н непрерывным образом переходят в собственные функции и значения оператора Йз. В некоторых случаях это условие не соблюдается, и возмущение меняет самый характер решения, например вводит сплош- 12! гашение наодногодного эихвнання ной спектр. Формальное решение, получаемое по способам теории возмущений, имеет, однако, физический смысл и в этих случаях.
Оно дает волновую функцию, описывающую такое состояние атома, которое является, если и не вполне, то почти стационарным. Под этим мы разумеем следующее. Если взять полученную волновую функцию в качестве начального состояния атома, то в течение значительного промежутка времени состояние его будет мало отличаться от описываемого этой волновой функцией. Теория почти стационарных состояний будет рассмотрена в $ 8 гл. П1. Следует отметить, что ряды, получаемые в теории возмущений, могут оказаться и расходящимися, что, однако, не лишает их физического смысла, если только первые члены их достаточно быстро убывают; в этом случае используется только конечное число членов ряда.
Обратимся теперь к нашей задаче. Предположим, что собственные функции ф„" (х) и собственные значения Е„' оператора На известны точно, так что решения уравнения Нофз (х) — Ечфа (х) (2) известны. Требуется найти приближенные выражения для собственных значений и функций оператора Н, т. е.
решить уравнение (На + еу) ф„(х) = Е„ф, (х). (3) Для решения поставленной задачи потребуется прежде всего решить неоднородное уравнение Неф — Е'ф = 1 (4) для того случая, когда параметр Е' равен одному из собственных значений оператора Н0. Как в этой предварительной задаче, так и в общей задаче теории возмущений рассуждения будут различны, смотря по тому, будут ли собственные значения не- возмущенного оператора Н' простыми или кратными.
Чтобы уяснить идею способа на возможно простом примере, мы будем сперва рассматривать случай простых собственных значений, а затем обобщвм результаты на случай кратных собственных значений. 2 2. Решение неоднородного уравнения Рассмотрим неоднородное уравнение Неф — Е'ф = )' (!) где 1 — известная, а ф — искомая функция. Пусть параметр Е' равен одному из собственных значений Е„оператора Нз, так о теоРия шРелингеРА 122 1ч.
н что рассматриваемое уравнение имеет вид Н « — Е'ю«=)'. (2) Предположим сперва, что собственные значения Ею — простые, так что соответствующее однородное уравнение Н~ф — Е„ю« =О имеет только одно решение ф = ю«ю. Разложим функцию 7 в ряд а фю +~а(Е)фюдЕ (4) Подставляя (4) и (5) в (2), будем иметь с (Ею Ео)ю«ю + $ с(Е)(Е Ею) ю«ю йЕ= ы = ~ а ю«ю + ~ а(Е) ю«ю. йЕ (6) гл В левой части этого уравнения коэффициент при фю равен нулю; для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы соответствующий коэффициент был равен нулю и в правой части.
Условие а„=О (7) может быть записано в виде 1фю~й =О. (8) Таким образом, чтобы неоднородное уравнение (2) алело решение, необходимо, чтобы свободный член его был ортогонален и решению соответствующего однородного уравнения, Если зто выполнено, то остальные коэффициенты с н с(Е) могут быть получены приравниванием соответствующих членов в обеих частях равенства (6). Мы будем иметь (9) и будем искать решение уравнения (2) в виде аналогичного ряда « = ~ с фю -)- ~ с (Е) «ю йЕ. (5) вешании неодногодного унхвнвния 12И так что разложение (5) напишется в виде з а(И) э (10) где штрих у знака суммы означает, что нужно опустить член, для которого т = и.
К этому выражению можно, очевидно, прибавить решение однородного уравнения, т. е. член вида сфз, где с — произвольная постоянная. Если бы в уравнении (!) параметр Е' не равнялся ни одному из собственных значений Е„, то на функцию 1 не нужно было о бы налагать никаких условий вида (8) и решение имело бы вид фо 1 ~ "(в) „~э и (11) где значок пг пробегает все значения без пропусков. Обратимся теперь к случаю кратных собственных значений. Мы будем по-прежнему разуметь под Ем Еп Еьч ... р а зл и чо э э ные собствснные значения, так что кратность их выразится в том, что каждому Е'„может соответствовать нес колько (скажем з) собственных функций, которые мы обозначим через (12) причем число з может зависеть от и.
Заметим, что собственные значения, принадлежащие сплошному спектру, могут быть также кратными; но мы будем, для простоты, писать наши формулы так, как если бы они были простыми. Положим, что однородное уравнение гтотьо Ез„о 0 и и л имеет з решений (12), и нам нужно найти решение неоднородного уравнения Н ф — Е,Я=). (2) а~,Ф~~, + ~ а(Е)ф' пЕ, я г=~ ч' ~~', ~~', С„,Ч>~„„+ ~ с (Е) фф ~уЕ. (13) (14) ОВ Гкп Разложения заданной функции 1 и искомой функции ф напишутся в виде 124 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА Подстановка (13) и (14) в (2) дает А ~Е' — Ео) ~ ~с~,Ф', + ~ (Š— Е') с(Е) ф' с(Е= И3 Г=1 а,фФ', + ~ а (Е) ф' с(Е. (15) ОВ тчи Отсюда заключаем, что мы должны иметь а~ — — аз= ... =а =О, А а " АЗ (16) т. е.
что функция 1 должна удовлетворять з условиям ~фо~йт б (т 1 2 з) (17) Мы видим, что случаи простых и кратных собственных значений приводят к вполне аналогичным формулам и что формулировка условия существования решения неоднородного уравнения для общего случая почти не отличается от предыдущей. $ 3. Простые собственные значения Обратимся теперь к нашей основной задаче: решению уравнения (Н'+ ЕУ) ф„= Е„ф„, (1) причем рассмотрим тот случай, когда все собственные значения оператора НР простые.
Будем искать собственное значение Е„и собственную функцию ~р„в виде рядов, расположенных по степеням малого параметра е: Е„=ЕЕ+ еЕ'„+ егЕ„''+ ..., (2) ф„= ф„'+ вф„'+ в'-ф„"+ 'Таким образом, чтобы неоднородное уравнение имело решение, необходимо, чтобы свободный член его был ортогонален и каждому решению соответствующего однородного уравнения. Определив коэффициенты с и с(Е), получим для ф выражение Р з Ха,ф'Г+~ А 6йЕ (18) ш Л % З1 ПРОСТЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Подставляя эти ряды в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим ряд равенств Нофо — Еофз = 0 Н~ф„'— Е зг'„= — Уф"„+ Е'ф'„, Ноф ЕолР— Ц~>' + Е'пуф + Е"фз, (4а) (4б) (4в) Первое из этих уравнений удовлетворяется само собою, так как по предположению ф„" есть собственная функция Н' для собственного значения Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
