Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Это каноническое преобразование имеет следующий вид. Обозначим для краткости *) через Что(д) общие собственные функции опе раторов Щ, ..., Я„, выраженные в переменных дь дз, ..., д„. Пусть Р есть преобразуемый оператор. Тогда ядро или матрица преобразованного оператора Р" будут иметь вид М'~ Р*%) = ~Ч'О (МРЧ'ОМсйп где под с(д разумеется произведение дифференциалов (Ч=)ЧИ )~з, ..., ад„. Собственную функцию Что(д) можно рассматривать как ядро (г)(У(Я) унитарного оператора У = У вЂ” ' и писать формулу (5) в виде Р*=УЛI ', (бу При Р = ! формула (5) приводится к условиям ортогональности, причем слева должно получиться ядро единичного оператора в переменных Я, т. е. Д'~ ) Д) =-б,(Π— дч) =— б(а, — О;) ...
6(΄— О'„), (7) КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ в! Поэтому формулу (14) можно записать в виде ! г)Ч!а'(г() Ч!о (Ф йц =с'~ е" йр. Но оставшийся интеграл (умноженный на с') ест просто произведение дельта-функций (7). Отсюда окончательно ()Ч'о ()) Ч'а (7) й) = б. Я вЂ” Я'), (!7) и, следовательно, условие ортогональности и нормировки выполняется. Рассмотрим теперь матрицу для произвольного оператора Р, д выраженного через д, и р,= — !й —. Пусть ЕГ Р=Р(д, р)=Р(д, — !й — д'). (18) Результат действия такого оператора на показательную функцию е" будет в рассматриваемом приближении равен произд5х ведению этой функции на Р(!1, — '): дд )' Р(!1, — !й — 1е" ' же" Р(д, — ). (19) (!!'!Р*!В=с~ $ Р~д, — )еА ~ ~йд, (20) В качестве переменных интегрирования возьмем, как н в (!6), величины Р.
Преобразуя к ним функцию Р, будем иметь Р (с Р) = Р Й (Я, Р) Р (Я, Р)) = Р' (Я, Р), (2! ) где под р и Р разумеются классические выражения (3). Вследствие приближенного равенства (13) мы можем написать ! (Я'! Р" !Я) =с'~ Р" (Я, Р)е" йР. (22) Чтобы вычислить этот интеграл, заметим, что умножение содержащейся в нем показательной функции на Р равносильно То же справедливо и по отношению к функции (8). Поэтому в формуле (5) мы можем подразумевать под Р не дифференциальный оператор, а функцию, стоящую в правой части (!9). Полагая, как и раньше, в множителях при показательной функции Я' = Я, будем иметь 1ч. ! ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 82 д применению к ней оператора — И вЂ”,.
Поэтому дО' ' ~Р'(Я, Р)е" г(Р=~Р*(٠— И вЂ”,)е" г!Р. (23) Вынося оператор Р' за знак интеграла и пользуясь результатами (16) и (!7), получим (()'1 Р'!В= Р ((), — И вЂ”,',) 6.(() -()'). (24) Здесь (как, впрочем, и в предыдущих формулах) можно было бы взять в качестве первого, аргумента Е* величину 1,!'. Так как результат применения оператора Р* к некоторой функции ф(!,1) определяется формулой Р"ф М) = ~(Ф Р'!Я') ф(Я') Л)', (25) ( ' дЯ )ф(~) Таков будет вид преобразованного оператора Р* (с точностью до членов, зависящих от порядка множителей в нем).
Наши вычисления можно резюмировать следующим образом. Применение приближенного равенства (19) позволило нам пед Х рейти от оператора Р(д, — И вЂ” )к функции Р(д, р), затем эта дд 7 функция была выражена по классическим формулам для касательного преобразования через новые переменные Я, Р. От полученной новой функции Р*(1,1, Р), мы затем вновь перешли к опед х ратору Р*(Я, — И вЂ” ~, когда применяли метод дифференци- дЯ 3' рования по параметру к вычислению интеграла. Таким образом, мы пришли к следующему результату. Пусть дан оператор дч ' д (27) выраженный в переменных д.
После канонического преобразования к переменным Я оператор Р переходит в Р'. Пусть оператор Р', выраженный аналогично (27), имеет вид Р' = Р*(Я, Р), Р = — И вЂ”. д!7 ' (28) Предположим, что собственные функции, при помощи которых совершается каноническое преобразование от д к Я, имеют в по* луклассическом приближении вид (8), так что их фаза равна то, пользуясь выражением (24) для элемента матрицы, мы будем иметь (26) 83 КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОЬРАЗОВАНИЕ $ !61 — 5(су, Я). Тогда вид функции г' может быть получен из г' й с точностью до членов, зависящих от порядка множителей *), путем простого алгебраического преобразования при помощи равенств р'(у, р) =-е" (Ф Р), дЯ д5 р= до' да где 5 — функция, входящая в фазу унитарного преобразования. Последние формулы представляют касательное преобразование классической механики.
*) Разность членов, отличающихся порядком множителей, будет стремиться к нулю при А-ьо. Глава(Ч ВЕРОЯТНОСТНОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ф 1. Математическое ожидание в теории вероятностей Напомним прежде всего известное из теории вероятностей понятие о математическом ожидании некоторой величины. Пусть величина ь может принимать значения Ло хм . ° ., Аь ° ° ° вероятности которых суть соответственно Рь Рь ° ° ° ю Ры ° ° ° причем сумма вероятностей равна единице Р~ + Рз+ (3) Математическим ожиданием величины называется сумма произведений каждого значения этой величины на вероятность его появления, т.е. м, о. А = ~„РьАы (4) где буквы м.о. обозначают «математическое ожидание», Поясним это понятие простым примером. Пусть имеется М лотерейных билетов, из коих л~ выигрывают по Х~ рублей, лт по Хз рублей и т. д.
Если лотерея не беспроигрышная, одно из чисел Х может быть нулем. Имеем л, +и,+ ... =1У„ (5) и если мы обозначим сумму выигрышей через Л, п~)ч + л~А2 + ... = А. (6) Средний выигрыш 1 на один билет (считая и нулевые выигрыши) равен, очевидно, Л У млтвмлтичясков ожидания в квлнтовоп мзхлникв ' за и вероятность выигрыша Ла равна а Ра= м (8) Если мы в (7) подставим выражение (6) для Л и воспользуемся (8), то средний выигрыш на один билет можно будет написать в виде 1= Е рэЛ' (9) Сравнивая это с обшей формулой (4), мы видим, что математическое ожидание выигрыша есть не что иное, как средний выигрыш м. о. л =1. (10) Вообще математическое ожидание данной величины есть среднее значение втой величины.
В теории вероятностей рассматриваются также вероятности непрерывно меняюшихся величин. Пусть Л может кроме отдельных значений Ль Ль ... принимать также и непрерывный ряд значений в некотором промежутке. Вероятность величине Л лежать между Л и Л + ИЛ будет, вообще говоря, пропорциональной Ю. Положим, что она равна р (л) ол.
Сумма вероятностей по-прежнему должна равняться единице; это условие напишется теперь ~; р,+ ~ р(л)(л=1, (12) где интеграл взят по всему промежутку непрерывного измене- ния. Наконец, формула для математического ожидания будет иметь вид м. о. л=~ р„л,+ ~ лр(л)ж. (13) й 2. Математическое ожидание в квантовой механике Обратимся теперь к теории квантов. Мы видели, что состояние электрона может быть описано посредством волновой функции ф.
Это описание мы понимали в том смысле, что если ф есть собственная функция оператора ь для величины Л, соответствующая собственному значению Л', то задание ф равносильно указанию, что в результате измерения величины Л должно ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1Ч. 1 получиться А = Х'. Собственное значение выражалось через соб. ственную функцию следующим образом; Естественно задать вопрос, как понимать описание состояния посредством функции ф в общем случае, когда она не является собственной функцией какого-либо оператора 1..
Мы ответим на этот вопрос, введя гипотезу о вероятностном характере такого описания. Положим, мы имеем много электронов, находящихся в одинаковом состоянии ф Если мы будем на каждом из них измерять величину А, то, согласно нашей гипотезе, отдельные измерения могут давать (вследствие влияния процесса измерения на объект) разные результаты, но среднее из этих результатов будет определенным числом, которое будет представлять математическое ожидание величины А в состоянии ф, Таким образом, наша гипотеза состоит в предположении, что результат отдельного измерения может быть случайным, но что при большом числе измерений среднее не будет зависеть от этого числа, лишь бы оно было велико, Так как практически приходится, в большинстве случаев, иметь дело с большим числом электронов, то среднее, т.е. математическое ожидание данной величины, даже более непосредственно доступно опыту, чем значение этой величины для отдельного электрона.
Мы дали физическое определение понятия математического ожидания. Нам предстоит выразить его через функцию ф, характеризующую состояние электрона, и через оператор ь', характеризующий данную величину. Прежде всего выражение для математического ожидания должно удовлетворять требованию инвариантности, т. е.
оно не должно зависеть ни от выбора независимых переменных в волновой функции, ни от выбора произвольной формы в представлении операторов. Короче говоря, оно должно быть инварнантом по отношению к унитарным преобразованиям, рассмотренным нами в предыдущей главе. Кроме того, математическое ожидание должно обладать сле.дующими двумя свойствами, известными из теории вероятностей.
Во-первых, математическое ожидание суммы двух величин должно равняться сумме математических ожиданий этих величин, безразлично, будут ли они независимыми или нет. Во-вторых, если в данном состоянии Величина й имеет определенное значение А', то и ее математическое ожидание должно равняться А'. Эти требования однозначно определяют вид выражения для математического ожидания. Из условия инвариантности следует, что оно должно выражаться через унитарные инварианты.
Таковыми являются, с одной стороны, собственные значения операторов и, с другой стороны, выражения вида ~ 2РТ.тРс(т, ~ ФПтРс(т и т, п. Но мы не можем толковать собственные значения операторов как математические ожидания, хотя бы потому, что собственные значения суммы двух операторов, вообще говоря, не равны сумме их собственных значений. Остаются, следовательно, выражения вида (").
Из них мы должны выбрать первое или величину, ему пропорциональную, так как из первого из упомянутых выше свойств вытекает, что математическое ожидание должно выражаться через оператор С линейно. Множитель пропорциональности получается однозначно из свойства второго. Таким образом *), ~ 'рЕтр Нт м. о. Ь = ~Ф~л (2) или, если функция тр нормирована, м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
