Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(14) Гейзенберг в своей первоначальной «матричной» формулировке квантовой механики (!925 г.) сопоставлял, ие вводя понятия об операторах, физические величины матрицам вида (14). Мы будем поэтому называть эти матрицы Гейзенбергов ы м и м а т р и ц а м и, а тот способ представления операторов, в котором вся зависимость от времени перенесена на самый оператор,— Гейзе ибер гоны м и р едет а вл ение м операторов.
Из формулы (13) следует, что состояния с определенной энергией суть стационарные состояния. В самом деле, функция (13) остается собственной функцией оператора энергии для ') Си. главу 14 книги Ь. 4!е В г о а!1 е, Е!п!йигппя !п г!!е иге!!еппгееиапйт (Ье!рк!и, !929). ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ всех 1, так что если в начальный момент энергия имела определенное значение, то она будет иметь то же значение и в последующее время. Это есть не что иное, как новое выражение закона сохранения энергии. В заключение этого параграфа сделаем одно замечание исторического характера. Волновая функция ф(х, у, е, г) была впервые введена в рассмотрение в 1925 году де Бройлем (бе Вгоц- 1(е), который ввел понятие о «волнах материи» и тем самым положил основание волновой механике.
Идеи де Бройля были затем развиты Шредингером, который в 1926 году нашел математическую формулировку задачи о стационарных состояниях атома, приведя ее к нахождению собственных значений н функций некоторого оператора (оператора энергии). В том же !925 году Шредингер показал также эквивалентность «волновой» механики «матричной> механике Гейзенберга. Правильное физическое толкование волновой функции выработалось, однако, лишь впоследствии.
$ 15. Полуклассическое приближение В предельном случае, когда постоянную Планка можно считать малой по сравнению с встречающимися в данной задаче величинами той же размерности, можно приближенно выразить, решение уравнения Шредингера через решение уравнения Га» мильтона — Якоби. Рассмотрим уравнение Шредингера дг дг)г — „, Лф + 0 (~, ГО ) ф = 15 д,, (1) где У есть заданная функция от координат и будет иметь его. решение в виде гр = гр'е А (2г где ф' есть формальный ряд по возрастающим степеням В.
Подстановка выражения (2) в уравнение (1) дает [ —,' (5габз)«+и+ дтпл =1гг( ! 5 г!Оа бф'+ ! 55г(г'+ д 1+ З Лгр'. (Зу Если мы пренебрежем здесь членом, пропорциональным Вз, н приравняем нулю член, не зависящий от Л, и член, пропорцио. нальный первой степени В, мы получим два уравнения — (цгаг! 5)г+ У+ — =О, 1 дд 2т дГ 1 1 В дг(г' — агаб 59гаг(ф" + — Лзф'+ дг =9. (5» 11ОЛУКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 75 Во втором из них мы заменили амплитуду 1Р' ее приближенным значением 1ра, соответствующим л -~ О. Уравнение (4) есть уравнение Гамильтона — Якоби классической механики.
Уравнение же (8) приводится к уравнению неразрывности классической гидродинамики. В самом деле, умножим его на 21ра и положим (,~а)з (8) дйы получим — дгаг( 5 ягад р + — р + — = 0 1 дд др и и д1 й (ч ( ~ 8га г) 5) + —, = О. (8) т. е. в виде уравнения неразрывности. Решение уравнения Гамильтона — Якоби принято называть функцией действия. Решение это можно получить, введя в рассмотрение функцию Лагранжа 2' = — тие — (7 2 (10) и вычислив интеграл 5 = ~ Ы' (1) а(1 (11) вдоль траектории частицы (интеграл действия).
Для вычисления интеграла действия можно выразить сперва функцию Лагранжа через время и постоянные интегрирования (их будет шесть, так как уравнения Лагранжа представляют три уравнения второго порядка). По выполнении интегрирования в (11) можно выразить результат через начальные и конечные значения координат (и через время). Интеграч действия будет тогда удовлетворять уравнению Гамильтона — Якоби. Полученное таким путем решение уравнения Гамильтона— Якоби не единственно.
Существуют и другие решения этого уравнения, зависящие не от начального значения координат, в от других постоянных интегрирования сь см с,. Кроме того, можно, очевидно, использовать вместо прямоугольных декартовых координат какие-либо другие координаты. В дальнейшем мы ограничимся случаем прямоугольных координат. В классической механике цгза(5 = р есть количество движения, 1 .а — дга11 5 = и есть скорость; следовательно, уравнение (8) и может быть написано в виде б(ч(рв)+ д =О, др ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ Пусть дЯ дЯ дЗ дЗ вЂ” -р — =р — -р — - — Н дк х' ду "' дг х' дс » (13) где р„, р„, р.— составляющие количества движения, а И— энергия (функция Гамильтона). Кроме того, производные от 8 по постоянным сн сг, сг будут равны новым постоянным, которые мы обозначим через Ьь Ьг, Ьг, так что мы будем иметь — — Ьъ — Ьз.
дЯ дЯ дЯ (14) дс» " дс, г» де» В частном случае, когда в качестве сь сг, сг взяты начальные значения х', ус, гс координат, постоянные Ьь Ьг, Ьг будут начальными значениями импульса, взятыми с обратным знаком. Решим теперь уравнение (8) или (9) в предположении, что решение (12) уравнения (4) известно.
Докажем, что в качестве р можно взять детерминант д»8 ду дс~- д»8 д'8 ддг где» д»8 ддг где» д'Я дг дсв д»8 ддх кде» д»8 (15) дк де» дЯ ду де» д»8 дк дс» ду дег (или, поскольку р положительно, его абсолютное значение). Дифференцируя уравнение (4) по содержащимся в функЦнн О ПОСТОЯННЫМ Сн Сг, Сг, ПОЛУЧИМ 1 дЯ дхЯ 1 дЯ д»8 1 дЯ д»8 »х дх дхде с» ду дуде с» дг дгде, д'8 д! д ° (16) где й=1,2,3. Пользуясь соотношениями 1 дЯ ! дЯ ! дЗ вЂ” — =и — — =о, — — о„ с» дх "' с» ду "' с» дг (17) мы можем переписать уравнения (16) в виде д»8 д»8 д»8 д»8 о„— + о — +о,— = —— " дкдег с дуде дгдег д1дс (Й=1,2,3). Эти три уравнения могут быть решены отьосительно «неизвестных» о„, о„, и„ причем определитель из коэф. фициентов при «неизвестных» как раз равен величине р [формула (15)). (18) О = 8 (х» У» г» !» с!» сг сг! (12) есть решение уравнения Гамильтона — Якоби.
Из классической механики известно, что полукллссическое пРивлижение Для упрощения дальнейших формул воспользуемся обозначением (14). Тогда уравнения (!8) напишутся 6 — +6 — +о дЬА дЬА дЬА дЬА дх " ду в дг д! (19) (эти соотношения показывают, что величины ЬА во время движения ие меняются, о чем мы уже говорили выше). Определитель р будет равен дЬ! дЬ! дЬ! дх ду дг дЬ| дЬв дЬв дх ду д» дЬв дЬв дЬв дх ду дг 0(ЬН Ьи Ьз) (20) 0(х, у, 2) а величины ро„ ро„ и ро, будут равны соответственно дЬ! дЬ! дЬ! д! ду дг дЬ| дЬ, дЬ! 0(Ьв, Ьь Ьв) (2() О((, у, 2) Д! ду дг дЬз дЬз дЬв д! ду дг дЬ! дЬ! дЬ! дх д1 дг дЬв дэв дЬз дх д! дг дЬв дЬв дЬ| дх дФ дг 0(Ьз, Ьь Ьз) (22) 0(х, й 2) дЬ! дЬ, дЬ дх ду д! дЬв дЬв дЬ| дх ду Д( дЬв дЬ| дЬ| дх ду д! 0(Ь„Ь„Ь,) 0(х, у, !) (23) Подставляя найденные значения величин р, ро„ро„, ро, в вы- ражение дх (Ров)+ ду (Рог)+ д, (Роз) + д, (24) можно убедиться, что все члены сокращаются, так что это выра.
жение тождественно равно нулю. Таким образом, уравнение неразрывности (9) выполняется, а следовательно, выполняется и уравнение (5) для функции вув, связанной с р соотношением (6). ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 78 Проиллюстрируем изложенную в этом параграфе теорию на случае свободного движения материальной точки.
Так как при свободном движении скорость постоянна, а потенциальная энергия равна нулю, мы будем иметь (' щ„г щхг 3=~ —,, й= — ~ 2 о (26) (мы положили ЕВ = О). В качестве постоянных интегрирования мы возьмем начальные значения х,, ур, хр координат х, у, х. Мы будем тогда иметь хр+ ох(г У УО+ оу~ а=хо+ ох( (26) и, следовательно, ~ — „((х — хр) +(у — ур) + ( — р) ).
(27) Определитель, составленный из вторых производных от О, Д'Я щ дг8 щ дг8 щ дхдхр Т ' дуду, 1 ' дхдх, (28) (вторые производные по разным координатам равны нулю) будет Величиной, обратно пропорциональной Р, так что мы можем положить СОВ51 г 0 ВОВ51 — ~7р =ф'= —. 15 (29) и, следовательно, приближенное значение функции ф будет "Р= ~ ехр( !(х — хо) +(У вЂ” У) + (х — ео) )) ° (80) Подстановка этого выражения в уравнение Шредингера показывает, что оно будет даже не приближенным, а точным решением.
(В этом можно убедиться и без вычислений, если воспользоваться формулой (3) и иметь в виду, что при гр' = Чгр, где грр имеет вид (29), будет Лг(г' = О.) $ !б, Связь канонического преобразования с касательным преобразованием классической механики Для систем, имеющих классический аналог, каноническое преобразование операторов представляет аналогию с касатель. ным преобразованием классической механики. Пусть Чь уг,, д, и рг, рм ..., р„— первоначальные координаты и импульсы (моменты) системы, а а,а,...,я.
и р1,рм....р. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ $16! — преобразованные координаты и импульсы. Рассмотрим случай, когда функция преобразования зависят от старых и новых координат 5=5(ЧИ, );, Ян, Я.). (1) Касательное преобразование определяется соотношением между дифференциалами Д Р, йг), — Х Р, г(О, = а3, (2) из которого следует дя дд л — Р Рг=- дд, до„' (3) (5у *) Совокупность переменных дь ..., о, мы будем часто обозначать одной буквой Ш аналогичный смысл будут иметь обозначения р, Я, Р. Выражения для величин д, Р через величины Я, Р и обратные выражения получаются решением уравнений (3). Это решение всегда существует, так как определитель (4) дог д9з предполагается отличным от нуля. В квантовой механике такому касательному преобразованного соответствует каноническое преобразование от представления, в котором «диагональными» являются величины д к представлению, в котором «диагональиыми» являются величины Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
