Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образом, квантовое Описание состояния электрона таково, что в нем только одна группа величин (например, р„, Р,, Р,) может иметь определенное значение, тогда как другая группа (в нашем примере х, у, г) остается неопределенной. Этот вывод теории находится в связи с отмеченным в начале этой книги обстоятельством, а именно, невозможностью одновременного точного измерения всех величин, которые в классической теории характеризовали состояние электрона. Возникает вопрос, какие величины могут быть измерены одновременно и какие — нет. Чтобы ответить на этот вопрос, будем рассуждать следующим образом. Результат измерения причем в том случае, когда ф принадлежит к сплошному спектру, нужно брать вместо самой функции собственный дифференциал. Таким образом, задание собственной функции позволяет найти собственное значение соответствующей величины.
В этом смысле мы можем сказать, что функция описывает состояние системы. Правая часть формулы (1) сохраняет смысл и в том случае, когда ф не есть собственная функция оператора Т.. Физический смысл выражения (1) для этого случая мы выясним в следующей главе. Функцию кр, описывающую состояние системы, мы будем называть волновой функцией.
Для выяснения важного понятия об описании состояния системы посредством волновой функции мы рассмотрим следующий пример. Мы видели, что функция ,1( ) ек к к к — (кр +рр +кр ) (2яр) ь основкиия квднтовои мехдники 50 р1 должен дать нам знание состояния системы, т. е, некоторую волновую функцию ф. Если в результате измерения для двух величин Л и М получились определенные значения Л и р, то, согласно сказанному, волновая функция зр должна быть одновременно собственной функцией как оператора с. (для собственного значения Л), так и оператора М (для собственного значения и). Но для того чтобы два оператора Л н М обладали общими собственными функциями, необходимо, чтобы они удовлетворяли некоторым определенным условиям, которые мы сейчас установим. 5 6.
Коммутативность операторов Пусть ф = ф(х; Л, р) есть общая собственная функция *) операторов Л н М, так что Лф=Лф, 1 Мтр= астр ! Применим к первому равенству оператор М, а ко второму оператор х.. Мы получим Мйф=Л. Мф=Лрф, т'.Мзр = р ° Аф рЛф и, следовательно, Мйф(х; Л, р) =ЛМФ(х; Л, р). (2) Положим теперь, что общие собственные функции образуют замкнутую систему.
Тогда произвольную функцию зр(х) можно разложить в ряд (или интеграл) вида ф(х)= 2 с(Л, р)ф(х; Л, ть). (3) ьи Так как равенство (2) справедливо для каждого члена разложения, то (при условии сходимости ряда для Мхлр) оно справедливо и для суммы, так что для любой функции ф МЛф= ЛМф (4) нли (4') МГ. — ЕМ=О, т. е. операторы ь и М коммутативны. Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Если общие собственносе функции двух операторов Ь и М образуют замкнутую систему, то операторы коммутативны. *) Букин х обозначает здесь независимую переменную илв совокупность нескольких неззвнсимык переменных, КОММУТАТИВНОСТЬ ОПЕРАТОРОВ $6] ф=~ с(й) ф(х; Л, й). Применим к уравнению Еф(х; Л, й) =Лф(х] Л, й) оператор М. Пользуясь переместительностью Муз = Е(Мф) = Л ° Мф (6) (6") Е и М, имеем (7) Функция ф'=Мф является, таким образом, собственной функцией оператора Ь, принадлежащей собственному значению Л. Следовательно, она будет линейно выражаться через ф(х; Л, й'), так что Мф(х] Л, й)= ~ М(й', к)ф(х] Л, й'), (8) где коэффициент М(й', й) должен, очевидно, зависеть кроме к' также и от й.
Можно составить теперь такую линейную комбинацию функций ф(х] Л, й) вида (6), которая бы одновременно удовлетворяла уравнению М]р= рф (9) Подставим в (9) выражение (6) и воспользуемся равенством (8). Приравнивая коэффициенты при ф(х] Л, й), получим Х М(й, й') с(й') = рс(й). (10) Число в этих уравнений равно числу возможных значений й при данном Л, т, е. равно кратности собственного значения Л. Если обозначить их решения через сп](й), см](й), ..., с"](й) (11) и соответствующие им значения ]А через ]А] ]Аз ° ° ° ~ ]Аз то функции ф*(х, Л, ]с,) = ~ ссо (й) ф (х; Л, й) (12) (13) Докажем теперь своего рода обратную теорему. Если два оператора Е и М коммутативны, то они имеют оба]ие собственные функции.
Пусть собственному значению Л оператора Е соответствует одна или несколько собственных функций ф(х; Л, й), где значок Й служит для того, чтобы отличать разные функции, принадлежащие одному и тому же Л. Тогда самое общее решение уравнения Еф=Лф (5) будет ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОП МЕХАНИКИ 52 (ч. ! будут одновременно решениями каи уравнения (5), так и уравнения (9), т.е.
они будут общими собственными функциями операторов Т. и М. Таким образом, теорема доказана. При доказательстве мы предполагали, что собственное значение !, — Конечной кратности, так что ему соответствует конечное число собственных функций, но теорема остается справедливой и в случае бесконечной кратности собственного значения.
Физический смысл доказанных теорем заключается в том, что коммутативность операторов служит выражением возможности одновременного измерения соответствующих величин и, обратно, некоммутативность их показывает невозможность точного одновременного их измерения. Пример коммутативных операторов с общими собственными фунициями был нами рассмотрен в 9 4 этой главы. $ 7. Момент количества движения В качестве примера некоммутативных операторов рассмотрим три оператора тк = ург грею т„= гр„— хр„ т хр ур [т„, х[= — „(т„х — хт,)=О, так каи оператор т„не содержит дифференцирования по х и, следовательно, коммутативен с умножением на х.
Далее [т., у) = — [р„, у) =-г, [т„г[ = у [р„г) =- у. (2*) Здесь мы воспользовались свойствами скобок Пуассона, из- вестными нам из $ 2. Аналогично получаем [т„р,] = О, [т ре) = — р:, р.[= ре. (3) составленных из операторов для координат и моментов по той же схеме, как момент количества движения в классической механике. Мы увидим ниже, при рассмотрении квантовых уравнений движения электрона, что выражения (!) можно в самом деле толковать каи операторы для момента количества движения. Составим скобки Пуассона этих операторов с операторами для координат и моментов.
Имеем аз мОмент кОличестВА дВижения з и При помощи формул (2) и (3) получаем скобки Пуассона для двух различных составляющих момента количества движения [т„и„] = [и„, гр„— хр,] = [т„г] р„— х [т„р,] = = ур„— хрз — — — и,. Таким образом, [лз„, т,]= — т„, [и„т„] = — т„, [т„, лз„]= — и,. (4) Полученные нами соотношения в точности совпадают с классическими.
Найдем собственные значения и функции операторов тх, и„, лз,. Уравнение для собственных функций т, напишется —, ( х — — у — ) = т'ф, Ь Г дз7 д47~ ! ~ дд дх ) (5) х=рсоз~р, у=рз(п<р, то уравнение (5) примет вид 77 д 7[7 —.— = т,зр. де (5') Его решение будет, очевидно, ! ф фа( )аз ~х~ (6) Чтобы эта функция была однозначной функцией точки в пространстве, необходимо, чтобы она была периодической функцией от у с периодом 2н.
Отсюда их=тая (из=О, ~!, ~ 2, ...), (7) где из — целое положительное или отрицательное число или нуль. Таким образом, мы нашли собственные значения и функции для т,. Аналогично получаются они и для двух других операторов. Чтобы сравнить их между собой, удобно вернуться к прямоугольным координатам. Функция (6) (которую мы обозначим через фз) и собственные функции ф7 и фз для т„и т„ напишутся ф1 = ~, (х, т/у~+ гз) (у + зг) ', 7[72 72 Ау 27/г + х ) (г+ зх) 7 2[72 = Рз (г, ~/ха+ уз) (х + зу)"*, ! (8) где мы обозначили через т,' собственное значение т,. Если мы введем цилиндрические координаты р, ~, г: ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ причем собственные значения суть пт,' = тп,й, лт„' = лтзй, т,' = лтзл, ГДЕ тн ПТ» Н ПТ — ЦЕЛЫЕ ЧИСЛа. Мы получили результат, который на первый взгляд может показаться парадоксальным: составляющая момента количества движения по любому направлению может, будучи измерена, принимать лишь значения, целые, кратные определенного числа Ь.
Особенно странным кажется этот факт в виду того, что проекции вектора на бесконечно близкие направления бесконечно мало отличаются друг от друга. Порадокс этот, однако, легко разъясняется. Прежде всего заметим, что единственная общая собственная функция операторов т„, и , т, соответствует одновременным значениям ш! = пт2 = ~~'3 = 0 (10) и равна ф= р =фз=ф =1(г) (г=~Ух'+рт+з') (1!) Но в этом случае вектор моменТа количества движения, а значит, и проекция его на любое направление равны нулю, так что тут никакого парадокса нет.
Если же хотя бы одно из собственных значений ть тм тз отлично от нуля, то общих собственных фУнкций У опеРатоРов т„, тю пт, нет. Следовательно, не существует такого состояния электрона, в котором две или три составляющие имели бы одновременно определенные значения, так что мы можем говорить только о целочисленностн одной из ннх. Физически это означает следующее. Чтобы измерять составляющую момента количества движения электрона по какому-нибудь направлению, нужно определенным образом воздействовать на электрон, например, включить магнитное поле, имеющее это направление. Это воздействие «настраивает» электрон так, что составляющая вдоль поля принимает целочисленное значение. Остальные же составляющие остаются при этом неопределенными, ибо нет возможности их измерить, не меняя направления поля, т.е.
не портя прежней «настройки» электрона. Таким образом, вытекающие из теории свойства момента количества движения являются выражением неизбежности влияния измерения на объект. й 8. Оператор энергии В классической теории для обширного класса механических систем закон изменения состояния во времени (уравнення движения) может быть задан при помощи Гамильтоновой функции, представляющей энергию системы. Подобно этому, в волновой механике задание оператора Гамильтона (оператора энергии) ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ определяет, как мы увидим ниже ($ 10), закон изменения состояния во времени. Поэтому выбор оператора энергии является существенным шагом в построении теории. Когда этот шаг сделан, то выбор операторов для других физических величин (например, момента количества движения) уже не связан с особым произволом. Подобно тому как в классической механике из простейших величин (координат и моментов) строятся различные комбинации, которые обладают «удобнымн» свойствами (например, остаются во время движения постояннымп), так и в квантовой механике из простейших операторов составляются такие комбинации, которые обладают простыми свойствами и допускают наглядное толкование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
