Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Вместо уравнения (4) рассмотрим интеграл от него, взятый (формально) по Л ОРТОГОнАльность и нОРмиРОВкА Если независимая переменная х прерывна и принимает ряд значений х,, х„ ..., х„, ..., имеет решение в обычном смысле. В самом деле, положим 1 (х„, Л) = 1, если Л = х„, 1(х„, Л) =О, если Л~х„. (1О) Уравнение (9), очевидно, удовлетворится. Собственными значениями будут здесь, очевидно, Л„=- х„, (!1) а собственными функциями будут 1'(х„, Л ) = б„ .
(1О') 9 7. Ортогоиальность и нормировка собственных функций Рассмотрим оператор, обладающий точечным спектром, и выпишем уравнения для собственных функций 1„и 1, соответствующих двум различным собственным зачениям Л„и Л Ц =Л 1~, Ц„=Л„Г„. По определению самосопряженности оператора имеем ~ [1'„Ц вЂ” (Ц,)) ) йт= О. (2) Пользуясь уравнениями (1), получаем отсюда (Л. — Л„) 1и.йт=о. Так как по предположению Л чьЛ„, то отсюда следуют бт=О (и чь т). (4) Это свойство называют о р т о г о н а л ь н о с т ь ю.
Таким образом, собственные функции, относящиеся к различным собственным значениям оператора, обладают свойством ортогональности. Так как собственные функции оператора удовлетворяют одн о р од н о м у уравнению, то, будучи умноженными на произ- то уравнение (4), которое мы напишем в виде совокупности уравнений х„1(х„, Л)=Л1(х„, Л) (п=1, 2, ...), (9) ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 32 !ч.
1 вольный множитель, они будут также ему удовлетворять. Этот множитель можно выбрать так, чтобы выполнялось равенство (5) Такой выбор множителя называется н о р м и р о в к о й, а самые функции, удовлетворяющие условию (5), называются н о р м ир о в а н и ы м и. Нормировочный множитель остается не вполне определенным, так как если заменить )„на ),=е! 1„, где а„ вещественно, то ).„заменится на 1„=е '" 1„Н условие (5) будет по-прежнему выполняться. Свойства ортогоиальности и нормировки можно записать в виде одной формулы (б) Собственному значению оператора может соответствовать либо одна, либо несколько собственных функций, а именно, столько, сколько линейно-независимых решений имеет для данного 1.
= ).„уравнение Число решений (обозначим его через з) может зависеть от и. Пусть эти решения будут 1и! )а» ' 1ы (7) Тогда, очевидно, любая линейная комбинация их )„ = а!)„! + а»)„, + ... + а,)„, (8) будет тоже решением этого уравнения. Функции (7) могут и не быть ортогональными друг к другу, но мы их всегда можем заменить такими линейными комбинациями вида (8), которые были бы ортогональны, а также и нормированы. Предположим, что это уже сделано: тогда 1,! и 1,» будут для а = и удовлетворять условию Г.
1 !1„» !(т = Ьм (1, й = 1, 2, ..., з). Иногда удобно обозначать всю совокупность функций (7) одним символом 1„. Тогда условие (9) можно по-прежнему записывать в виде (5), причем под обеими частями равенства нужно разуметь матрицы с элементами (9). Условие (9) не вполне определяет выбор функций )„!.
В самом деле, если мы положим !А»» = Е а»!1»! (10) ! ! ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА где аА~ удовлетворяют уравнениям 5 ~ а„ан = бан (11) то условия (9) будут по-прежнему выполняться. Матрица А с элементами аю, удовлетворяющими условиям (1!), называется, как мы знаем, у п и т а р н о й. Тем же именем называется подстановка, произведенная посредством унитарной матрицы.
Пользуясь этим термином, мы можем сказать, что в случае кратного собственного значения собственные функции определены с точностью до унитарной подстановки. Рассмотрим теперь оператор, обладающий сплошным спектром. Напишем уравнение для собственных функций Ц(х, А) =Ц(х, Л) (12) и возьмем интеграл от обеих частей по Л сперва по участку от Л~ до Л~+ б1Л, а затем по участку от Л, до Ль+ ЛВЛ. Полагая, как это мы делали при рассмотрении интеграла Стильтьеса, Р (х, Л) = 1 1(х, Л) (Л, (13) получим А,+Ь,А Е(Л,Р(х, Л))= 1 Лс(~Р(х, Л) (14) А, Е[Л,Р" (х, Л)1= 1 Лг( г" (х, Л), (14") л, где мы положили для краткости б,Р (х, Л) = Р (х, Ль + ЬАЛ) — г"(х, ЛА) (й = 1, 2).
(1б) Величины бьг" называются с о б с т в е н н ы м и д и ф ф е р е нц и а л а м и. Рассматриваемые как функции от х собственные дифференциалы будут обладать интегрируемым квадратом, тогда как самые функции 1(х, Л) им не обладают. Умножим уравнение (!4) на Л~~', а уравнение, сопряженное с (14*), на Л~Р, вычтем их друг из друга и проинтегрируем. Слева мы получим нуль, а справа А2+ Ь|А А~+ Ь|Х ~ ат ~ ~ (Л вЂ” р) („,Р(х, р) а,Г (х, Л) = б. (1б) А~ А, ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОН МЕХАНИКИ !ч.
т 7= ~ ЛР Луг( . Выберем произвольно два числа Х1 и ),я так, чтобы участок лежал внутри промежутка Л~ и Хм т. е. Л, (Х(К+ЛЛ СЛ,. В силу ортогональности собственных дифференциалов, относящихся к различным промежуткам, величина интеграла 7 не изменится, если мы прибавим к нему выражение )л~ ((~ь, цг11а.-Р(ььг( 1 п*гцл) а . 'А, 'Л+ АА Следовательно, интеграл равен 7= ЯДР(Р(х, 7,) — Р(х, 7„))д . Отсюда видно, что интеграл У будет первого порядка малости относительно ЛА, а не второго, как это можно было думать. Его можно нормировать так, чтобы было — ДР!'д = (20) Алло а~ 4 В атом и состоит обычное условие нормировки для сплошного спектра.
Оно выполняется, например, функцией г(х, А), рассмотренной в $6. (19) й 8. Разложение по собственным функциям. Замкнутость системы функций Рассмотрим собственные функции )„(х) =7(х, Л„) (1) оператора с точечным спектром: мы предположим их нормированными. Пусть )(х) есть произвольная функция с иитегрируе- Это уравнение справедливо для каких угодно значений Хь Хь Л~Х и ЛЯЛ. Предположим теперь, что промежутки ЛД и Лг). разделены конечным интервалом, и будем считать их бесконечно малыми. С точностью до бесконечно малых мы можем заменить тогда разность ).
— р на )и — )Рь Так как зта величина отлична от нуля, мы можем на нее сократить и получим 1 ДВУУД,рбт=о. (17) Таким образом, собственные дифференциалы, соответствующие различным промежуткам, обладают свойством ортогональности. Предположим теперь, что участки Л~ и Лг совпадают, и рассмотрим интеграл нхзложвнив по совстввнным фгнкциям мым квадратом. Постараемся разложить ее в ряд по функциям („(х). Для этого положим л ~ (х) = ~„аА (х) + Р„(х).
(2) Сумма представляет собой первые и членов разложения, а Р„(х) — остаток. Коэффициенты ах будем выбирать так, чтобы получить возможно меньшую погрешность, причем за меру погрешности примем интеграл р„= ~ ~ Р,(х) ~'г(х, который равен р„= ~ ~ (х) — ~~ них(х) ох.
(4) Этот интеграл представляет квадратичную функцию относи- тельно неизвестных аы Мы будем искать минимум этой функции, для чего приравняем нулю производные от нее по ад. Мы имеем„ в силу ортогональности собственных функций, р„= ~! 7(х) ~'с(х — ~~ аь с~1 (х) ~х(х) дх— ы=в л П вЂ” аь ~ 7 (хЦ,(х) йх+ ~ а,а,, (5) Легко убедиться, что мы можем дифференцировать по ах и аы как если бы это были независимые переменные.
Приравнивая нулю производную по аы получим следующее выражение для коэффициента разложения аь. аь — — ~ ) ь (х) ) (х) ах. р„= ~ ~ ~ (х) Рг(х — ~~ ~ аь г. э=о (7) Так как величина р„по определению не может быть отрицатель- ной, то для всякого и мы имеем неравенство л ~ ах 1з ~ ~~! ~ (х) г'дх. «=о (8) С этим значением ах выражение для среднего квадрата погреш- ности р„напишется ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МСХАНИКН Если для всякой функции 1" (х) с интегрируемым квадратом в пределе имеет место равенство 1нп р„=О (9) или, что то же, ~ аь ~'= ~ 11(х) ~'с(х, А-О (10) то система функций 1А (х) называется з а м к н у т о й, Название это происходит от того, что тогда нельзя найти такой функции 1(х), которая была бы ортогональной ко всем функциям 1А(х). В самом деле, для такой функции все аю а следовательно и интеграл ~~1(х) ~'йх, были бы равны нулю, а зто возможно только, если сама функция 1(х) равна нулю (за исключением разве отдельных точек).
Равенство (9) означает, что в пределе остаточный член )т„(х) обращается в нуль (кроме, может быть, отдельных точек), так что имеет место разложение в ряд 1(х) = ~ а„г„ (х). (1!) Если другая функция д(х) разлагается в ряд д(х) = 2„Ь„1„(х), А=а (12) то имеет место равенство ~ ( (х) д(х) с(х = ~~ а„б„, (13) А=О 1(х)= ~ а„)„(х) (1 1) каждый член а„г„(х) нужно заменить суммой членов а.11. (х)+о.1ь (х)+ "° +и,!.,(х), (14') представляющее собой обобщение формулы замкнутости.
В математике доказывается для операторов весьма общего вида, что совокупность собственных функций представляет замкнутую систему. Если собственные значения оператора кратные, то в разло- жении эхзложенне по совстввнным етнкциям где а ~ = ~ 1з»м (х)1(х) с(х. (15) В случае сплошного спектра деленные на т/Ы собственные дифференциалы ЛР(х, Л) (16) где а(л)= аР(х, Л)1(х)дх т/лЛ ~ или, после перехода к пределу аЛ -«О, 1(х)= 1с(Л) (,г(х, л), (18) (19) где с (Л) = Игп — 1 ЛР (х, Л) 1(х) Нх.
ьь-«О ал '/ В некоторых случаях эти формулы можно заменить более простыми 1(х) = 1 с (л)1(х, Л) (Л, ~~ (21) с(Л)= ~1(х, Л)1(х)Нх, Эти формулы представляют разложение в интеграл, аналогичный интегралу Фурье (Роцг!ег), который представляет их частный случай. Для сплошного спектра формула замкнутости напишется $ ~1(х) Рг(х= $ ! с(л) р~(л, (22) или если Ь(л) есть «коэффициент разложения» другой функции д(х) (аналогичный с(л) для 1(х)), то $1(х)й(х)сХх=$с(Л)Ь(Л)г(Л. (23) Если оператор имеет, кроме точечного, сплошной спектр, то в разложение по его собственным функциям, а также в формулу замкнутости будет входить кроме суммы еще и интеграл, обладают всеми свойствами ортогональной и нормированной системы функций. Поэтому мы можем написать разложение в виде 1(х)=~ а(Л) —,'„ЛР(х, Л), т/ал (17) Г л а в а 1[1 ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ $ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
