Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Толкование собственных значений оператора В начале предыдущей главы мы указывали, что в квантовой механике операторы сопоставляются физическим величинам. Выясним здесь, в чем состоит это сопоставление. Мы видели, что каждый оператор обладает определенными собственными значениями и собственными функциями, и нам предстоит теперь выяснить физический смысл этих математических понятий. Мы начнем с толкования собственных-значений как понятия более простого, и примем следующую гипотезу. Собственные значения оператора, сопоставляемого данной механической величине, суть те значения, которые может принять зта величина в условиях, создаваемых ее измерением. Необходимо подчеркнуть, что оговорка, касающаяся условий, при которых величина принимает данные значения, является существенной. При измерении другой величины, относящейся не к той же самой группе (см.
гл. Ц, что и данная, создаются новые условия, в которых данная величина может не иметь определенного значения. Но измеряя данную величину, мы создаем такие условия опыта, что в результате измерения должно обязательно получиться одно из собственных значений ее оператора. Указанное толкование мы можем формулировать короче следующим образом: собственные значения оператора суть собственные значения соответствующей физической величины. Отсюда вытекает следующее ограничение, которое должно быть наложено на вид оператора для вещественной физической величины.
Так как все наблюдаемые значения такой величины вещественны, то ее оператор должен иметь только вещественные собственные значения, следовательно, он должен быть самосопряженным. Вещественная физическая величина описывается самосопряженным линейным оператором. СКОБКИ ПУАССОНА 39 $21 Мы знаем, что оператор может иметь как точечный, так и сплошной спектр; поэтому посредством операторов могут описываться величины, принимающие как отдельные значения, так и значения в некотором сплошном промежутке. По этому поводу заметим, что старая квантовая механика могла формулировать «квантовые условия» лишь для величин, меняющихся скачками, и совершенно не охватывала случая непрерывно меняющихся величин. й 2.
Скобки Пуассона дд„дН др дН вЂ” — — — — (й = 1, 2, . „ и). (1) д2 дРА ' И ддь Пусть Р есть некоторая функция от координат, моментов и времени Р=РИ ° ° ° 21 Р ° ° ° Р ' 2) (2) Составим полную производную от нее по времени дд дР дл дЧА дР д22„) д1 д2 + Х , дд д2 + др д2 ! А А Если мы подставим сюда вместо — и — их выражения из МЧА дРА д2 д2 уравнений Гамильтона, мы получим — = — + [Н, г"1, дд дР Возникает теперь вопрос: как найти оператор для данной физической величины? Здесь могут служить две руководящие идеи, Во-первых, спектр собственных значений оператора должен совпадать с совокупностью наблюдаемых значений физической величины.
Во-вторых, соотношения между операторами должны правильно передавать соотношения между физическими величинами. Существенную роль в сопоставлении операторов физическим величинам играет аналогия с классической механикой. Однако этой аналогией нужно пользоваться с осторожностью, так как она может оказаться не полной. В классической механике механическая система может быть описана при помощи так называемых канонических переменных, т. е. обобщенных координат дь 92, ..., у„и обобщенных моментов рь р2, ..., р„. Определение понятия «канонической сопряженности» координат и моментов может быть сделано при помощи так называемых скобок Пуассона. Напомним определение скобок Пуассона.
Классические уравнения Гамильтона (Напп!- 1оп) имеют вид ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 40 $ч. ! где символом [О, Р] обозначено выражение л А=! (5) которое и называется скобками Пуассона для величин Н и Р. Аналогично определяются скобки Пуассона для любой пары ве- личин Р и 0: А-! (6) Основное свойство скобок Пуассона состоит в инвариантности их относительно любого преобразования переменных рА и !1А, оставляющего неизменным вид Гамильтоновых уравнений (так называемого касательного преобразования).
Кроме того, скобки Пуассона обладают следующими свойствами, которые легко вы- водятся из их определения: [Р, 0] = — [О, Р], [Р, с]=0, (7) (8) Наконец, имеет место тождество [Р, [0 Ц]+[О, [~ Р]]+[~ [Р,0]]=О (11) Для обобщенных координат и моментов скобки Пуассона равны [!1А, д!] =О, [РА Р!] =О [РА д!] =ЬА! (!2) Эти последние равенства и могут служить определением канонической сопряженности координат и моментов в классической механике. Как мы уже отметили, соотношения, формулированные при помощи скобок Пуассона (например, выражение для полной производной по времени), не зависят от выбора обобщенных координат и моментов.
В виду этого можно ожидать, что, поскольку имеется аналогия между классической и квантовой механикой, то и в этой последней должно существовать понятие, аналогичное классическим скобкам Пуассона. Вид этих квантовых скобок Пуассона был найден Дираком (1)(гас) на основании начала соответствия Бора, причем исходной точкой служила классическая формула (6). Мы приведем где с есть постоянная, не зависящая от РА и от дА. Далее [Р! + Рз О] [Р! О] + [Рм О] (9) [Р!Рм 0] = Р! [Рм 0] + [Р!1 0] Рм (10) СКОБКИ ПУАССОНА здесь другой вывод, также принадлежащий Дираку и основанный на предположении, что квантовые скобки Пуассона для любых некоммутативных операторов должны обладать всеми свойствами (7) — (! 1).
Выпишем формулу (10) и аналогичную формулу, получаемую из нее путем замены букв Р! и Р, на 6! и 6м и 6 на Р и использования свойства (7). [Р!Р2 61 Р! [Р23 6] + [Р! 61 Рзг (10) [Р, 6,6,] = 6, [Р, 6,] + [Р, 6,] 6,. (1О') Мы будем считать здесь Р и 6 некоммутативными операторами, так что порядок множителей в (10) не будет безразличен. Мы предположим, что порядок множителей выбран именно так, как написано в формуле (10), Это можно мотивировать следующим образом.
Если 6 = О, то формула (10) соответствует, по крайней мере в классической механике, правилу дифференцирования произведения Р!Р2 по времени. Имея же дело с некоммутативными операторами, необходимо при дифференцировании сохранять порядок множителей, как это и принято в формуле (10), где Р! всегда стоит слева от Р2.
Положим в (10) 6 = 6!62. Применяя (1О'), можем формулу (1О) написать в виде [Р!Р2 6!62] = Р26! [Р2 62] + Р! [Р2 6!] 62+ +6, [Р,, 62]Р,+ [Р„6!]62Р,, (13) С другой стороны, положим в (10*) Р = Р!Р2 и применим (10). Мы будем иметь [РУР2 6!62] 6!Р! [Р2 62] + 6! [Р!г 62] Р2+ + Р! [Р„а!]62+ [Р„а!] Р262. (~З') Мы получили для одного и того же оператора [Р!Р2, 6!62] два различных выражения, которые должны равняться друг другу тождественно, т.е. при любом виде операторов Р и 6. Приравнивая их, получаем (Р!61 6!Р!) [Р2 62] [Р! 6!] (Р262 62Р2).
(14) Это выражение будет тождеством только в том случае, если для любых двух операторов [Р, 6] =с(Р6 — 6Р), (15) где с есть оператор, коммутирующий с любым другим оператором. Но этим свойством обладает лишь оператор умножения на постоянную. Следовательно, с есть постоянная. Легко видеть, что эта постоянная должна быть чисто мнимой. В самом деле, ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ !Ч. 2 42 мы должны потребовать, чтобы скобки Пуассона от двух вещественных величин были вещественны. Следовательно, если Р и О самосопряженны, то и «Р, 0«должно быть самосапряженным.
Но мы имеем «см. формулу (8) 2 4 гл. 1Ц «Р, О)+ = с (О+Р+ — Р+О+) = — с (РΠ— ОР). (15') Чтобы (!5*) совпадало с (15), необходимо, чтобы с = — с, откуда с= — „,, (16) где Ь вещественно. Таким образом, «Р, 0)= — „,(РΠ— ОР). (17) Покажем, что это выражение удовлетворяет всем условиям (7) — (1!).
Справедливость равенств (?), (8), (9) очевидна. Далее, имеем а (РФ20 ОР!Р2) Ь Р!(Р20 ОР2) + а (РФ ОР!) Р2 ! т. е. равенство (10). Наконец, для доказательства (11) достаточно в очевидном тождестве РО( + ОЬР+ ЬРО+ ?.ОР+ РЬО+ ОРЬ— — РОЬ вЂ” ОЬР— ЬРΠ— ЬОР— Р!.6 — ОРЬ = 0 где Ь есть постоянная Планка. Мы будем с самого начала разуметь под Ь' эту величину. Знание квантовых скобок Пуассона позволяет использовать имеющуюся аналогию между классической и квантовой механикой для установления вида квантовых операторов. О том, в какой мере эта аналогия действительно имеет места, можно будет судить, сравнивая теорию с опытом. сгруппировать надлежащим образом члены.
Таким образом,. можно считать доказанным, что квантовые скобки Пуассона имеют вид (17). Остается определить вещественную постоян- ° ную Ь', Чтобы скобки Пуассона имели правильную размерность, необходимо, чтобы Ь' имело размерность действия. Чтобы найти численное значение Ь', можно было бы оставляя ега неопреде- ленным, настропать нужные операторы и затем получить Ь' из сравнения теории с опытом, например, из сравнения собственных значений оператора энергии с экспериментально наблюденными уровнями энергии. При этом получилось бы Ь'=Ь= —, Ь=6,624 ° 10 ' эре сек, 2я ' (18) опвгхтогы для коогдинхт и моментов $3.
Операторы для координат и моментов Вид оператора для данной физической величины зависит от выбора независимых переменных в функциях, к которым он применяется. При этом оператор для независимой переменной есть всегда умножение на эту переменную. Это вытекает из требования, чтобы собственные значения любой физической величины совпадали с собственными значениями ее оператора (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
