Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 11
Текст из файла (страница 11)
То же остается справедливым, если взять вместо х любой оператор М. Таким образом, собственньсе функции оператора М в переменных Ь суть величины комплексные сопрязкенньсе к собственным функциям оператора 1. в переменньсх М. Этот результат остается верным и тогда, когда операторы не имеют ядра. 5 1О. Пример канонического преобразования В качестве примера канонического преобразования рассмотрим преобразование операторов для координаты х и количества движения р. Мы знаем, что собственные функции оператора р в переменных х д р = — 16— дх суть ф(х, р)==е" ЗсСхяд (2) Посмотрим, какой вид имеет оператор х в переменных р.
По определению этот оператор переводит функцию )(р), представляющую коэффициент разложения ф(х) в интеграл Фурье + ') ф(х)== ~ г(р)с" а'р, ЗсС2псс в такую функцию с'(р), чтобы выполнялось соотношение хф(х)= ~ )'(р)е" с1р. Ъс2нсс (4) Но мы имеем, интегрируя по частям, хф (х) = = — ~ 1 (р) с(е " = =- ~ с'б — е " РС2яа =— Следовательно, Г(р) =1б— др выражающее самосопряженность оператора х, и заменить с(Л) на Чс(х, Л), то уравнение, комплексное сопряженное с (16), напишется (ЛА!х 1Л) ср(х, ЛА)+ ~ (Л'1х)Л)ср(х, Л')асЛ'=хцс(х, Л), (19) ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1Ч, 1 б2 так что оператор х в переменных р есть д х=(й —. др Это согласуется с видом скобок Пуассона (р, х) = — „(рх — хр)=1, так как мы имеем (б) — Р— + — =1' д1 др1 др др (8) Собственные функции оператора х в переменных р будут ф~(р х)= ' е А "' Ч(2ВВ (9) Здесь аргументом является р, а параметром х, тогда как в (2) р было параметром, а х аргументом.
Функция ( ф(х) ==е" З((2иа (10) от переменной х описывала такое состояние электрона, в котором количество движения имело определенное значение р. Состояние же с определенной координатой х' описывалось в пе ременных х собственным дифференциалом (1Р(х, х'), (11) где г" (х, х') = 1, х ) х', Р (х, х') =- О, х » (х'. (12) С другой стороны, в переменных р состояние с определенной координатой х описывается функцией ( ((р) „и .~12В» (13) а состояние с определенным количеством движения р' — собственным дифференциалом (1Р(р, р'), (!4) где Г(р, р') — такая же функция от р и р', как Р(х, х') от х и х', Нетрудно видеть, что переход от одного представления к другому происходит, как и в общем случае, при помощи интеграла Фурье, ибо мы имеем для состояния с определенной координатой х = х' 1(Р)=ф~(р, х)= ~ф+(р, х)((,Г(х, х') (15) $ щ КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАК ОПЕРАТОР 63 н для состояния с определенным количеством движения р = р' ф(х)=ф(х, р') = ~ ф(х, р)дрР(р, р').
(16) так что 5(х, Л) 5+ (Л, х) = 1, 5+ (Л, х) 5 (х, Л) = 1. (7) (7Р) 9 11. Каноническое преобразование как оператор Каноническое преобразование удобно писать в символическом виде. Обозначим символом 5(х, Л) оператор, который переводит функцию с(Л), описывающую состояние в переменных Л, в функцию тр(х), описывающую то же состояние в переменных х; тогда разложение (1) $9 можно символически написать в виде ф(х) =5(х, Л)с(Л).
(1) Этот оператор отличается от рассмотренных нами раньше тем, что он переводит функцию от данной независимой переменной в функцию от другой независимой переменной х, причем Обе функции описывают одно и то же состояние, только в разных переменных. Выражение с(Л) через ф(х), т. е, формулу (2) 9 9, можно написать в виде с(Л)=5 (Л, х)ф(х). (2) Покажем, что этот обратный оператор 5 — '(Л, х) совпадает с со. пряженным 5+(Л, х). Рассмотрим наряду с функциями ф(х) и с(Л) другие две функции ф'(х) и с'(Л), связанные между собой теми же соотношениями (1) и (2). Обобщая прежнее определение сопряженного оператора на случай разных независимых переменных, определим 5 (Л, х) как оператор, удовлетворяющий условию ~ф'(х)[5(х, Л)с(Л))г(х= ~(5~(Л, х)ф'(х)1с(Л)г(Л, (3) причем, в случае точечного спектра, интеграл нужно заменить на сумму.
Левая часть здесь равна ~ ф'(х) ф (х) дх = ~ с'(Л) с (Л) Ю (4) по теореме замкнутости. Чтобы правые части в (3) и (4) были равны при любом с(Л), необходимо, чтобы с'(Л) =5+(Л, х)ф'(х) для всякого ф'(х). Сравнивая это с (2), получаем 5 '(Л, х) =5+(Л, х), (6) ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Как мы знаем, оператор, удовлетворяющий этим условиям, называется унитарным. Таким образом, переход от одних независимых переменных к другим производится посредством унитарного оператора.
Посмотрим, как выразится при помощи 5 каноническое преобразование оператора для некоторой величины М. Если оператор в переменных х переводит !р(х) в !р'(х) ч!' (х) = М (х) !р (х), (8) Но мы имеем с'(Л) = 5+ (Л, х) ф'(х) = 5' (Л, -) М ( ) и ( ) (10) !Р(х) =5(х, Л)с(Л).
(1 1) Подставляя (11) и (10), получим с (Л) =5+(Л, х)М(х)5(х, Л) с(Л). (12) Сравнивая это с (9), будем иметь М(Л) =5+(Л, х) М(х) 5(х, Л). (13) Таким образом, преобразованию (11) функции !р(х) соответствует преобразование (!3) оператора М(х). Очевидно, что два последовательных унитарных преобразования могут быть заменены одним. В самом деле, вместо того, чтобы сперва переходить от переменных Л к переменным х посредством унитарного преобразования 5(х, Л), а затем от х к 1А посредством Т(1А, х), мы можем сразу перейти от Л к 1А при помощи преобразования У(р, Л) = Т(1А, х) 5(х, Л), (14) которое, очевидно, будет тоже унитарным. Унитарный оператор 5(х, Л), вообще говоря, имеет ядро.
Сравнивая (1) с (1) 9 9 и (2) или (5) с (2) 9 9, легко видеть, что ядро 5(х, Л)=<р(х, Л), ядро 5+(Л, х)=!рч (Л, х) =!р(х, Л). (15) (15") Таким образом, ядро оператора унитарного преобразования от переменных Ь (т. е. Л) к переменным х равно собственной функции оператора Ь в переменных х, то тот же оператор М в переменных Л переводит, как мы знаем, с(Л) в с'(Л) с'(Л) = М(Л) с(Л). (9) УНИТАРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 65 й 12. Унитарные инварианты но и операторы рФ = — (й — + — 2р д11' д! дх дх„ (1*) удовлетворяли всем условиям, вытекающим из вида скобок Пуассона. При этом функции ф и ф' были связаны соотношением (2) а операторы р„и р' — соотношением р1 е А .рея (3) Вещественная функция 1(х1, х2, хз) оставалась произвольной. Сравнивая (2) и (3) и (11) и (!3) $11, мы видим, что формулы (2) и (3) представляют унитарное преобразование, с той особенностью, что оно не сопровождается заменой независимых переменных.
Оператор 5 этого преобразования имеет вид умножения на функцию от независимых переменных, по модулю равную единице, так что в нашем случае 5=еА . (4) Этот множитель называется ф а з о в ы м м н о ж и т е л е м. Как мы знаем, оператор для данной величины может быть выражен в разных независимых переменных, причем даже после того, как выбор независимых переменных сделан, остается еще произвольным фазовый множитель. Но как переход от одних независимых переменных к другим, так и введение фазового множителя производится посредством унитарного преобразования.
Поэтому любые два представления данного оператора связаны между собой унитарным преобразованием. Таким образом, мы можем сказать, что вид оператора для данной физической величины определяется свойствами этой величины лишь с точностью до унитарного преобразования. Так как свойства физической величины не могут содержать произвольных элементов, то они должны выражаться посредством таких математических соотношений, которые остаются ин- При выводе оператора для количества движения а $ 3 мы столкнулись со следующим обстоятельством. Не только операторы р21р= — 1'й — (й = 1, 2, 3), (1) 66 ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ ГА.
Г вариантными по отношению к унитарным преобразованиям. Эти инварианты должны играть поэтому большую роль в теории. Такими унитарными и ивар и антам и являются прежде всего свойство самосопряженности и спектр собственнык значений оператора. В самом деле, по формуле (13) 6 1! М(Л)=3 М(х)Я, откуда, по правилу перехода к сопряженному оператору, М+ (Л) = 5+М+ (х) (3+) = Я+и+ (х) 5, так что из М+ (х) = М (х) б) вытекает М+ (Л) = М (Л). Далее, уравнения М (х) ф (х) = нф (х), М(Л). (Л) = рс(Л) (7) (б) эквивалентны, так как одно получается из другого подстановкой ф(х) =Яс(Л), (9) Поэтому собственные значения р у них одни и те же.
Этот результат тесно связан с теоремой замкнутости, на основании которой ~ ф (х) ф' (х) Нх = ~ с (Л) с' (Л) ~(Л для двух любых пар функций ф(х), с(Л) и ф'(х), с'(Л), связанных соотношениями вида (9). Выражение (10) представляет собой унитарный инвариант. Таким же инвариантом является, очевидно, выражение ~ ф(х) М(х) ф(х)дх= ~ с(Л) М(Л) с(Л) г(Л, (11) является инвариантным, так как если над всеми тремя операторами 7.(х), М(х), У(х) произвести одно и то же преобразование, то преобразованные операторы 7.(Л), М(Л), У(Л) будут связанными теми же соотношениями, как и первоначальные. физический смысл которого мы выясним в следуюшей главе. Наконец, всякое алгебраическое соотношение между опера- торами, как-то: Л~(х) = М(х) + Т.
(х), или У(х) =М(х) Т.(х), % ВЯ ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ВО ВРЕМЕНИ 67 Например, при преобразовании операторов х и р„к любым переменным скобки Пуассона — „(р„х — хр,) = 1 останутся равными единице. $13. Изменение состояния системы во времени. Операторы как функции от времени Рассматривая операторы для различных физических величин, мы не вводилн в рассмотрение время.
Между тем в классической механике все величины были функциями от времени. Что соответствует этому понятию в квантовой механике? Мы знаем, что оператор для одной и той же физической величины допускает различные математические представления, причем выбор того или иного из них остается произвольным. Рассмотрим такое представление операторов, в котором математическая форма их остается одной и той же для всех значений времени Д Такое представление возможно, если только спектр собственных значений оператора не меняется во времени, как это и имеет место в большинстве случаев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
