Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 15
Текст из файла (страница 15)
о. 1.= ~ трира(т, ~ трфс(т=!. Это выражение удовлетворяет всем поставленным требованиям, так как оно, как мы знаем, инвариантно по отношению к уни- тарным преобразованиям (теорема замкнутости), н, кроме того, мы имеем ~ Ф (Л + М) ф сРК = ~ Ф(-ф 2РК + ~ тРЛИ сРг, (4) так что м. о. (й + М) = м.
о. Л + и. о. М. (5) Наконец, если в состоянии тр величина с оператором Т. равна Л, т. е. если Т.т)2 = Лчр, (6) то и м. о. Т. = Л. (7) Таким образом, изложенные формальные соображения привели к вполне определенному выражению для математического *) Мы обозвачаеы здесь велвчвву той же буквой, как в ее оператор. т 21 МАтЕМАтИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В КВАНТОВОИ МЕХАНИКЕ Вт основхния квлнтовои маххники [ч.
! ожидания величины, описываемой оператором Е и характеризующей систему в состоянии ф. На примере рассеяния а-частиц (формула Резерфорда), который будет рассмотрен в конце гл. Ч второй части, мы увидим, что теория согласуется с опытом. й 3. Выражение для вероятностей Из формулы (2) $ 2 для математического ожидания вытекает простое выражение для вероятности получить в результате измерения данной величины определенное значение или значение, лежащее в определенных пределах. Пусть ф(х, Л) суть собственные функции оператора Е.
Разложим функцию ф(х), описывающую состояние электрона, в ряд по этим собственным функциям !Р(х)=~с(Ла)!Р(х, Л,)+ ~ с(Л)ф(х, Л)с(Л. (1) Результат применения оператора Е к функции ф будет равен Еф(х) = ~ Лье(Ль) ф(х, Ль) + $ Лс(Л) ф(х, Л)Ж~. (2) Предположим функцию ф нормированной и составим выражение для математического ожидания величины Л. По теореме замкнутости мы будем иметь м.о.
Л= $фЕл$>с(т= ~~ !с(Ль) !зЛь+ $ Л! с(Л) !'Ю. (3) Сравнивая это с формулой (!3) $1, мы убедимся, что вероятность величине Л быть равной Ль будет рь =! с(Ль) (!, (4) а вероятность ей лежать в пределах Л, Л+ !(Л равна р (Л) а!Л = ! с (Л) Ра!Л. (5) Сумма вероятностей равна единице, так как, в силу нормировки функции ф и по теореме замкнутости, имеем ~ фф!(т=~ ! с(Л ) (з+ ~)с(Л) !з!1Л =1. Коэффициенты с(Л„) и с(Л) представляют, как мы знаем, волновую функцию, описывающую состояние электрона в переменных Л. Формулы (4) и (5) дают, таким образом, прямое физическое толкование квадрата модуля волновой функции как ВыРАжение для ВеРоятностел 89 Это значит, что в данном состоянии измерение величины р дает определенное значение. Какова вероятность получить в результате измерения другой величины Х значение, равное Хд? Применяя формулу (1) к функции ф(х) = ~р(х, рь) и вспоминая выражение для коэффициентов разложения с(Х), получим для искомой вероятности выражение ! с(Хь) !'=~ )ф(х, Х„)~р(х, п„)Ыт~ .
(!О) . С другой стороны, если бы мы искали вероятность равенства р=1хх при условии, что А=А„, мы пришли бы к тому же выражению (10). Таким образом, вероятность равенства р= в„ при условии А = Л„ равна вероятности равенства А = Х„ при условии р = рм Если Х и р есть одна и та же величина, то функции ~р и ф будут собственными функциями одного и того же оператора. В силу ортогональности собственных функций, при Хь Ф Х„ интеграл будет равен нулю, а при Х» = Х он будет равен единице, что вполне соответствует физическому смыслу выражения (10) как вероятности.
Таким образом, ортогоиальность двух волновых функций выражает тот факт, что описываемые ими состояния несовместны. Когда данная величина может меняться непрерывно, то нельзя говорить о вероятности того, что она имеет определенное значение: такая вероятность равна нулю. Взамен этого можно говорить о вероятности того, что она лежит в известном вероятности. Положим, например, что Х. есть совокупность координат х, у, г. Тогда вероятность электрону находится в объеме (х, х+с(х), (у, у+Ну), (г, г+дг) (У) равна по формуле (б) ! ф(х, у, г) г с1х Йу сХг. (8) Рассмотрим теперь общий случай, когда Х есть какая-либо физическая величина.
Когда исходное состояние задано, то для нахождения вероятности получить при измерении величины 1. определенное значение для нее нужно выразить в переменных Х волновую функцию, описывающую это состояние (другими словами, найти коэффициент с(Х) разложения ф(х) по ф(х, Х)1 Квадрат ее модуля (т. е. квадрат модуля коэффициента разложения) дает искомую вероятность. Положим, состояние характеризуется функцией ~р(х, в) „ представляющей собственную функцию оператора М, соответствующую собственному значению вь. Ир(х, рь) = па<р(х, рь). эо ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОИ МЕХАН.
[ч. а есть плотность вероятности для координаты. С этим связано различие в нормировке функций для точечного и для сплошного спектра; переходу от собственных функций к собственным дифференциалам соответствует переход от плотности вероятности к вероятности лежать в известном промежутке. й 4. Закон изменения математического ожидания во времени Математическое ожидание величины с оператором Л ~ ф/ф де м. о. т'- =— ~Фф и будет, вообще, говоря, зависеть от времени, Если мы выберем такое представление операторов, в котором операторы для координат и моментов от времени явно не зависят, то в выражении (1) функция ф будет удовлетворять волновому уравнению Нф — )й — = О, дф д~ где Н вЂ” оператор энергии. Покажем прежде всего, что интеграл (2) стоящий в формуле (!) в знаменателе, не будет зависеть от вре- мении *) . Мы имеем Г- дф — ~ ффа(т = ~ — ф г)т + ~ ф — с(т дГ и, пользуясь волновым уравнением, получаем — ", ~ фф ( = — ' ~ (Йфф — ФНф) В .
Но вследствие самосопряженности оператора Н это выражение равно нулю. Следовательно, — ~ ффе(т=О, (3) ') См. также формулу (6) $13 гл. 1Ц, промежутке, а также о «плотности вероятности», т. е. об отношении этой вероятности к ширине промежутка. Так, например, 1ф(х, р, з) 1т $ Н ИЗМЕНЕ!!ИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ВО ВРЕМЕНИ 91 и если мы положим в начальный момент времени то эта нормировка сохранится во всякое время 1. Предполагая функцию ф нормированной, мы можем заменить выражение (1) на более простое: м.
о. 1.= ~ 4рЕ4р4(т, которое также остается справедливым для всякого 1. Найдем производную по времени от математического ожидания Е. Дифференцируя под знаком интеграла и заменяя проди изводную — ее выражением из волнового уравнения, получим д1 — ~ 4РЕ4) 4(т = — „~ ЙфЕф Д4т + ~ ф — (Еф) О4т, , и так как оператор Н самосопряжеиный дг ~ф ф а ~ф( д11 (6) Выполняя здесь дифференцирование, будем иметь — ~ 4рЕч44(т.= ~ 4р( — + — „(НŠ— 1Н)т ф4(т. (7) Оператор под знаком интеграла есть не что иное, как оператор для производной от Е по времени — = — + — „(НŠ— ЕН). (8) Таким образом, равенство (7) выражает, что (9) т.
е. что производная по времени от математического ожидания равна математическому ожиданию производной, как это и должно быть. Если исходить из этого, то наши рассуждения дают вывод выражения (8) для полной производной от оператора по времени — выражения, полученного нами ранее другим путем. При рассмотрении волнового уравнения Шредингера (в части П) мы убедимся, что если в качестве Е брать операторы для ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ й 5. Соответствие между понятиями теории линейных операторов и теории квантов В заключение этой главы, а вместе и первой части нашей книги отметим, что каждому понятию теории линейных операторов соответствует определенное понятие квантовой механики так, что можно составить целый словарь для перевода с математического языка на физический. Словарь этот будет иметь примерно следующий вид: Математика Физика Линейный оператор Ь Собственные значения Л' (характеристические числа) Собственная (фундаментальная) функция ф для собственного значения (характеристического числа) Л' Коммутативность операторов Квадрат модуля )ф 'г' Нормировка ~ ~ ф ~'Нт = 1 Переход к собственным дифференциалам в сплошном спектре Ортогональность ~ ффт(Т=О Замкнутость системы функций ф(х, Л') Интеграл ~ фААр дт Квадрат модуля коэффициента разложения ~р(х) по «р(х, Л') Физическая величина Л Наблюдаемые значения физической величины Состояние механической системы, в котором Л = Л' Одновременная наблюдае.
мость физических величин Плотность вероятности Сумма вероятностей равна 1 Конечная вероятность неравенства Л' < Л ( Л' + ОЛ Состояния ~р и ф несовместны Значения Л', Л" и т. д. единственно возможны Математическое ожидание величины Л в состоянии ч~ Вероятность равенства Л=Л' в состоянии <р Возможность такого сопоставления показывает, насколько тесна связь между обеими теориями и настолько необходим язык теории линейных операторов для изложения теории квантов.
различных механических величин, то правые части уравнений вида (8) будут по форме совпадать с классическими. Таким образом, в квантовой механике между математическими ожиданиями и их производными по времени существуют те же соот ношения, как между самими величинами и их производными в классической механике. ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО КОЛЛЕКТИВА эз $6! 5 б. Понятие статистического коллектива в квантовой механике В первые годы развития квантовой механики, в ранних попытках ее статиатического (вероятностного) толкования, физики еще не отрешились от представления об электроне как о классической материальной точке. Даже когда появилась идея де Бройля о волновой природе материи, волны материи иногда толковались как нечто несущее точечные материальные частицы.
Впоследствии, когда были предложены соотношения Гейзенберга, эти соотношения толковались как соотношения неточностей, а не соотношения неопределенности: об электроне говорилось так, как если бы это была частица с определенными значениями координаты и скорости, но неизвестно какими именно. Квадрат модуля волновой функции толковался как плотность вероятности частице иметь — независимо от условий опыта— данные координаты (как если бы координаты всегда были определенными). Аналогично толковался квадрат модуля волновой функции в пространстве импульсов, причем обе вероятности (в пространстве координат и в пространстве импульсов) рассматривались совместно как вероятности некоторого сложного события, состоящего в том, что частица имеет определенные координаты и определенный импульс.
Выражаемая соотношениями Гейзенберга фактическая невозможность их совместно измерить представлялась при таком рассмотрении, как какой-то парадокс или каприз природы, в силу которого, будто бы, пе все существующее познаваемо. Все эти затруднения отпадают, если полностью признать двойственную корпускулярно-волновую природу электрона выяснить сущность этого дуализма и понять, к чему относятся рассматриваемые в квантовой механике вероятности и в каком коллективе они берутся. Попытаемся дать сперва общее определение статистического коллектива. Представим себе неограниченную серию элементов, Обладающих различными признаками, по которым можно сортировать эти элементы и наблюдать частоту появления элемента с данным признаком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
