Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если для появления элемента с каждым данным признаком существует определенная вероятность, то рассматриваемая серия элементов представляет статистический коллектив. В квантовой, как и в классической физике имеет смысл рассматривать только коллективы из элементов с определенными значениями параметров, по которым производится сортировка этих элементов. Это значит, что элементы статистического коллектива должны описываться классически; квантовый же объект ие может быть элементом статистического коллектива, даже если ОСНОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЧ.
й он находится в таких условиях, что ему можно сопоставить волновую функцюо. Элементами статистических коллективов, рассматриваемых в квантовой механике, являются не самые микрообъекты, а результаты опытов над ними; эти результаты описываются классически и могут служить основой для сортировки элементов коллектива. При этом определенная постановка опыта соответствует одному определенному коллективу. Поскольку же получаемые из волновой функции распределения вероятностей для разных величин относятся к разным постановкам опыта, онн относятся и к разным коллективам.
Сама же волновая функция ни к какому определенному статистическому коллективу относиться не может. Сказанное можно иллюстрировать следующей схемой: Каждой клетке этой схемы соответствует определенный статистический коллектив со своим распределением вероятностей для результатов измерения данной величины. В одной строке помещены коллективы, получаемые при измерении разных величин (Е, р, х, ...), исходя из одного и того же начального состояния. В одном столбце помещены коллективы, получаемые при измерении одной и той же величины, исходя из разных состояний (чч чм Фз ° ) ° Более глубокая причина того, что волновой функции нельзя сопоставить никакого определенного статистического коллектива, состоит в том, что понятие волновой функции относится к потенциально возможному (к не произведенным еще опытам, не только исход, но и тип которых не предрешен), тогда как понятие статистического коллектива относится к осуществившемуся (к результатам уже произведенных опытов определенного типа).
При заданном начальном состоянии объекта вероятность того или иного его поведения в данных внешних условиях определяется внутренними свойствами объекта и этими внешними условиями: эта вероятность представляет численную оценку дв ПОНЯТИЕ СТАТИГТИЧЕГКОГО КОЛЛЕКТИВА $6) потенциальных возможностей того или иного поведения объекта. Проявляется же эта вероятность в относительном числе осуществившихся случаев данного поведения объекта; это число и является ее мерой. Таким образом, вероятность относится, в сущности, к отдельному объекту (а не к собранию объектов) и характеризует его потенциальные возможности; вместе с тем для экспериментального определения ее численного значения необходима статистика осуществления этих возможностей, т.е.
многократное повторение опыта. Отсюда ясно, что вероятностный характер квантовой теории не исключает того, что она основывается на свойствах отдельного объекта. Резюмируя можно сказать, что назначение основного в квантовой механике понятия — понятия состояния, описываемого волновой функцией, — состоит в объективном описании всех присущих микрообъекту потенциальных возможностей. Этим определяется и вероятностный характер теории. Часть 11 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА Глава1 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. ПРИМЕР ВИБРАТОРА 5 !. Волновое уравнение и уравнения движения Как мы знаем, волновое уравнение, дающее закон изменения функции во времени, должно иметь вид Н'Ф вЂ” М вЂ” = О, дф дГ где Н вЂ” оператор энергии. Вид оператора энергии будет, вообще говоря, различным для различных задач.
В теории Шредингера рассматривается тот случай, когда количество движения электрона малб по сравнению с величиной тс, где с — скорость света, так что поправкой на теорию относительности можно-пренебречь и когда магнитное поле отсутствует, так что электрон движется в электрическом поле с потенциальной энергией Н(х, у, г). Обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля мы рассмотрим в третьей части этой книги. В $ 8 гл. П1, ч.
1 мы написали, по аналогии с классической механикой, следующее выражение для оператора энергии: Н = — (р'„-+ р'„+ р',)+ Н(х, у, х). (2) Здесь первый член представляет кинетическую, а второй— потенциальную энергию электрона. Заменяя операторы р„, р„, р, их выражениями, мы можем написать волновое уравнение в виде Р дΠ— — Аф+ У(х, у, г)ф — сй — =О. 2т д~ (3) Рассмотрим уравнения движения, вытекающие пз уравнения Шредингера.
Найдем операторы для скорости и ускорения. Имеем, на основании (22) ~ 13 гл. П1 ч. 1, дх — = — (Нх — хН). Н Ь $ Ц ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ вт Но мы знаем, что 1рк ~ Поэтому х] = В (рхх — хрх) = Е дк 1 Р а (4) и аналогично Дд 1 д1=~Р» ) (4') Таким образом, оператор для скорости равен деленному на т оператору для количества движения, как и следовало ожидать. Найдем теперь оператор для производной †. Мы имеем дрк д1 х = В (Орк Рхо) д1 В Единственный член в У, не коммутирующий с рк, есть 0(х, у, г), так что — „, "Ф= В (~Р— Р.~)ф= дх — дх (~Ф)= — — „Ф Присоединяя сюда аналогичные соотношения для двух других составляющих, получим ,",„=,'," '! Уравнения (4) и (5) совпадают по форме с соответствующими уравнениями классической механики. Припоминая связь между уравнениями движения и законом изменения математических ожиданий, мы можем также написать à — Г дУ гп — ) х4нрс(т= — ) — ффс(т д1х 3 дх и два аналогичных уравнения для координат у и г.
Эти уравнения носят название уравнений Эренфеста (Е)1геп(ез(). (6) В выражении для О все члены, кроме — рх, переместительны 1 с х, поэтому (Рк» Хрх) Е В (Рх(ркх «Рх) + (Ркх хрк) Рх~' [ч. и ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА й 2. Интегралы уравнений движения Введем теперь понятие об интеграле квантовых уравнений движения. В классической механике интегралом уравнений движения принято называть такую механическую величину (функцию от координат и моментов), которая остается пс.тоянной при любых начальных условиях. В квантовой механике можно определить интеграл уравнений движения как величину, математическое ожидание которой остается, в силу волнового уравнения, постоянным при любом начальном состоянии системы. Для того чтобы оператор Ь был интегралом, необходимо и достаточно, на основании (7) и (8) 3 4 гл. 1Ч ч.
1, выполнение условия — = — + — (НŠ— ЕН) = О. Ю. д1. д1 д1 Можно показать, что если оператор Л удовлетворяет этому ус- ловию, то его собственные функции, т. е. решения уравнения ЕГР=Аф, (2) могут быть выбраны так, чтобы они одновременно удовлетворяли волновому уравнению Нф — (й — = О, дф д1 (3) причем это будет иметь место и тогда, когда оператор энер. гни Н содержит явно время. Отсюда следует, что если в начальный момент времени величина Е имела определенное значение ), то она будет иметь то же значение и в последующее время.
Если оператор Ь не содержит явно времени, то условие (1) сводится к коммутативности его с оператором энергии. Положим, например, что Л = Н, причем оператор Н не содержит явно времени. Мы уже знаем (5 13 гл. 111 ч, 1), что в та. ком случае имеет место закон сохранения энергии, т. е. что состояние с определенной энергией Е остается таковз1м во всякое время й Уравнение (2) напишется в этом случае (4) где Š— параметр, характеризующий величину энергии. Общее решение уравнений (3) и (4) будет иметь внд Ч)=ЧРР1(х у, еч Е)е 2 3! уРАВнение шредингеРА гАРмоническогО ВиВРАТОРА 99 Из решений вида (5) можно построить решение, удовлетворяющее произвольным начальным условиям 2р=~(х, у, г) при (=О.
(6) Для этого нужно разложить начальное значение функции ф в ряд по собственным функциям оператора энергии )(х, у, г) — 2„с(Е) ф (х, у, г, Е) (7) и затем в каждом члене разложения добавить соответствующий показательный множитель 2р= 2 с(Е)е " 2р(о)(х, у, г; Е).
Е (8) Выражение (8) и будет, очевидно, решением волнового уравнения. удовлетворяющим начальным условиям (6)*). Знание интегралов квантовых уравнений движения облегчает решение волнового уравнения. Пусть оператор энергии Н не содержит явно времени, и, положим, мы нашли два оператора Е и М, которые коммутируют с Н (и, следовательно, являются интегралами) и, сверх того, коммутируют между собой. Тогда уравнения Нф=Еф, Еф =Хф, МФ=)2Ф (9) будут иметь общие собственные функции. Чтобы найти их, можно начать с решения наиболее простого из уравнений, и это решение подобрать так, чтобы оно удовлетворяло также и остальным двум уравнениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
