Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Второе уравнение (4б) представляет неоднороднве уравнение для определения ф'. Как мы знаем, для того чтобы оно имело решение, необходимо, чтобы свободный член был ортогонален к решению соответствующего одноРодного УРавнениЯ, т. е. к фУнкции ф,'г ПользУЯсь тем, что фо нормирована, мы можем записать это условие в виде Е„' =(п101п), (5) где (и 1Н 1, ) ~ фоцфо,( где (ш1Н1п') = ~ фо Нфо ~(г, (Е1и1п) = ( фо,ифо ( . (8) (8*) Решение зр„' уравнения (4б) получится теперь по формулам предыдущего параграфа, а именно, .Ф' — T (щ1ц1п) о + ( (Е!ь'1л),о ФЕ (9) л х л лэ ло лл 1 до д Е л, л т л Члена вида сф"„мы не прибавляли, так как функция зр„', очевидно, ортогональна фо„, а следовательно, функция Ф„= фо+ еф„', (10) есть диагональный элемент матрицы для возмущающей энергии У.
Таким образом, условие ортогональности позволило определить неизвестную постоянную Е'„. Чтобы решить (4б), разложим правую часть по функциям зр' и $е: ) = — Уф'„+ Е„'ф„' = — ~ (т 1Н 1п) ф' — ~ (Е 1 0 1в) ф'„' с1Е, (7) ТЕОРИЯ !ПРЕЛИНГЕРА !Ч. !! !26 представляющая приближенное решение возмущенной задачи, будет, с точностью до величин порядка е„'-, нормированной.
Переходя к следующему уравнению (4в), мы должны будем прежде всего определить постоянную Е'„' из условия, чтобы это уравнение имело решение. Это условие дает ~ фо (17 Е~) ~>~,1т Подставляя сюда вместо л)!' разложение (9), получаем, иа основании теоремы замкнутости, Е„'=~ " +! 11 ~" ~ г)Е. (12) Далее мы могли бы получить фл и затем третье и следующие приближения. Вычисления ведутся по тому же способу, а именно, после того, как найдены л)о ф л)!е-и и ЕР Е' Е" Е!е-и л' л' л' '''' л из условия существования решения уравнения номер й определяется Е!е!, а затем и лр'„е'. Формулы становятся все сложнее и сложнее: но обычно бывает достаточно брать выписанные здесь первое приближение для собственной функции и второе приближение для собственного значения.
В тех случаях, когда Е„', т. е. поправка первого порядка к собственному значению, не равна нулю, можно — если не требуется особенной точности — ею и ограничиться. $ 4. Кратные собственные значения. Разложение по степеням малого параметра Займемся теперь решением уравнения (НР+ ЕУ) л)„= Е„!р„ (1) для случая кратных собственных значений оператора Н'. Пусть невозмущенное уравнение Нофа Ео тьо 9 (2) имеет г решений Л Р О (3) Мы знаем ($7 гл.
П ч. 1), что выбор этих решений остается в известной мере произвольным, так как функции (3) можно заменить их линейными комбинациями, произведя над ними унитарную подстановку. Для дальнейшего удобно понимать под лр', решения, выбранные определенным образом, в зависимости КРАТНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 127 опуская значок и, который следует подразумевать. Из алгебры известно, что при бесконечно малом изменении коэффициентов алгебраического уравнения кратный корень может разбиться на несколько простых; по аналогии мы и здесь можем ожидать, что кратное собственное значение Е„может О разбиться, вследствие возмущения, на з простых Е„, (г = = 1, 2, ..., З). Мы будем поэтому искать собственные значения в виде о 2 Е„,=Е„+ЕЕ„+БЕ,+ ..., (5) где поправочные члены зависят от номера г соответствующей собственной функции.
Для этой последней напишем разложение ф =2р„',+еф„',+е'-ф„",+ ... (6) Подставляя (5) и (6) в уравнение (1) (где мы должны заменить Е„на Е„, н ф„на ф„,) и приравнивая коэффициенты при степенях е, получаем ряд равенств 0 Зр — Е ЗРЗ вЂ” 0 (7а) (7б) (7в) которые отличаются от аналогичных равенств (4а), (4б), (4в) 5 3 только добавкой второго значка у собственных функций и у собственных значений. Первое уравнение (7а) удовлетворяется само собой. Чтобы второе уравнение (7б) имело решение, необходимо, чтобы правая часть была ортогональна к каждому решению однородного уравнения, так что ~ ф„' (У вЂ” Е'„„) ЗР'„,2(Т=О (р=1, 2, ..., З), (8) нли, что то же самое, ~ф ((7 — Е',)ф~,с(Т=О (р=1, 2, ..., З). Уравнения (8) или (9), вообще говоря, не будут удовлетворяться произвольными решениями уравнения (2), и нам надлежит найти те комбинации ф2„,=ь„ч,+йз,р,+ ...
+5,А, (10) известных решений (4), которые им удовлетворяют. (9) От оператора (7, первоначальные же (какие-нибудь) з решений, линейными комбинациями которых являются ф', мы будем обозначать символами % 422 ° ° ° ~ 'Ь (4) 128 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 1ч н й 5. Собственные функции в нулевом приближении Найдем коэффициенты унитарной подстановки (1О) $4. Подставляя (10) 5 4 в (9) 5 4 и пользуясь ортогональиостью и нормировкой функций <р„ получим Х 11ррьрг Епгьрг где (ггр = ~ фрЫРр г(т.
(2) Эти уравнения могут быть истолкованы как уравнения для собственных функций Ь(г1) = Ь оператора, представленного конечной матрицей (г' . Оператор этот — самосопряженный, так как матрица его эрмитова, как это видно из (2). Поэтому его собственные значения Л будут вещественны. Чтобы найти их и решить уравнение (3), можно применить известный, чисто алгебраический способ.
Уравнения (3) представляют систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных Ь . Чтобы система эта имела решение, необходимо, чтобы определитель из коэффициентов при неизвестных Сгн — Л Ьги ... Сгг* и„СГ,р-Л ... и„ (г (Л) = (4) и„и„... Сг„— Л равнялся нулю. Уравнение Р(Л)'= 0 имеет з вещественных кор- ней; каждому корню Л = Л, соответствует одно решение Ь, = Ь „ уравнений (3). Решения эти можно нормировать так, чтобы было ! ь, р+! ь,р+ ... +! ь, р=1. Из общих свойств линейных операторов следует, что решения Ь н Ьр Ьрр :оответствующие двум различным корням Л Л и Л Лр 1руг к другу ортогоиальны, т. е.
Ь~гь1р+ ЬггЬгр+ ° + Ьррьаг=0 (Лг ~ Лр). (б) Опуская второй значок у Ьр, и обозначая неизвестную величину Е',г буквой Л, можем написать (!) в виде 2: и„ь, =ль,. (3) р=! $ н СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В НУЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 129 Корни 11(Л) = 0 могут быть и кратными: если, например, корень Л = Л„двукратный, то ему соответствуют два независимых решения Ь =Ь' и Ь,=Ь уравнений (3). Как бы то нп было, будут ли корни 0(Л) кратными или простыми, мы всегда можем распорядиться так, чтобы все з решений уравнений (3) были ортогональны и нормированы, так что Ь~РЬЫ + Ьерйтр + ... + ЬЯРЬрр = Ьрч. (7) Но зти равенства означают, что матрица Ь с элементами Ьрч будет унитарной. В самом деле, полагая, как принято, Ь,=Ь„, + можем написать (7) в виде ~ Ь+ТЬр =Ь (8) (О) р — ! Отсюда следует, как нетрудно доказать, что Е + Ь,Ь, =Ь,.
1 (10) выражают свойство унитарности матрицы Ь. Таким образом, мы нашли унитарную подстановку (10) 3 4, коэффициенты которой удовлетворяют уравнениям (1), причем числа Е'„, являются корнями Л„уравнения е)(Л) = 0: Е„', =Л„0(Л,) =О. (12) Из унитарности подстановки (10) $4 вытекает, что функции ф" будут ортогональны и нормированы, если таковыми были ~рр. Необходимо подчеркнуть, что функции ф', получаютсн вполне однозначно лишь в том случае, если все корни определителя Т1(Л) различны.
Если же, например, корень Л = Л~ двукратный, то вместо решений Ь |=Ь', и Ьре=Ь" уравнения (3) мы могли бы взять также Ь„=БИЬЫ+омЬФР ~ Ьрз = о!ТЬ„+ омЬВН (13) Равенства (9) и (10), которые в матричной символике будут иметь вид Ь+Ь=1, ЬЬ+=1, (11) теоРия шРединГеРА 1ЗО (Ч. !! где матрица, составленная из коэффициентов оад, унитарна. Подстановке (! 3) соответствует замена *а 'Ф. =о !2рл + о "Р„' „а )л2 !2)л! + 22фл2' (14) Таким образом, каждому кратному корню соответствует произвольная унитарная подстановка над функциями, относящимися к этому корню.
Эти унитарные подстановки, которые остаются произвольными в первом приближении, вообще говоря, определяются при рассмотрении дальнейших приближений, т.е. уравнений (7) в 5 4 и следующих. Величины Е'„,=Х, могут быть выражены через функции ф',. Если мы введем обозначение (пг ~ У ~ и'г') = ~ 2РЛ,(72РЛ... Дат, то мы будем иметь, на основании (8) 5 4, (пг )и~ и"') = Е'„,б„, откуда при Г = г' получается искомое выражение для Е„',, (15) (16) й 6. Первое и последующие приближения + ~ 2 аре2)Е+ ') с ара (8) Л Обратимся теперь к решению уравнения (7) в 2 4. Правая часть его удовлетворяет, при нашем выборе фа„ условию, необходимому для существования решения, Разложение ее в ряд напишется — (!ф' +Е' Ф' = — Е (тР1и)пг)ф",— ()(Ет ) 'аг(Е, (Ц лар где мы воспользовались обозначением (15) $5 и положили (Е )У ~ пг) = ~ ф" Уфр„2(т.
(2) Штрих у знака суммы в (1) означает, что следует опустить члены, для которых п2 = и. Решая уравнение (7)в $4 по способу $2, получим "Рлр 222 а а ~ а ( Р~ ~ ) "Рлар+ ра паевое и последзющив пгизлижения Здесь последняя сумма представляет решение однородного уравнения.
Постоянные ср„в ней неизвестны и подлежат определению из второго приближения. Переходя теперь к рассмотрению уравнения (7в) ь 4, мы должны прежде всего позаботиться о том, чтобы правая часть его была ортогональна ко всем решениям однородного уравнения. Это условие напишется Е'„',б„= ~ Ф'„,(У вЂ” Е'„,) р„', г( . (4) + ~ 1"е1У1с)(ь'1У1аг) (Е, (5) Š— Е о л можем уравнение (4) написать в виде Елдой г = Уцг+ (Елд — Ел~) счг, (6) причем мы воспользовались равенствами (16) $5. Для д Ф г это равенство приводится к Увг+ (Еад — Еаг) срг = 0 (д ~ Г).
(7) Если все числа Е'„, (4= 1, 2, ..., з), т. е. все корни опре- делителя 0(Х) (4) 5 5, различны, то из (7) можно определить все с„с неравными значками, а именно, с„,=— (8) Е„~ — Е„, Если же некоторые корни совпадают, например Е'„~ =Е'„и то соответствующее У;,', =У ~ должно равняться нулю. Этому условию можно удовлетворить, выбрав надлежащим образом унитарную подстановку (14) з 5, которая оставалась произвольной. В самом деле, если заменить $'„, и Ф"„, их комбинаднями $„, и $„"„ то величина У„", заменится на 2 (9) Это выражение должно равняться, согласно (6), Е",~б„~, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
