Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 24
Текст из файла (страница 24)
При отсутствии резонанса уравнения (11) могут быть решены по способу $ 2 гл. П. Предполагая для простоты, что кратные собственные значения и сплошной спектр отсутствуют, будем иметь о 0 С ( щ 1 ц О ! и ) о .Е.г Е,д — Ел+ ЬвОР Р - (!"И (15*) (15) где (т!Уо !Д)= ~ Р'(70Р'„0(т.
(16) Так как мы предполагаем, что длина волны падающего света велика по сравнению с размерами атома, то амплитуду Ю мы можем считать в пределах интегрирования в (16) постоянной; по формулам (1), (3) и (4) мы получим (т ! У ! и) = — — (6'„(л0 ! О', ! и) + 8'„(т ~ 00 ~ и) + + 6'г(гп ~!Э~ ~ и» = — 2 (ГД1Ю ° хт ! л), (17) где (т / ЕР ! и) = $ 0Р Щ>„01т.
(18) На основании (6), (9) и (10) мы можем написать приближенное решение уравнения (5) в виде Ор = е " л 0'Ор0 + вОеьм 1 ГЕОе-!в0) л л л л (19) где о', и и'„имеют значение (15) и (15"). 9 6. Формула дисперсии В классической электронной теории излучение атома может быть характеризовано его электрическим моментом: квантовым аналогом электрического момента является, как мы видели в $ 3, элемент Гейзеиберговой матрицы для произведения заряда электрона на его координату, или сумма таких произведений, если электронов несколько. Падающая волна вызывает появление некоторого добавочного электрического момента, который для оптически изотропной ФОРМУЛА ДИСПЕРСИИ среды будет пропорционален электрическому полю, а в общем случае будет линейной векторальной функцией от составляющих поля.
Зависимость коэффициента пропорциональности (или коэффициентов векторальной функции) от частоты и является основанием для объяснения явления дисперсии. Зная приближенное решение ф„ волнового уравнения, возмущенного световой волной, мы можем составить элемент Рейзенберговой матрицы для электрического момента. Пренебрегая квадратами и произведениями о„' и поо, получим ~ о)о ооо(о,оот еоллло (и) у~ ~ и ) + С е~ (~лл~+и) + С+ е' (лоло ~) (1) г 2 ллла о где Слл.=2 ~йоль от+ 2~ фойоо Ыт (2) С~„= 2 ~ б„йф„г дт+ 2 ~ ф„Эв„о(т, (2') так что (л(во1зо(ло)(ло ~1зо /л ) х~ (л ~1зо /м)(ло!Рохино/ л ) в (Флол Ф) ~ (Фтл' + Ф) В формуле (1) для электрического момента появляются, кроме собственной частоты атома ео „, сумма и разность частот оо„,.
~ а (явленне Рамаиа). Члены го 1 С '(ллл'+л) о ! 1 С+ о (ллл' л) о — л;8 лл' + — „„.Е (5) в формуле (1) представляют добавочный электрический момент, возникающий вследствие возмущения атома световой волной. Диагональный элемент добавочного момента .9' =.9' = — С еим+ — С е им 1 л лл 2 лл лл (6) имеет ту же частоту, как и падающая волна: он является по- этому ближайшим аналогом добавочного момента классической теории. что и оправдывает обозначение величины (2') крестом наверху. Подставляя в (2) вместо ол и ш'„их выражения (15) $5 и пользуясь (17) в 5, будем иметь теодия шдедингвдх (ч.
и 154 Рассмотрим зависимость вектора Ю„от составляющих электрического поля. Выражение (4) для С~ дает при п=п' (К)„= вещ. ч. ((а «)„го хе'ох+ (а у)„годеин+ (ахг)„Юге"г'), (Т)д)„= вещ. ч. ((аух)х д;е'"'+ (ауу)ггд уе'"'+ (ауг)х о геьм), (7) (.0:.)„= — вещ. ч. ((агх)„Ехе'~'+(агу)„д'уе' ' + (а„)„дгео"'), где, например, Ч'( ("141д~т)(т~11х"!л) (а~В„'(т)(т~0„"/л)~ < ахх аху ахг~ аух ауу ауг а„агу агг (9) (мы опустили значок и) обладает Эрмитовой симметрией, так что, например, аух аху (10) Таким образом, добавочный электрический момент В' есть линейная векториальная функция электрического поля, причем в случае комплексных коэффициентов (9) фаза гг' не совпадает с фазой Е.
Если же коэффициенты а вещественны (что будет, например, в том случае, когда собственные функции ф„вещео ственны), то фазы В' и а совпадают, и уравнения (7) могуг быть написаны в виде (г1х)„= (ахх)„д'х + (а„у)„т у + (ахг)„в „ (Т1д)„= (аух), д'х + (ауу)„Жд + (ау,)„Ж„ (Йг) = (агх) д х + (агу) Юг + (агг) Ег (11) где Ж есть вещественный вектор электрического поля. Особый интерес представляет случай, когда ах, =аду=а„=а„, ) (12) ау, — — агу — — аху = О.
В таком случае зависимость между гг' и д' приводится к простой пропорциональности .(д„' = а„д'. (13) а остальные коэффициенты выражаются по тому же закону и получаются из (8) заменой значков х и у соответствующими значками. Таблица коэффициентов $ м ФОРМУЛА ДИСПЕРСИИ 1Зб Наши выражения дают добавочный электрический момент для одной частицы. Чтобы получить полный момент .0' всех частиц в единице объема, обозначим через У„число частиц в состоянии г, находящихся в единице объема, и составим сумму Г= ХУ,Э'„ (14) Г которая равна ХА" = аЮ, (15) где а= ~, У,а„. Г (16) По классической электронной теории диэлектрическая постоянная связана с коэффициентом пропорциональности а формулы (15) соотношением 3 е — 1 — — = а. Ая в+2 (1У) Таким образом, наши формулы дают связь между диэлектрической постоянной и атомными величинами.
В формуле (!6) числа У„зависят от температуры. По классической статистике Больцмана эта зависимость была бы вида ~г Х (18) где У есть полное число атомов в единице объема и Е„есть энергия одного атома в состоянии г. Коэффициенты же а„зависят лишь от свойств частицы и, кроме того, от частоты в падающего света. Зависимость величины а от частоты и объясняет явление дисперсии света. Как видно из наших формул, частота в входит в выражение для а через посредство знаменателей ы „-+ а; эти знаменатели являются характерными для формулы дисперсии. Изложенная в этом параграфе теория представляет лишь общую схему, которая дает представление о воздействии света на атом. Теория эта далеко не полна по следующим причинам.
Во-первых, связь между величинами, относящимися к одному атому или молекуле (например, электрический момент), и величинами макроскопическими (например, диэлектрическая постоянная) затронута здесь лишь вскользь, причем для характеристики статистического распределения систем по состояниям мы привели лишь классическую формулу (18). Во-вторых, даже величины, относящиеся к одному атому, описываются у нас полуклассически, так как не вводится представление о квантах ~ч.
и ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА света, и лишь схематично, так как мы, например, не рассматриваем случая кратных собственных значений и не выясняем, при каких условиях имеют место равенства (12). Наконец, мы ничего не говорим о том, что происходит в случае резонанса, и не затрагиваем вопроса о ширине спектральных линий. Как уже было сказано в начале этой главы, сколько-'нибудь полное изложение существующей теории излучения выходит из рамок этой книги.
$ 7. Прохождение частицы сквозь барьер потенциальной энергии Рассмотрим задачу, которую в терминах классической механвки можно было бы назвать задачей о прохождении частицы сквозь барьер потенциальной энергии. Задача эта, по существу, является нестационарной, но в качестве вспомогательных величин мы будем рассматривать также волновые функции, которые являются собственными функциями оператора энергии.' Предположим, что потенциальная энергия У зависит только от расстояния г до некоторого притягивающего центра, так что задача обладает сферической симметрией.
Будем рассматривать лишь те состояния, в которых волновая функция зависит (кроме времени) только от координаты г: (общий случай будет рассмотрен в следующей главе). Если мы положим (2) то уравнение Шредингера Е2 дЭ вЂ” — Лф+ (тф =Ив 2ш дГ приведется к следующему: Ь' д'1 д1 — — — +У(г)~=И вЂ”. 2т дм дг ' (4) н уравнение (4) примет вид — — —, + (У (г) — Е) ~ = О. А2 д2~3 (6) Для состояний с определенной энергией мы можем положить 1(г, 1) =1(г) е (6) 5 П ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 157 Чтобы функция ф оставалась всюду конечной, необходимо выполнение предельного условия г(0) = О. (7) Сделаем теперь определенные предположения о виде потенциальной энергии У(г). Пусть У(г) сперва монотонно возрастает, начиная с некоторого конечного значения (или даже начиная с — оо, как это будет для потенциальной энергии электрона У = — ез(г в Кулоновом поле ядра).
Пусть затем У(г) достигает максимума, после чего начинает неограниченно убывать. Мы будем рассматривать значения Е меньшие максимума У(г). Разность У(г) — Е обратится в нуль в двух точках до и после максимума У(г), скажем, при г = г, и г = г,, Таким образом, область изменения г подразделяется на три участка, характеризуемых неравенствами 1. 0<г(гн П. г,<г(гм И1. 77<7.
Выясним общий характер функции 7" на соответствующих участках. На первом участке, где (7 < Е, функция 7 будет иметь колебательный характер. Если мы положим I 5, (г) = ~ ~/2т(Š— У) дг, о (9) (10) (11) (12) (13) где Г Ез = ~ Ъ~2т(Š— У) а7г, Г~ (14) то при г, меньшем г, (и не слишком близком к г,), будет в полуклассическом приближении, рассмотренном в 5 15 гл, 111 ч. 1, ~~/ згЛР СОЗ1 77 + а) где с и а постоянны. Для второго участка положим г 8~(г)= ~ у~2т(У вЂ” Е) дг.
г~ Тогда будет приближенно Наконец, на третьем участке будет ~=" ~/'~' - (~'+") !58 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !ч. и а величины с' и рр' — новые постоянные. Согласно форм!ле (2), функция ф отличается от ! множителем 1/г, стремящимся к нулю на бесконечности; поэтому поведение функции ф на первом и на третьем участках будет различным и ф будет стремиться к нулю па бесконечности. В переходной области, где коэффициент Š— (! в уравнении Шредингера (6) меняет знак (т.е. вблизи г = гр и г = г,), предыдущие выражения неприменимы, и там приближенные решения могут быть выражены через функции Эйри (А!гу), представляющие решения простейшего уравнения ШР (!) = йо (!), (15) в котором коэффициент при неизвестной функции проходит через значение нуль. На применении функций Эйри к нашей задаче мы останавливаться не будем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
