Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 26
Текст из файла (страница 26)
через производные, то — — уф+и(.)ф — а — „=о, у д$ (б) где й есть оператор Лапласа. В классической механике в случае центрального поля имел место закон площадей: составляющие момента количества движения вокруг начала координат т Рр ер т„= гр, — хр„ т, =хр„— ур„ (б) и(Г), зависящей только от расстояния от ядра, представляет большой физический интерес. Теория Шредингера дает верную в общих чертах картину спектров атомов с одним валентным электроном. Лишь некоторые детали, а именно, тонкая структура (наличие дублетов), не получаются нз уравнения Шредингера и могут быть объяснены на основании теории Дирака, в которой принимается во внимание теория относительности. Кроме того, теория Дирака необходима для объяснения поведения атома в магнитном поле (явление Зеемана (Ееешап)).
Правда, уравнение Шредингера может быть обобщена на случай магнитного поля, но так как поправки на магнитное поле и на теорию относительности одного и того же порядка, то необходимо учитывать их одновременно. Изложение теории Дирака дано в пятой части книги. $21 интегРАлы п.чошхдей 165 были интегралами уравнений движения. Посмотрим, не будут ли эти величины интегралами и в квантовой механике, если мы будем разуметь под ними операторы, рассмотренные нами в $ 7 гл.
Ш, ч. 1. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что они переместительны с оператором энергии. Для доказательства переместительности их с оператором кинетической энергии мы могли бы воспользоваться выражениями для скобок Пуассона, выведенными в $ 7 гл. Ш ч. 1; но проще доказать это непосредственно. Мы имеем =-;( —.— — д.) М д~У д~у и, следовательно, Ьт,хр — т, Лхр = —. ~ Ь ( х — — у — ) — х + у — ) = й г с д~ь д~У ~ да~э дЬФч ду дх ) ду дх ии,еу — т,Ур= —.~и1(х — — у — ) — х + у — 1= Ь Г С д$ д$Ь дУхУ дУ$1 ду дх ) ду дх Ь с дУ дУ к = —. (у — — х — ) $ = О „ 1 \, дх ду ) так как если 0 =У(г), то дУ дУ у — — х — = О.
дх ду Следовательно, т, переместителен как с оператором Лапласа, так и с потенциальной энергией, а значит и со всем оператором энергии. Ввиду симметрии относительна координат х, у, г то же справедливо для т„и и„. Таким образом, Нт, — тхН=О, Нт„— т„Н = О, Нт, — и,Н =О, (7) т. е, составляющие и„, и„, т, момента количества движения суть интегрался квантовых уравнений движения. Но эти операторы не переместнтельны между собой; в самом деле, мы знаем, что имеют место соотношения т„т, — т,т„=уйи„, лгхтх Шхтх ~~туг Ихту Иутх = 1нтг.
Переместительность т, с потенциальной энергией доказывается аналогично, а именно, 166 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 1Ч. 11 Отсюда следует, как мы знаем, что величины т„т„, т. нн могут иметь одновременно определенных значении (за исключением значения нуль). Покажем, что оператор та тз+тт+тг (9) который мы можем толковать как квадрат момента количества движения, коммутирует с каждь1м из операторов т„, т„, т,.
Мы имеем т„'т, — т,т~ = т„(т„т, — т,т„) + (т„т, — т,т,) т„= = — 1й(т„т„+ тРт„), т„'т, — т,т„-'= 1й (т„т„+ т„т„), т11и — т тз=О. 2 2 Е 7 Складывая эти равенства, получим т'т, — т,т'=О. т'т„— т,т' = О, т'т„— т„т' = О, тРт — т те =О„ (10) которые означают физически, что квадрат момента количества движения может иметь определенное значение одновременно с одной из его составляющих. С другой стороны, так как каждый из операторов т„тГР т, коммутирует с оператором энергии, то и сумма их квадратов обладает этим свойством.
Следовательно, оператор т' будет интегралом уравнений движения: Нт' — т'Н = О. (11) Кроме того, интегралом является самый оператор энергии Н. Таким образом, мы имеем три оператора т„т~ и Н, которые коммутируют между собой и являются интегралами квантовых уравнений движения. Из общей теории следует, что функцию, удовлетворяющую волновому уравнению (1), можно выбрать так, чтобы она была одновременно собственной функцией всех трех операторов и удовлетворяла уравнениям Нф=Еф, т'ф = Аф, т.ф = т'.ф.
(12) (12") (12"") Ввиду симметрии относительчо х, у, а можем написать три равенства ОПЕРАТОРЫ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ !бт й 3. Операторы в сферических координатах. Разделение переменных Так как в рассматриваемой задаче поле обладает сферической симметрией, то для исследования наших операторов (12) $2 удобно ввести сферические координаты г, 6, ф, положив х=гв!пдсовф, у=гв!пбв!пф, е=гсовб. (!) + те будет равен или, после упрощений, (3) Мы получили как раз тот дифференциальный оператор, который фигурирует в известном из теории потенциала уравнении для шаровых функций У~(б, ф): где целое число ! (! = О, 1, 2, ...) есть порядок шаровой функции.
Из сравнения (4) с уравнением (12) $2 для собственных функций оператора т' мы можем заключать, что собственные значения А оператора т' равны Р. = де!(1+ !) (! = О, 1, 2, ...). Чтобы найти преобразованный оператор знергии Н, воспользуемся известным выражением оператора Лапласа в сферических Выразим операторы по ф: ! (Р д ~~ ) д дф дф е дф дф е дф дф Оператор т' = тв + т' т'ф = = — й'(в!Пф — + С1дб д де — д' (сов гп„ иве, гп, через производные по 6 и =!3 (в!пф —.+С1дбсовф — ), дф дфх де дф ) ' дф =й ( — совф — +С1абетф — ), ) (2) дф сов ф — ) (в!п ф — + С1а'6 сов ф — )— дфх дф)(, де дф ) д дх ф — — С1а б в!и ф — ) К де дф ) Х (сов ф — С1а б в!п ф — ) — 6— дф . деХ е д'ф дб до) дф [ч 11 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 168 координатах. Мы получим Совокупность производных по б и по 1р здесь та же, что в операторе т'.
Что касается производных по г, то мы можем написать их в виде д2Е (7) где р,' есть оператор 1г дг ( ф) ! т, дт + Е,1' * Ь д Ь д~р (8) д который мы можем, по аналогии с р = — !й —, толковать дх ' как оператор для радиальной составляющей количества движения. Вводя т' и р', в Н, мы будем иметь (р," +,! т')+(7( ). Пользуясь вторым из этих уравнений и выражением (8) для оператора р",, мы можем первое представить в виде — —,. ~ —,„, + —,— „— „ф~+и(.)ф=Еф. (Гй) Ь2 д'ф 2 дэ 1(1+ !) Уравнение (11) содержит явным образом только переменные б и 1р, уравнение (12) — только переменную г, поэтому мы можем искать решение этих уравнений в виде произведения функции от г на функцию от б и 1р. Чтобы функция ф удовлетворяла также волновому уравнению Нф = Еф = 1й т.
де д1 ' (13) Написанный в таком виде оператор энергии совпадает по форме с классической Гамильтоновой функцией в сферических координатах. Уравнения для общих собственных функций операторов Н и т' могут быть написаны в виде Нф= — (р, + —,т') ф+ Н(г) ф=Еф, 5 4] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛЯ ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ !59 1 -А Е8 мы должны ввести показательный множитель е " и положить В А фа(г б ф) (14) где, согласно сказанному, ф'(г, б, ф) =)т ( ) 1' (б, ф) (15) Множитель, зависящий от углов б и ф, мы положили равным шаровой функции порядка 1, так как она удовлетворяет уравнению (4), совпадающему с (1!).
Множитель )с(г) (мы будем называть его радиальной функцией) должен удовлетворять уравнению (12), которое мы напишем в виде — „,, + — — „—,, Д+ —,(Š— У(г))Я=О. (!6) сРд 2 ~я 1(!+ !) 2т Таким образом, знание интеграла энергии и интегралов площадей позволило нам произвести разделение переменных, т.е. привести решение волнового уравнения для функции от четырех переменных 1, г, б, ф к решению более простых уравнений для функций от меньшего числа переменных.
$4. Решение дифференциального уравнения для шаровых функций Мы видели, что уравнение (!1) 9 3 для собственных функций квадрата момента количества движения совпадает с уравнением (4) 9 3 для шаровых функций. Поэтому теория собственных функций интегралов площадей есть не что иное, как теория шаровых функций.
Найдем общие собственные:.функции операторов т, и тз. Шаровая функция У~(б, ф) будет собственной функцией оператора т„ если она будет удовлетворять уравнению — !и — ' = гпУИ дф (1) решение которого есть тг У!(б, ф) =6!(О) е Чтобы У! была однозначной функцией точки в пространстве, необходимо, чтобы она была периодической функцией от ф с периодом 2п. Отсюда следует, что собственные значения ш,' оператора т, должны равняться ш1 = изй (ш = О, ~ 1, ~ 2, ...).
!7О ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА [ч. и Этот результат мы имели уже раньше (в 5 7 гл. П1 ч. 1). Таким образом, )Г, (6, <р) = 6 (6) е'"'Р. (3) Подставляя это выражение в уравнение (4) $3 для шаровых функций, получим .! 4(з!ПО% — — „.„,в 6+1(1+ !)Е= О. (4) Если ввести в качестве независимой переменной величину х=созб, то уравнение (4) примет вид —,"„~(! — хз)Я вЂ”, '„, Е+!(!+ !)В=О. (6) и возьмем логарифмическую производную от у: у' Е!х у хз — ! или (1 — хе) — + 2!ху = О. иу их Продифференцируем это уравнение й+ 1 раз по х и положим ихэ ~А = — ~= — (х' — !) . (7) Г!хь дхь Мы получим (1 — х~) —, — (2й — 21+ 2) х — „„+ (21 — й) (й+ 1) г = О.
(8) Если положить здесь й = 1, получится уравнение, совпадаю. щее с (6) (при Гп = О). Решение этого уравнения, обращаю- Значения х = — + ! и х = — ! являются особенными точками этого уравнения, так как если его решить относительно второй производной, то коэффициенты обратятся при х = ~ 1 в бесконечность. Если рассматривать 1 как неопределенный параметр, то можно показать, что уравнение (6) только в том случае имеет решение, которое остается конечным при х = ~ 1, когда 1 есть целое число. Это значит, что шаровые функции являются единственными решениями уравнения (6), удовлетворяющими поставленным условиям, т.
е. единственными собственными функциями оператора т'. Найдем решение уравнения (6) при целом 1. Рассмотрим сперва частный случай т = О. Положим у = (х' — 1)' $4! ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ШАРОВЫХ ФУНКЦИИ 171 щееся в единицу при х = 1, обозначают символом Р4(х) и называют пол ин омом Л еж андр а ((.еаепдге) порядка 1. Полипом Лежандра отличается от выражения (7) при й = 1 только постоянным множителем. Определяя этот множитель из условия Р4(1) = 1, получим х! Этот полипом удовлетворяет, следовательно, уравнению — „"„~(! — Х2) — '„4~+1(1+ 1) Р, =О, (1О) представляющему частный случай (6). Рассмотрим теперь общий случай т Ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
