Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Результаты предыдущей главы применимы, разумеется, в полной мере и к случаю Кулонова поля; в частности, разделение переменных, зависимость волновой функции от полярных углов (шаровые функции) и правило отбора могут быть перенесены сюда целиком. Но, кроме того, для Кулонова поля можно строго решить уравнение для радиальных функций н найти уровни энергии, а также частоты и интенсивности спектральных линий и довести тем самым решение задачи до конца.
Решение задачи получается достаточно простым, чтобы можно было взять его в качестве исходного приблиокення при рассмотрении возмущения атома водорода постоянным элект. рическим полем [явление Штарка (Яагк)), которое мы также рассмотрим в этой главе. Наконец, теория движения частицы, отталкиваемой от неподвижного центра по закову Кулона, дает вывод формулы Резерфорда (цпФег1огд) для рассеяния а-частиц и представляег интересную иллюстрацию вероятностному толкованию квантовой механики. й 2.
Уравнение для радиальных функций водорода. Атомные единицы меры В атоме водорода потенциальная энергия электрона, притягиваемого ядром по закону Кулона, равна ~г и1г)=- —,. где г — расстояние от электрона до ядра, которое, ввиду его большой массы, мы будем считать неподвижным и находящимся в начале координат. На основании формулы (16) $ 3 гл. !У, уравнение для радиальных функций атома водорода напишется — „„+ —,— „„—,, Е+ — „, (Е+ —,) Е= О.
(2) г)еК 2 !И (((+ !) 2т ее Если бы мы приняли во внимание движение ядра, мы получили бы уравнение того же вида, в котором вместо массы электрона и стояла бы епрнведенная масса» пг', равная (3) где М вЂ” масса ядра. Введем в качестве единиц меры деленную на 2л постоянную Планка и заряд и массу электрона Ь = — = — ° 6,626 1О эре сек, а ! -ег 2а 2я е =4,80 !О ' ед. СГСЭ, т= 9,11 10 г. Построенная на этой абсолютной системе единиц единица длины будет равна а= —,=0,529 1О см, (5) а единица энергии те' е' е Ее= —, = — ', =е — =27,2 эв, !' а а (6) ее ! тогда как единицей скорости будет величина †, равная— а )зт скорости света.
Положим в уравнении (2) Е а= —. Е,' г ! ! После этого оно примет вид !(!Л 2 !И Г 2 !(Г+ !) х — + — — + ! 2а + — —, )~! = О. !(г!1 г, г)г! ~, г, г! ) Подстановка (8) ! Я==у у' приводит уравнение (8) к виду Вен ! а'Ч Г 2 . + — — '+~2а+ — —,)~8=0 Дг!' г! аг! г, 4г,!' (9) (10) $2! хгхвнаиив для глдихльных ехнкции водовод» !93 194 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 1ч. и где мы положили э=21+ 1, (11) Написанное в таком вяде уравнение встречается, кроме рассматриваемой задачи, еще и в ряде других задач (атом водорода по Дираку, явление Штарка, рассеяние с4-частиц), причем параметр з в этих задачах не обязательно равен целому нечетному числу.
Поэтому мы рассмотрим уравнение (10) подробнее и не будем считать з целым числом, а предположим только, что з ) О, что, очевидно, всегда возможно, так как в уравнение входит зз. 3 3. Решение одной вспомогательной задачи На основании результатов общего исследования уравнения для радиальных функций 5 7 гл. 1Ч), мы знаем, что отрицательным значениям параметра е соответствует точечный, а положительным — сплошной спектр.
Для исследования точечного спектра мы введем в качестве независимой переменной вели- чину х=г, т/ — 8е и положим (2) или — (х — У)+( — + 4 ) у=Лу. (3") В левой части этого уравнения стоит самосопряженный оператор, а Л играет роль параметра. Подстановкой (1) и (2) мы как бы исключили сплошной спектр и привели решение уравнения (10) для точечного спектра к решению некоторой вспомогательной задачи, а именно, к нахождению собственных значений и функций оператора (3*). Исследуем характер решения уравнения (3) при малых н при больших значениях х, Мы могли бы воспользоваться здесь результатами $ 7 гл. 1Л!, но проще повторить наши рассуждения применительно к уравнению (3).
Для малых х полагаем у хк+пха+!+ (4) 1 Л==. з/ — Ее Величина Л будет„очевидно, вещественной; мы будем считать ее положительной. Переменная х будет также вещественной, и прсделы ее изменения будут те же, что для г, а именно, 0 и ос. Уравнение (10) 5 2 напишется теперь л!у лу !' х г! х х — + — +( — — +Л вЂ” — )у=О Р'х! Нх ~ 4 4х (3) РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ВСПОМОГАТЕЛНОЙ ЗАДАЧИ 195 и получаем для а два значения 5 а=а: —. 2' (6) Для больших х полагаем е-лкха(! + л „! ) (6) и получаем для а и р два значения 1 1 а= —, р= — — +)1, 2 ' 2 (7) а= — —. р= — — — Х.
1 1 2' 2 (7*) и при больших х вида к ! у=С'е 'х '(1+ — + ...). (9) Поэтому, если мы положим К 5 у =е 'хне(х), (10) то функция Я(х) должна удовлетворять условиям Я(х) конечна при х = О, 5+! (е(х) порядка х ' при х — со. (11) Уравнение (3) для у приводит к следующему уравнению для Я(х): х ! г +(з+! х) к +(Х 2 )!к=О. (12) Это уравнение можно решить двумя способами: при помощи рядов и при помощи определенных интегралов. Мы применим здесь первый способ, а аналогичное уравнение для сплошного спектра будем решать по второму способу.
Будем искать решения уравнения (12) в виде ряда ('1= ~ а„х". л 0 (13) Отсюда заключаем, что искомое решение должно быть при малых х вида у=Сх5 (1+ ах+ ...) (8) 196 теоРия шРединГеРА (ч. н Подставляя этот ряд в уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получим ряд равенств вида п (п + з) а„+ ( — п+ Х+ 2 — 2) а„, = О, 1 ох (14) которые служат для последовательного определения коэффициентов. Коэффициент ао остается произвольным, а остальные выражаются через него: о+1 — -х 2 а! = + ао (15) 2 (х + 2) ' 1 2 (х + 1)(х + 2) Здесь возможны два случая. Если а.= — 2+р (р=О, 1, 2, ...), ,!ь) то коэффициент аР+! и все последующие будут равны нулю, так что ряд обрывается и для Я получается не бесконечный ряд, а полнном.
Если условие (!8) не соблюдается, то ряд продол- жается до бесконечности, причем он будет всегда сходящимся, так как отношение двух последовательных членов 1 х л — А — — + —, а„х" 2 2 , =х и„,х" ' а(п+ х] (19) при и — ~-аа стремится к нулю при всяком х. Но из той же формулы (19) видно, что все члены ряда, начиная с некоторого, будут одного знака; следовательно, его сумма, при х-!-аа, будет возрастать быстрее всякой конечной степени х, так что условие (1!) не будет выполняться.
Поэтому второй случай отпадает, и мы должны иметь х-1- ! ),= — ', +р. 2 Поэтому, если мы обозначим через г"(оо, у; х) обобщенный гипергеометрический ряд, составленный по закону г" (а, у; х)=1+ — ° — + — — + ..., (16) а х а(а+!) х! у 1 у(у+1) 1 ° 2 мы можем написать (г=ао)'( — ', -)(; з+1; ).
(17) своистВА ОБОБщенных полинОЯОВ ЛАГеРРА $4! 19? Таким образом, единственными решениями уравнения (12), удовлетворяющими поставленным условиям, являются поли- номы Яр — — аюг" ( — р, в+ 1; х) (20) или в раскрытом виде р к р(р — !) к' ! г + ! 2 (к + !)(к + 2) кР (к+ !) " (к + р) 1 ' ЯР=О,~1 (20*) Если мы положим здесь а (а + 1) (а + р) (21) то соответствующие функции Яр, которые мы обозначим через Я',(х), будут полиномами не только относительно х, но и относительно в: (22) или я,(х) =( — 1)р~хр — Р (з+ р) х' '+ + Р",,"(.+р)(.+р — 1). — + +( 1) (а+ Р) (а+ 1)~ ° (222) Эти полиномы можно назвать обобщенными полиномами Лагерра (1.аппегге), обыкновенные полиномы Лагерра представляют нх частный случай (при а=0).
й 4. Неко~орые свойства обобщенных полиномов Лагерра ~2 44 ДЯЗ ° „„+(3+1 х) „„+рЯ, О, могут быть представлены в виде ЕК 4(Р О (х) = — — е "х'+Р. К' 4(КР (2) Обобщенные полиномы Лагерра, представляющие решения дифференциального уравнения ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !зз [Ч. 1Г По формуле Лейбница (1е)Ьп1(е) для производной от произведения двух функций это выражение равно р х'е "[,(р(х) = — ре хх' р, (2*) что и требовалось доказать. По теореме Коши мы можем представить это выражение в виде ! Е 2Р х е "(ер(х) = — „, а[2. (3) 2п! 1 (2 — х)р"' Вводя здесь новую переменную интегрирования 2 — Х 2 получим ( к[ р! à —,, -),И Яр(х) = — з! е Зя[ (! !)5-Р1 [Р-1-1 Но это выражение по той же теореме Коши равно [."(; (х) = Отсюда получаем разложение в ряд Тейлора к[ (1 — Г) ' е '-' =~ — Я,'(х).
р! Р (6) Эта формула удобна для вывода различных соотношений между функциями (ер(х). Умножая ее на 1 — Г', получим х1 (1 — Г) 'е ' ' =~~' — [[Я'(х) — рЯ', 1(х)1. р=о С другой стороны, заменяя в (6) з на з — 1, получим в левой части то же выражение. Сравнивая коэффициенты при степенях (, будем иметь Яр (х) =Я'(х) — рО, 1(х). (8) Для доказательства этой формулы умножим уравнение (22*) $3 на х'е " и напишем результат в виде -к +к р 1 х'е (( (х) = — (е ) ° хр+'+ р — (е к) — хр+'+ еке 1[Хе ' РХ р(р — !) Ер о ео Ир + — (е ) — хе+к + + Е-х хе+к о Г[хр 2 1[хо 1(хр СВОИСТВА ОБОБЩВНИЫХ ПОЛИНОМОБ ЛАГЕРРА !99 Эта формула позволяет выразить функции с разными знач- ками з, отличающимися друг от друга на целое число, через функпии с одним и тем же (наибольшим) значком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
