Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для этого нам прежде всего нужно обобщить на случай нескольких квантовых чисел и кратных уровней энергии формулы Для Кулонова поля энергия зависит, как мы увидим в следующей главе, только от одного квантового числа а. Для общего центрального поля каждому уровню энергии Ещ соответствует 21+ ! собственных функций, которые получаются, если в выражении (!) числу т давать значения пз = — 1, — ! + 1, ..., 1 — 1, 1. 186 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА ~ч. н для интенсивностей, выведенные нами в Я 3 и 4 гл. 1П. Этн формулы имеют вид 7лл =е'млл'((хлл ! +)улл ! +1Елл 1) (1) .для точечного спектра и 1„(Е) ЛЕ = =еГе~(е) (1(е„(х(е)1 +1(ел1у1е)1 +1(ел1з(е) |~)ье (2) для сплошного спектра.
В нашем случае состояние электрона описывается тремя квантовыми числами; поэтому элементы Гейзенберговой матрицы будут вида х„л =(л(лГ1х(пЪи') (3) .для точечного и (Ел( х1Е) = (пйи ~ х1Е1'Гп') (4) для сплошного спектра. Под частотами Гл ° и в„(Е) нужно, -очевидно, разуметь соответственно 1 вл„= л (ńà — Е Р), (6) Мл(Е) = д (ńà — Е) (6) нли, вернее, абсолютные значения этих величин. Одной и той же частоте могут соответствовать различные пе.
реходы, отличающиеся друг от друга значениями квантовых чисел и и т'. В обычных условиях (без магнитного поля) эти отдельные переходы нельзя отличить друг от друга, и наблюдается только сумма интенсивностей для всех переходов с одной частотой. Поэтому величину 1хлл 1' нужно в формуле (1) заменить на Г С ) хл; 1'-» .Е:Е ! (и1 т(х1ДТт') 1Е (7) н аналогично для координат у и е.
Наконец, в сплошном спектре параметр энергии меняется непрерывно, так что по его значению нельзя судить о значениях квантовых чисел Р и т', Поэтому величину )(Е 1х1Е)~з в формуле (2) нужно заменить на ! ) (Ел1х1Е) (г-л,)' 2 ~ 1(п(Гл1 к1Е1'иг') )з. --~ Р-Л л--Г Заметим, что в силу правила отбора, которое мы выведем ниже, сумма (8) содержит лишь конечное число членов. С указанными изменениями формулы (1) и (2) будут справедливы и в рассматриваемом здесь случае. ПРАВИЛО ОТБОРА 187 При наличии магнитного поля можно отличать друг от друга переходы, соответствующие различным значениям т; поэтому могут представить интерес и отдельные члены суммы (7), Элементы Гейзенберговых матриц для координат х, у, г, со- ответствующие точечному спектру, вычисляются по формулам (и!т!х!п'1'т')= ()()(гз(пбсозфф„, ф„п г'япб~Ийрг(г, (9) (п1т(у !п1т) = ~~~ гз(пбз(пфф„,„ф„п „г'япбаб (фаг, (10) (п1т! г !п'1'т') = ~~~гсозбф„, ф„ч г'з!Пбг(бйр4(г, где, согласно (1) $6, ф с~ф„г~ = е'~'Й„,)7„, )г, ге (12) или т щ (13) причем под ы мы разумеем величину (5).
Каждый из этих тройных интегралов разбивается па произ- ведение трех простых интегралов, причем интеграл по г в (9), (10) и (11) один и тот же, а именно, г(п1; и'1') = 1)К„Д„, гвг(г. о Интегралы по б и ф мы обозначим следующим образом: (1т, 'в|пбсозф! Ут') = — „~~ Р1 Рг е" '~з1п'бсозф~Ийр, (15) (1т!з!Пбз!Пф !1т') = — ) ) Р7 Рг е" ' игяп'бяпфобйр, (16) (1т!созб!1т) = — $Р) Р) е" ' 'чз!Пбсозб4(боф. (!7) 4л З (14*г Таким образом, элементы матриц для х, у, х будут равны (если опустить показательный множитель е'"') произведениям '(14) соответственно на (!5), (16) н (17). Для сплошного спектра выражения останутся те же, только в (14) нужно сде- лать очевидную замену л'„ч на 1тее, г(п1; Е1') = — $Р,„,йеггз г(г.
о Найдем значения интегралов (15)„(!6) и (17). Так как эти интегралы входят множителями в выражения (9), (10) и (11), ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 188 (ч. и то если окажется, что при определенных значениях 1, т, 1', т' оии равны нулю, соответствующие элементы Гейзенберговых матриц также будут равны нулю; в этом и будет заключаться правило отбора. Начнем с вычисления интеграла (!7), как самого простого.
Выполняя интегрирование по !р, мы убедимся, что он может быть отличен от нуля только, если и! = и', так как — ~ е!( ' ' !йр=б (18) О В интеграле по 6 вводим переменную х=созб, после чего интеграл (17) напишется ! (1т~ созе(1'т') =б ° — ~ Р) (х) РР (х) хдх. (!9) На основании формулы (11 5 6), заменяем здесь произвеюп дснне хР) (х) его выражением „а т)(! + 1)2 — щ',т „/(г та Щ хР) (х) = Р14.1 (х) + Р!- ь (х) (20) ч/4 ( ! + 1)' — 1 т)4Р— 1 и, пользуясь ортогональностью и нормировкой функций Р! (х), получаем (1и! сов 4) (1'т') = =б ° ~ б!.„ь ! + 61,, „).
(21) ч/4 (1 + ! )." — 1 ' ч/4~' — ! Таким образом, элемент матрицы отличен от нуля только, если 1 — 1'= '-1. Для вычисления интегралов (15) и (16) удобно составить их линейную комбинацию (1и ! 5!п бе ~ (1 и ) = = (1т! з(п б соз ~р ! 1'и') + 1(1т ! з(п д з!п ср)1'и'), (22) из которой выражения для (!5) и (!6) в отдельности получатся по формулам (1и! з!яд (соз !р ! 1'т') = =~ !()т(з!пЮе'ч!1т')+(1'т'~зшдесе(1и)), (23) (!т1 з!п ба(п~р (1'и') = = ря !(1т! з!п бе'~ ) 1'т') — (1'т'! з(пбе!е ! 1т)!. (24) ПРАВИЛО ОТБОРА 1вз Выражение (22) равно (1т(з!с!бесе)1'т')= — ~~рс Рс е'с"' т+ссчз!Пгбс(бс(ср.
(25) 4Л З Выполняя интегрирование по ср и вводя переменную х = соз б, будем иметь (1и! з!Пбест (1'и') = Г гс т *~ =Ьт, т+с — ) (1 — х ) *Рс (х) Рс (х)с/х. (26) Подставляя сюда выражение (1 — хг) 'Рс (х) = 1/(С+т)(С+т+ 1)рт1/(Гт+ 1)(Гт) ч/4(С'+ 1)' — 1 (27) получаемое из (12) 9 6 заменой пс на т — 1, и пользуясь ортогональностью и нормировкой Рс (х), а также равснствами вида 1 (1') бс, с -с = с (1+ 1) бп с получаем (1т! з!Пбесе (1'и') = 'Ч~(С + т — 1)(С + т! Ч/(С вЂ” т+ 1)(С вЂ” т+2! б — с, т' =- ( бс-с, с— бс+ь г), ЧС 4Р— 1 ч/4 (С + 1 !' — 1 (28) отсюда (1'т'! з!П бесе!1т) = Ы А/(~ + + )(С + т + 2) Ч/(С вЂ” т)(С вЂ” т-1) 'Ъ вЂ”.~т+ь ш'~ 4/4(С + 1)г — 1 2 бс+с, б -! Ч/4(г — 1 (29) и элементы матриц (15) и (!6) получаются, на основании (23) и (24), как полусумма и деленная на 1 полуразность выражений (28) и (29). Мы видим, что выражения (15), (16) н (17), а следовательно, и элементы матриц для координат х, у, х могут быть отличны от нуля только при условии 1 — 1'= ~ 1.
(ЗЭ) В этом заключается правило отбора для азимутального квантового числа 1, Согласно этому правилу, переходы между тернами з и р, р и с( н т. д. возможны, тогда как, например, между з и с( переходы запресцены. Это правило согласуется опытом. !зо (ч. и теория шредингер.. т — и'=О, (3!) а элементы матриц для координат х и у при условии и — т' = ~ 1. (32) В этом заключается правило отбора для т. Переходы, удовлетворяющие условию (31), дают свет, поляризованный вдоль оси а, а удовлетворяющие (32) — свет, поляризованный в плоскости ху.
Как мы уже отметили, переходы, соответствующие определеннь.м значениям и и т', могут наблюдаться лишь при наличии магнитного поля (направленного вдоль оси 2). Выпишем в виде таблицы элементы матриц (15), (16) и (17), соответствующие отдельным переходам. 1'=1 — ! (1, е ) яп В сов ф)1 — 1, т — ! ) =— 1 с/(1+ т — 1И1+ т) .~/4(с )) ! и/41' — 1 (1, е)в!пвв!пф!1 — 1,т !)— ) 1/(1+ т — 1)(1+ т) 2 (/41в — 1 1 1/(1 — т) (1 — е — 1) (1, т) вт О в!и ср)1 — )„т+ !) = —— 2 и/41' — 1 (1, е ) сов О 1! — 1, т) = и/1'— и/4~' — ! 1' =1+ 1 !)— ! .(/(1 — т+ !)(1 — ив+2) (1, т(яп О сов Ч)1+ 1, т 2 з/4 (1 + ! )' — ! ! .(/(1 + т + 1) (1 + т + 2) св сгсг=Г с и/(1 — т + ! ) (1 — т + 2) (1, т ) яп О сов Ч11+ 1, т (1, т 1 яп О в1п ф ) 1 + 1, т !)— т/4 <1 + ! Р— ! + 1) й/(1 + т + !)(1 + т + 2) 2 и/4 (1 -1- 1)' — 1 1,т)= П/(1 + ! ) в — тв П/4(1 4- 1)с — ! (1, т ) в!п О в!п Ч 11 + 1, т (1 ис)сове(1+ Что касается магнитного квантового числа т, то элементы матриц для координаты г могут быть отличными от нуля прн 'условии ПРАВИЛО ОТБОРА' Составим теперь суммы вида (7), которые входят в выражения для интенсивностей.
При помощи формулы Х т = з1(1+1)(21+1) (33) мы получим без труда ~ (1, т ~ соз 6 1 1 — 1, т') ~' = — з (34) и аналогично ~ ((1, т~ з(пбсоз~р ~1 — 1, т') 1з= — 1 (35) Х !(1, т! з!пбз!пт!1 — 1, т')!2= 3 1. (36) Для переходов из сплошного спектра мы должны взять сумму соответствующих выражений, умноженную на ЬЕ: 1(п1; Е) ЬЕ= =е'( — "', ) (1г(п1;Е,1 — 1) 1з1+~ г(п1;Е,1+1) )'(1+ 1))ЛЕ.
(38) Наконец, для случая Кулонова поля, когда Е„, не зависят от 1, мы должны наши выражения просуммировать также и по 1. Мы видим, что все три суммы имеют одно и то же значение 1 — Этого и следовало ожидать, так как после исключения з квантового числа т ось а уже ничем не выделяется, и все три направления должны играть одинаковую роль. Суммы для случая 1' =1+ 1 получаются из предыдущих заменой 1 на 1+1, 1 так что они равны — (1+1). На основании полученных результатов мы можем составить окончательное выражение для интенсивностей.
Мы будем иметь для переходов в пределах точечного спектра 1(и1; и',1 — 1)=ее~ "' "' ')! г(п1; и',1 — 1) г1, (37) У(п1; и', 1+1)=е'( " „" +') (г(п1; и',1+1) Р(1+1). (37*) ГлаваЧ КУЛОНОВО ПОЛЕ 5 1. Общие замечания Мы остановимся здесь на частном случае общей задачи, рассмотренной нами в предыдущей главе, и исследуем состояние частицы, притягиваемой или отталкиваемой от неподвижного центра по закону Кулона. Задача эта интересна потому, что, с одной стороны, к ней приводится ряд важных физических задач, например, теория атома водорода, а с другой стороны, она допускает точное решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
