Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Дифференцируя обе части (6) по х, получим, путем анало- гичных рассуждений, ияр (х),+, = — рЯр !(х). (9) или после замены з на з — 1 хЯ,(х) =(р+ з) Я, (х) — Ц„~~ (х). (10) Отсюда при помощи (8) выводим (2р + з + 1 — х) (;)р (х) = Яр+! (х) + р (р + з) Я' ! (х).
(11) Мы получили рекуррентную формулу, связывающую три последовательные полинома с одним и тем же верхним значком. Из (8), (9) и (10) нетрудно вывести соотношения И!7' (х) х +зЯ„(х) (р (-з)Я (х), (12) Ич' (х) х р + (з — х) К (х) = ф+! (х). (12*) Дифференцируя (12Р) по х и пользуясь (9), получаем для Яр(х) дифференциальное уравнение (!). Из тех же формул легко выводятся соотношения х Р +(р+з — х)Я !(х)=Яр(х), (13) Н!7', (х) И!;~р (х) х ' — рК(х)= — р(р+з)К- (х), (13*) которые также приводят к дифференциальному уравнению (1).
В дальнейшем нам понадобится вычислять интегралы вида 1= ~ хе Яр(х))(х)дх, о (14) Дифференцируя (7) по ! и выражая обе части в виде рядов, будем иметь зЯр (х) — хор (х) = Яр+! (х) — (р + 1) Яр (х) Ш. и ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА еоо 7= ~ — „р (е кхр+О)('(х)!4х=( — 1)р ~ е ххр+О)(р'(х)Г(х, (15) О О Полагая здесь получим 7'(х) = е(' 1)Р ~ е '"х'"Р!(х= О +, Г(а+р+1). (16) х'е 'х(е',(х)ЫХ=(а— О Более общий интеграл Ю ~ х' е (ер(х) Г(х О (17) получается, при г целом, дифференцированием выражения (16) по параметру а. Положим в (14) и (15) 7(х)=х', получим ~ х'+'е "()р (х) О(х = ( — 1)" г (» — 1)... (г — р + 1) Г (з+ г+ 1). (! 8) Если ("(х) — поливом степени ниже р, то интеграл (14) равен нулю.
Пользуясь этим замечанием, найдем интегралы (14) для случаев ~ (х) = ХО(;);; (х) =( — 1)О [ХО+Π— р (з+ р) хР+1+ + Р ( Р ( з + р ) ( з + р 1 ) х р + ~ ° ( (х) = ХЯ'р (х) = ( — 1)' [хя ы — Р (з + Р) х'+ ...1, (' (х) = (ер' (х) = ( — 1)' х + ..., 1(х) = — (( (х) =- ! Г(О+Р+!) Г ! Р 1 х' Р ' Г(О+1) 1 х' О+! ' х г Для этого удобно преобразовать интеграл (14), пользуясь выражением (2) и интегрируя р раз по частям. Мы будем иметь ч о! СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ВСПОМОГАТЕЛЬНОИ ЗАДАЧИ 20! ~ е "х'+' !Яр(х)) г(х= ргр(з+ р+ 1)(2р+ з+ 1), ~ е "х''гЯ,(х)1 г(х= р!Г(з+ р+!), о е "х' (ф(х)~ о(х=рРГ(з+ р+1) (22) о ~ е "х' 'ГЯ',(х)1 г(х=рРГ(з+ р+1) ~ ! + !, (23) Покажем, что полинам Я,(х) имеет ровно р положительных корней, так что все его корни вещественны и положительны.
Если бы число таких корней было меньше р, например равно д, то, обозначив их через аь аь ..., а„мы могли бы состзвн функцию (21) !'(х) =(х — а,)(х — а,)... (х — а ), произведение которой на Яу(х) оставалось бы, при изменении х от О до оо, все время одного знака, так что интеграл (14) был бы отличен от нуля.
Но этого не может быть, так как 1(х) есть полином степени ниже р, и по формуле (15) интеграл (14) должен равняться нулю. Следовательно, число положительных корней ие может быль меньше р. Так как оно не может быть и больше р, то оно должно быть равно р. 3 б. Собственные значения и собственные функции вспомогательной задачи Возвратимся теперь к рассуждениям з 3. Мы там поставили себе задачу найти собственные функции и собственные значения оператора в левой части уравнения Ех ( Е )+~4 +4 )Р Лу Собственные значения оказались равными Л=р+ (р=б, 1, 2, ...), (2) где невьшисанные члены представляют полиномы степени ниже р. Мы будем иметь ~ е "х'"'~Я',(х)~'дх=— =Р!Г(з+ Р+ 1) (бр'+ бр(з+ 1)+ (з+ 1)(з-!-2)), (12) 202 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА (ч.
ГГ Е; (х) )/р(Г (в + р + 1) при помощи которых функции ур(х) выражаются ур(х) =х'е 'Яр (х). (8) по формуле $6. Уровни энергии и радиальные функции точечного спектра для водорода Обратимся теперь к нашей физической задаче. Найдем прежде всего уровни энергии для водорода. Параметр энергии е в атомных единицах был связан с параметром Х нашей вспомогательной задачи соотношением =Л, ч' — 2в а собственные функции были выражены нами через обобщенные полиномы Лагерра р д у (х)=с х2е Та'(х). Постоянную ср мы определим из условия нормировки ~ (у (х)]з1/х=1. 0 Вычисляя по формуле (21) $4 входящий сюда интеграл, получим для постоянной ср выражение ср —— 1 (4р Таким образом, функции 1 ,/(Г(+ +П будут ортогональны и нормированы СО Ур(х) Ур (х) Г(х = бр ', (6) э причем система этих функций будет 'замкнутой.
Пользуясь формулой (22) Э 3, мы можем также написать у,(х) = (, + ,),(,/ , х'е ' г ( — р, з + 1; х). (7) 1 / Г(в+ Я+1) Иногда удобно бывает пользоваться нормированными поли- номами ээовни энвегии для водоводх 4 ег 2ОЗ з = 2! + 1, (3) а целое число р равнялось числу нулей радиальной функции, т.е., по определению 9 8 гл.1эг, радиальному квантовому числу а,.
Поэтому параметр Л будет целым числом Л=п,+1+1=п, (4) которое мы условились называть главным квантовым числом. Уровни энергии в атомных единицах будут равны е„ = — †, (и = 1, 2, ...). ! (5) Онн зависят, таким образом, только от главного квантового числа. Эта особенность Кулонова поля имеет глубокие основания; она связана с той группой преобразований, какую допускает уравнение Шредингера для атома водорода, написанное в пространстве импульсов.
Группа эта, характеризующая особого рода симметрию атома водорода, совпадает с группой вращения четырехмерного шара. К этому вопросу мы вернемся в конце части !'т' этой книги. В обычных единицах уровни энергии атома водорода равны ег 2пгИ Е= — в =— а л лг (6) где теэ 2лгтеэ (7) 4пвэ лэ есть так называемая постоянная Ридберга (КудЬегй). Численное значение ее равно гт = 3,29 ° 10ге сея (8) Согласно замечанию, сделанному нами в 2 2, чтобы принять во внимание конечную массу ядра, нужно заменить в наших формулах, и в частности в формуле (7), массу электрона приведенной массой тМ т+М ' По правилу частот Бора частоты спектральных линий выразятся формулой ее'— 2п и пг гг причем Л равнялось Л=р+ (р=О, 1, 2, ...).
(2) Параметр з был связан с азимутальным квантовым числом 1 соотношением 204 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !Ч, !Г Если мы положим и' = 1 и будем давать значения и = 2,3, ..., мы получим ряд линий, составляющих так назы- ваемую серию Лаймана (1.угнан). Аналогично, значения а' = 2, п = 3, 4, ... дают серию Бальмера (Ва(гпег) и значения и'= 3, п = 4, 5, ... серию Г!ашена (Разспеп). Выразим теперь радиальные функции через обобщенные по- линомы Лагерра. Аргумент х в этих полиномах связан с приве- денным расстоянием г~ соотношением 2Г~ х= —, вытекающим из формул (1) 2 3 (2) 2 3 и (4).
По формулам (9) $ 2, (9) 3 5, а также (2), (3) и (4) будем иметь Ге )т,(г,)=с [ — ') е "О* [ — ') (11) (12) Для вычисления интеграла введем по формуле (!О) переменную х. Мы получим с' ( — ")' ~ х""'е-" [!е" '+,', (хЯдх = 1. о Если мы припомним связь между числами п, 1 и р, з, то входяший сюда интеграл выразится как отношение (20) к (21) 9 4. Он будет равен х'+'е-"[Я*, (х)) Г(х=2р+з+1=2п, о отсюда с' = —, и ц4 (13) с = —, Р А2 так что нормированными радиальными функциями будут (14) Если ввести сюда выражение для !е* через обобщенный гипергеометрический ряд и принять во внимание, что 1 есть целое где с„ — нормировочный множитель, который нужно определять из условия 206 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 1ч. н 5 7.
Решение дифференциального уравне.:з,( д((з сплошного спектра в виде определенного интеграла параметр е будет положительным числом, и если мы введем переменную х, =г, ~/6е, (2) то она будет вещественной. Мы положим также 1 Л,— ~/2е Уравнение (1) примет вид (3) х,—,+ — + ! — +Л( — — у=О. (((у ((у г х, х( ((х( А(х( (, 4 4х ) (4) Это уравнение отличается от (3) 5 3 лишь знаком одного из членов. Оно получается из (3) $ 3 подстановкой х = (х,, Л = — ('Л(.
(5) Поэтому мы можем прямо применить сюда результаты 5 3 и утверждать, что решением уравнения (4), конечным при х = О, будет (Х1 Ю у = е ' хЯ(х()> (6) где Я удовлетворяет дифференциальному уравнению х,—,+(з+1 — (х() — +~Л( — — (з+1)~((=0 (7) и((.( ад г ((х( (гх( ~. 2 и выражается в виде ряда ((=ар( — +(Л„з+ 1; !х,). А+1 (8) Нам понадобится ассимптотическое выражение для функций у н (',1, справедливое при больших значениях хь Его легче всего получить, если мы выразим 1,) в виде определенного интеграла.
Это нетрудно сделать, если применить способ Лапласа к решению дифференциального уравнения (7). Способ этот заключается в следующем. Будем искать решение (7) в виде с! = ~ е'х х7 (г) Же, (9) Обратимся теперь к случаю сплошного спектра. В уравнении (10) $2 —,, + — — + ~2е + — — —.1у=О (4(у 1 ((у / 2 х( ч (1) '-;)- $7! УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СПЛОШНОГО СПЕКТРА 207 Чтобы освободиться от множителя х! перед первым интегралом, производим в нем интегрирование по частям. Мы полу- чим г (1 — г) ( (г) Г( ( — ГЕ1х»х)— (Е1х»хг(1 г) ) (г) )х+ 1 ~ е»х»* (г(1 г) ~(«)) Дг» ь .Г где пределы интегрирования обозначены через а и Ь.
Если мы потребуем, чтобы разность значений на пределах от проинтегрированных членов обратилась в нуль, е»х»хг (1 «) ~ (г) (~ — О (!0) то результат подстановки (9) в (7) примет вид 1' $ е1" ' ~ г(1 — г) — „— (1 — 2«)1(г) — 1Л1!'(«)~е(« =О. (11) Этому уравнению мы удовлетворим, если потребуем, чГобы в (!1) подынтегральная функция равнялась нулю, т. е.
1:одчиним 1(г) дифференциальному уравнению (2) 3 — 1 1 — 22 !Л1 !(2) 2 2(! — 2) 2(! — 2) + (19) Решая это уравнение, будем иметь 19'1'(г)= '2 '!й(г(1 — г))+1Л~!д 1, +(ас, (13) откуда — А »-1 1(г)=сг ' (! — г) ' Таким образом, решением'уравнения (7) будет »-1 5 — 1 Я вЂ” С ~ Е1х»хг 2 ' (1 — г) 2 (! 4) где )(«) — неизвестная пока функция, а интеграл берется по некоторому контуру в плоскости комплексной переменной г. Подставляя (9), в (7) и дифференцируя под знаком интеграла, будем иметь х1 ~ е12 ( — г' + г) 7 (г) 12« -)- + ~ е 1х»х (Л1 + — (з + 1) (9« — 1)~ ~ (г) 7( = О.
208 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА !ч, и 5+1 е15!5Е 2 ' (1 е) 2 ' ! О а (15) Мы ищем то решение уравнения (17), которое остается конечным при х = О. Такое решение получится, если мы возьмем в качестве пути интегрирования отрезок вещественной оси от е = 0 до г = 1: прн этом выборе контура будет, очевидно, выполняться и условие (15), если только 2+1) О, что всегда имеет место, так как мы предполагаем з ) О. Подставляя в (14) пределы, будем иметь ! 5 †! 5-1 — +ни — -5М Я с ~ Е15,5е 2 (1 а) 2 О (14*) Чтобы проверить, что этот интеграл действительно совпадает с рядом (8), разложим в (14*) показательную функцию в степенной ряд и проинтегрируем почленно, Пользуясь известным интегралом Эйлера (Еп1ег) (16) мы будем иметь 1 5-1 5 — 1 (ии)2 à — РА+1М вЂ” пи Я=с~ — ', ') е ' (1 — г) ' а5г= 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
