Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Уравнение (7) напишется — — Л'Ф'+ — его = ч2о (10) (11) а условие (5) примет вид еро ее У2е е' (12) при — о < г' < О и г'- оо. 8 15. Решение уравнений Так как по условиям задачи ось г играет особую введем параболические координаты и = г'+ г', о = г' — г'. роль, мы где фо не зависит от 1 и удовлетворяет уравнению А,ео + фо Ефо ае 2Фе~ (7) 2В г теоРия шРединГеРА !ч. Ее Мы можем здесь воспользоваться вычислениями ф 12 и заимствовать оттуда уравнение (16) 5 12 со следующими изменениями. Во-первых, Кулонова энергия имеет у нас обратный знак, так что член +1 нужно заменить на — 1; во-вторых, мы должны положить д = О и, в-третьих, принять во внимание, что.
«рО не завасит от угла «р. Имея это в виду, мы получим — 1,и з )+ з (о ~~~ )+( — + 2 и+о)4«Р =О. (2) Условие на бесконечности напишется в параболических координатах — и-в 1рО е 2 (3) при о - ОО и всех значениях и. Этому условию можно удовлетворить только, если „/е ,рО=е' У О")/, (4) где К не зависит от и и удовлетворяет предельному условию /О е У О при о-РОо, (5) Подставляя выражение (4) в (2), мы убедимся, что оно действительно будет решением, если только )«удовлетворяет урав- нению Так как е ) О, мы можем положить здесь !/2е о = оо после чего получим (7) (8) (х«)+(4 +Рч 4 )у=О 1(4) $7] В нашем случае ! !О =- — — =, т/2 (9) з=О, х,=оо Полагая для удобства ! ==Ь, Т«2О ! « 2 (10) Это уравнение совпадает с тем, которое мы подробно исследовали в вз 7 и 8, а именно, РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ 23! мы можем, на основании (6) и (8) $7, написать решение уравнения (8), конечное при о! = О, в виде 1ю~ 1Г=се ь й'( — сй, 1; ьо,)= ы! Постоянную с нам нужно определить из условия (5), т.
е. Е~ )г е е при о!-+оо, (12) Для этого мы должны воспользоваться асимптотическим выражением для ряда с', выведенным нами в $8 (формула (10) 9 8). Для наших значений параметров мы будем иметь л — ь . /Е се -! ! — -ыа е,1 .Г = г(!+;ь) — ь ! 7 — "-ы 6! где Рьь суть формальные ряды, составленные по закону (9) $8.
!Чы видим, что условие (12) будет приближенно выполняться, если мы положим с = с--" 'Г(1+;Ь). (14) Перейдем теперь к координатам г', г' и составим функцию фь. На основании (1), (4) и (7) получаем для ф' следующие выражения. Для малых о = г' — г' -л !Е' и для больших о=с' — г' ' ь !ь|е(=ь' ) г (- ь)' !ь Заметим, что входящий в эти формулы параметр Ь пропорционален длине волны, 232 ТЕОРИЯ ШРЕДИ22ГЕРА Р! и $ 16. Формула Резерфорда Формула (16) $ 16 дает полное решение нашей задачи.
На больших расстояниях от атома и не слишком близко от оси е (на расстоянии по крайней мере в несколько длин волн от нее) волновая функция состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое, приближенно равное $5 — е Ь вЂ” 2+!ма( — '' ) 5 представляет рассеянную сферическую волну, соответствующую отклоненному потоку частиц. Чтобы судить об относительной интенсивности отклоненного и неотклоненного потоков частиц, составим из (1) и (2) по формулам (10) и (11) 3 2 гл. П1 величину, пропорциональную вектору тока. Мы получим 8,=ига Г( —;+Ыд ', ' ), (3) (4) Мы видим, что вектор Я! направлен на больших расстояниях по оси е, а вектор 32 — вдоль радиус-вектора от рассеивающего центра.
Если мы обозначим через Ыо число частиц, проходящих в единицу времени сквозь поверхности до, а через Ф2(52 число частиц, проходящих в единицу времени в телесном угле с(ы (с вершиной в рассеивающем центре), то, на основании (3) и (4), мы будем иметь Ф=лг5-(,',)'Ь. Обозначим через 6 угол отклонения потока частиц, так что г =Г СОЗТТ. (6) Формула (6) напишется тогда: 2ь! ,1 о Р 4 5!П!— 2 (7) представляет прошедшую плоскую волну, соответствующую нсотклоненному потоку частиц.
Второе слагаемое, приближенно равное гг ' / г' — г' '! ф5 (2 Г() +!а) е ~~а) ь / (2) Г 11 — 2Ь) г' — 5' ТЕОРЕМА ВИРИАЛА 4 И1 233 нлн, если мы подставим вместо г, и Ь их значения, согласно (8), (10) $ 15 и (10) 3 16, то ( 2д ) мп' д(2 ' (8) Эта формула выведена Резерфордом на основании классической механики и была проверена им на опыте. Закон обратной пропорциональности четвертой степени синуса от половины угла отклонения вполне подтвердился. В классической механике для финитного движения материальных точек (т,е.
для такого движения, в котором их координаты и, разумеется, скорости остаются все время конечными) имеет место теорема вириала, согласно которой среднее значение кинетической энергии Т связано со средним значением «вириала», т. е. некоторого выражения, линейного относительно производных от потенциальной энергии У по прямоугольным координатам, с коэффициентами, пропорциональными этим координатам.
В случае одной материальной точки мы имеем для внриала выражение дУ дУ дУ 'у' = х — + у = + г —, дх ду дг где (7 — потенциальная энергия. Но из уравнений движения дУ ., дУ .. дУ лтх = — —, лт1) = — —, лтг = —— (2) дх ' ду ' дх вытекает, что у = — лт(хх + уу + гг). (8) С другой стороны, мы имеем — (хз + уз -1- гт) = 2 (хх -1- уу + гг), (4) —, (х'+ у'+ г') = 2(х'+ у'+ г') + 2 (хх + уу + гй) (5) пли — (х +у +г)= — Т вЂ” — У. ан т з з 4 2 дп м ш (6) Но легко видеть, что среднее по времени от левой части выражения (6) равно нулю (зто есть разность значений выражения (4) для двух далеко отстоящих моментов времени, деленная на промежуток времени между ними). Таким образом, 2Т„= х',Р. (7) й 17.
Теорема вириала в классической и квантовой механике теоРия шгедингеРА 234 !ч. и В этом и заключается теорема вириала классической механики для случая материальной точки. Она легко может быть обобщена на случай системы материальных точек. Если потенциальная энергия У есть однородная функция степени р от координат, то, согласно (1), мы будем иметь Р=р(1 (8) (9'г и, следовательно, 2 Т,р — — рУ,Р. (1О) б(=О, 1= Р)ф(Т+ и — Е) фбт, где (1 1) причем Т есть оператор кинетической энергии, У есть потенциальная энергия, а Š— параметр энергии. Мы ограничимся здесь случаем одной материальной точки. Тогда Ь' Тф = — — Ьф, 2т (12) где Л есть оператор Лапласа. Если функция ф нормирована так, что ~ ффдт=1, (13) то величина Т,=(фтфат (14г есть математическое ожидание кинетической энергии, а величина (15) — математическое ожидание потенциальной энергии. Теорема внриала может быть сформулирована следующим образом.
Переходим теперь к квантовой механике. Среднему по времени от некоторой классической величины можно сопоставить в квантовой механике математическое ожидание квантового аналога этой величины в состоянии с определенной энергией. Покажем, что при таком сопоставлении в квантовой механике действительно будет иметь место соотношение, аналогичное теореме вирнала классической механики. Уравнение Шредингера для материальной точки (а также для системы материальных точек) может быть получено из вариационного начала ТЕОРЕМА ВИРИАЛА я 1! 235 Если волновая функция ф принадлежит к точечному спектру ') и потенциальная энергия есть однородная функция степени р от координат, так что У(Лг)=ЛРУ( ), (16) .го имеет место равенство 2То= РУо (17) т, е.
удвоенное математическое ожидание кинетической энергии равно умноженному на р математическому ожиданию потенциальной энергии. Для доказательства заменим в ф(г) координаты г величинами, пм пропорциональными (г -~ Лг), и рассмотрим функцию р" (и, Л)=Л"ф(Лг), (18) которая при условии (13) также будет нормирована на единицу. Подставим ф* в интеграл действия (11) и обозначим через Т; и Уо математические ожидания кинетической и потенциальной энергии в состоянии, описываемом функцией ар*. Так как при замене х, у, г на Лх, Лу, Лг (т.е. при изменении масштаба) Оператор Т переходит в Л'Т, а условие нормировки для ф' будет то же как для тр, мы получим Т*,= ~)ф Тф" (с=Лат„ (19) а также У;=~ф"Уф' (с=~ф(г)У®ф( ) ( (20) н, в силу однородности функции У, Ус= Л Уо.
(21) Интеграл действия (11) будет равен Т =Л То+ Л Уо — Е. (22) Но решение вариационной задачи получается при Л= 1. Отсюда 2То = рУо, (24) что и требовалось доказать. ') Это соответствует требованию финнтности движения. Приравнивая нулю его вариацию по параметру Л, получим Ы =- (2ЛТо — рЛ Р Уо) бЛ = 0 (23) ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА 236 В общем случае произвольной потенциальной энергии мы будем иметь Уд!Г» 1 Г дУ д0 дУ 1 2Т,= — ~ — "! =м.
о.~х — +у — +х — ~=м. о. (Г. (25) дЛ ~А ~ ' '~ дх ду дх Наши рассуждения легко переносятся на случай системы частиц при условии однородности операторов Т и У, выражаемой формулами (!9) и (21). Соотношение, выражающее теорему вириала, удовлетворяется не только точным, но и приближенным решением задачи, если только решение получено по вариационному способу, допускающему вариацию масштаба. Под вариацией масштаба мы разумеем преобразование волновой функции вида (!8) (с соответствующим обобщением для многих частиц) и последующее определение параметра Л из вариационного начала. Таким свойством обладает, в частности, получаемый из вариационного начала способ «самосогласованного поля», рассмотренный в части 1Ч этой книги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
