Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Принимая во внимание соотношение (18) между и и 1, мы можем написать эти формулы в виде / в й-(-т,т /й — т — ! „т+! у! = — )(/ Ь ! Рв-ь уо= )/ В ! Рв-! ((2) О), (25) Из этих формул видно, что функции у с отрицательным значком (2 выражаются через функции с положительным значком следующим образом: у, ( — (2, т, б) = — ~//„~ ~ ! у! ((2+ 1, п2, 6), у2( !2, ив~ 6)= 1/ а у2(~+ 1р пв, ()) ° (26) т й+т /((+ту (21) Если мы введем шаровые функции по формуле (7) 5 6 гл. 1Ч ч. 11 5 2! НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ СО СПИНОМ 25! Выпишем наши шаровые функции для нескольких значений /г. А =+ 1 (1=0) П2 = — 1 52 =0 у,=О у1 = — 1 У2 у2 — — 0 А = — 1 (1=1) У1 2 — 51П О У, =со50 п2 = — 1 1П =0 у,=. Е у2 = 51П О )2 = + 2 !! = 1) /з У, =-2~/ — МПО 5/ 2 у,=О 1 У1= 51ПО 5/Т у2 — '~/2 со5 О 1 У2 == Мпд П/Т у1= — Ф22 со5 О /з У, = — 2~~ — 5!пО 'Ч 2 у,=О й 4.
Некоторые свойства шаровых функций со спином Уравнения !5) предыдущего параграфа, написанные в виде 5 до 5!по 1 В В можно толковать как уравнения для собственных функций самосопряженного оператора (-+ ~)' :Х' = — /И2 — — . О, ' до 5!по (2) 252 ТЕОРИЯ ПЛУли [ч [и соответствующих собственному значению й. Отсюда следует, что функции А и В будут обладать свойством ортогональностн ~ (А(/г, б)А(/г', Ь)+В(й, б)В(й', б))г/6=0 (й чь/г') (3) о +У2(/г, т, 6)уг(й', т, б))япбг/О=бог (4) нлн короче — ~у(К т, д)у(й', т, б) з(пбг/6=бого О где под символом у мы разумеем совокупность двух функций У! И Уг.
Произвольную пару функций и[(д) и ио(б), которую мы также можем обозначить одним символом и(б), можно разложить (при выполнении некоторых общих условий) по функциям у(й, т, б) в ряд вида и(д)= Д с(/г)у(й, т, б), (6) Под выражением (6) следует понимать два равенства и (д)= ~ с(/г) у,(й, т, б) (р=1, 2), (6') причем коэффициенты с(/г) в обоих равенствах одни и те же. Эти коэффициенты вычисляются по формуле с(/г) = —, ~ у(й, т, 6) и(б) з[пдг/б 1 Г О (7) или подробнее с(/г)= 2 ~ 1У[(п, пг, 6)и[(о)+Уг(/г, пг, б) ио(б)) япбг/б. (7 ) О Имея в виду дальнейшие приложения, положим здесь и(б)=созб ° у (/го, пг, 6).
и будут представлять замкнутую систему функций. Переходя по формуле (13) 5 3 от А и В к у[ и ум мы можем заключить, что этн функции также будут представлять замкнутую ортогональную систему. Принимая во внимание нормировку их (20) $ 3, мы можем написать О 2 О(У[( ' ' )У[( ' ' )+ О % г! ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ 25З Для вычисления интегралов вида (7*) можно выразить у(Ф, т, 6) по формулам (25) и (25') 9 3 через обыкновенные шаровые функции и воспользоваться рекуррентной формулой (1!) 2 6 гл.
1Ъ' ч. И. Вычисление показывает, что только три коэффициента с(/г) отличны от нуля, так что разложение (6) будет содержать только три члена; если мы будем писать й вместо /гг, то это разложение напишется в виде соз 6 ° у (й, и, 6) = — =„„, у ( — й, т, 6) + 2и+ 1 В/(/г+ и) (/г — и — 1) ( ) )2А — 1! + (/г + 1 т 6) (9) + у, т, Справедливость этой формулы можно проверить, выразив у(/г, т, 6) через обыкновенные шаровые функции. Если положить и(6)=з!Пбу(/гг пг — 1, 6), то получится, после аналогичных вычислений, В!п6 у(/г, и — 1, 6)=2,, у( — /г, и, 6)— Л/(/г — и — 1) (/г — и) 2/г — 1 у(/г — 1, и, 6)+ +'"+"+""+' (й+1,и,6). (!0) 2/г+ 1 Эта формула проверяется при помощи соотношений (12) 9 6 гл. 1!/ ч. И, обобщением которых она является.
Заметим, что соотношения (9) и (10) справедливы не только для функций уг и ум но и для функций А и В, так как одни яв. ляются линейными комбинациями других с коэффициентами, не зависящими от /г и т. Изложенный здесь способ вывода рекуррентных соотношений, основанный на теореме замкнутости, является весьма обшич и применим, в частности, к обыкновенным шаровым функциям и к обобщенным полиномам Лагерра, рассмотренным нами Во второй части этой книги. в 5. Волновое уравнение Паули В классической нерелятивистской механике функция Лагранжа для частицы с зарядом ( — е) и массой т, находящейся в электромагнитном поле с векторным потенциалом А„, А„, А, ТЕОРИЯ ПАУЛИ ГЧ 1ГГ 254 и скалярным потенциалом Ф, имеет вид У = — т (х'+ут+ г') — — (хА„+ УАР+ гА,)+ еФ.
(1) Обобщенные «моменты», сопряженные с координатами х, у, г: д2' дЫ д2' Р= — Р= Р= дх' " ду' » дг (2) не совпадают с составляющими количества движения Р„=тх, Р„=ту, Р,=тг, а связаны с ними соотношениями Р„=Є— — А„, р»=Є— — А„, Р,=Р,— — А,. (4) Энергия частицы равна Е = хр» + ур«+ гр — 2' = — т (хз+ уз+ гз) — еФ. (5) 1 О= 2 ~(Р„+ —, А„) +(р„+ — А„) +(Р*+ — А,) ~ — еФ. (6) При отсутствии магнитного поля можно положить векторный потенциал равным нулю и предыдущее выражение приводится к виду Н = — (р~ + р~~ + РД вЂ” еФ (7) или (Р» + Ру + Р«) + Г' (х~ уг г)г (8) где (9) есть потенциальная энергия частицы.
Как мы знаем, в теории Шредингера оператор энергии получается из классической Гамильтоновой функции заменой обобщенных моментов р„, р„, р„операторами д . д . д р = — И вЂ”., р = — И вЂ”, р= — Гй —. (10) дх ' У ду ' » дг ' Введение новой степени свободы, связанной со спином, позволяет построить оператор Р =о„р + а„р„+ о,р, (1!) и использовать его при построении оператора энергии. Выразив энергию через обобщенные моменты, мы получим клас- сическую функцию Гамильтона ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ 255 Можно показать, что оператор Р антикоммутирует с рассмотренным в $ 1 оператором "~ Пхтх+ руту+охту+ к (12) (формула (16) $1], так что мы имеем МР+ Р,.1( = О. (13) туру Руту Руту тгру байру> ткрх Рктк Рхтк тхрк к~кру~ т,ру — рут, = руту — туру = 1йр,. (14) Вычислений мы здесь приводить не будем, заметим только, что вычисления значительно упрощаются, если проводить их не в декартовых, а в сферических координатах.
Это будет сделано в следующем параграфе. Если считать, как это делается в теории Шредингера, что электрон обладает лишь теми степенями свободы, которые соответствуют движению материальной точки в пространстве координат х, Р, е, то, вводя операторы в формулу (8), мы однозначно приходим к уже изученному нами Шредннгеровскому выра>кению для оператора энергии. Введение же новой степени свободы электрона, связанной со спином, дает новые возможности для перехода от величин классической механики к квантовым операторам. Используя свойства матриц о„оу, о. н коммутатнвность операторов р„р„, р„мы можем написать оператор энергии (8) в виде = †(охрк + охру + охру)' + й'(х, У, е), (15) 1 так что введение оператора Р, определяемого формулой (11), здесь ничего не вносит.
Иначе обстоит дело при наличии магнитного поля, когда классическая функция Гамильтона имеет вид (6) и обобщенные моменты, канонически сопряженные с координатами, не совпадают с составляющими количества движения, а связаны с ними соотношениями (4), которые мы перепишем в виде Р«=рх+ с А„Р„=ру+ — Ау, Р,=р,+ — А. (16) Если мы будем рассматривать эти величины как операторы, то онн уже не будут коммутативны, а будут удовлетворять При доказательстве используются свойства (6) $ ! матриц ах, оу, о„а также соотношения [ч и! ТЕОРИЯ ПАУЛИ 2ЗБ (20) й 6. Преобразование оператора Р к цилиндрическим и сферическим координатам и выражение его через оператор ег Существенным шагом в переходе от уравнения Шредингера к уравнению Паули является введение оператора Р = П„Р„+ п„Р„+ О,Р„ (1) зависящего от спина. Исследуем связь этого оператора с опе- перестановочным соотношениям г Е С дАс дАСХ Е 1 о е ГдАе длсд е — (РР— Р Р ) = — ( — — — ) = —,со . й " е " е с (, дс ду .) с где еэ"„две, Ж,— составляющие магнитного поля.
Поэтому при наличии магнитного полЯ пеРеход от опеРатоРов Р„, Ре, Р, к операторам Р„ Р„, Р, дает различный результат в зависимости от того, произведен ли он в уравнении (8) нли в уравнении (15). Если перейти от р„, Р„, р, к Р„, Р„, Р, в уравнении (8), мы вернемся к выражению (6), которое обозначим теперь через Но, так что Н =Я(Р„+ — ', Лч'+~р„+ — ',Л„)'+~р,+-'Л.Д вЂ” еб. (18) Если же сделать этот переход в уравнении (15) и использовать соотношения (6) в 1 для матриц ое, о„, о, и перестановочные соотношения (17) этого параграфа для операгоров количества движения, то мы получим оператор Н' Но 1 но(о„лн +и тд 1 пдл) (19) где мы положили для краткости о ле и 2мс ' Постоянную 1со можно рассматривать как величину магнитного момента электрона.
Оператор энергии (!9) представляет обобщение соответствующего оператора теории Шредингера на случай наличия магнитного поля (без поправки на теорию относительности). Мы будем называть его оператором Паули, а волновое уравнение Н"ф=И вЂ”" (2! ) — волновым уравнением Паули. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПЕРАТОРА Р 257 5 б! ратором спиново.орбитального скаляра момента количества движения .А1'.
В 5 5 мы уже установили антикоммутативность этих двух операторов [формула (13) З 5). Для более подробного исследования удобнее всего преобразовать оба оператора к сферическим координатам. Для оператора 51 такое преобразование уже сделано в з 2. Чтобы удобнее провести его для оператора Р, мы разобьем его на два этапа: сперва преобразуем Р к цилиндрическим координатам, а затем — к сферическим. Поскольку вектор-потенциал А„, Ар, А, есть ковариантный вектор, величины Р" + б» р=рр+ б р *=Р +, А» преобразуются по тем же формулам, как р„рр, р„поэтому при выполнении преобразования достаточно рассматривать случай, когда вектор-потенциал отсутствует, и ввести его уже в окончательных формулах, Введем цилиндрические координаты р, ф по формулам х=рсозф, у=рз!пф, г=г.
(3) Частные производные от функции »р по старым и по новым ко- ординатам связаны соотношениями дф дф Мпф дф — =созф —— 1 д» др р дф дф . дф боб ф дф — =з)пф — + ду др р дф ' (4) Откуда р„= соз ф рр — — р,, 51П ф р„=з)пфр,+ — р, 1 (4") тогда как р, остается без изменения. Величину Р мы напишем в виде Р = а Р» + обрр+ и Р., (5) Это выражение может значительно упроститься после надлежащим образом выбранного канонического преобразования бр' = Зф, Р' = БРЬ+. (7) разумея под пн аб, об матрицы (12) $1. Подстановка выражений (4') в (5) дает Р=(о,созф+ обзйпф) рр+ — ( — и, Б1пф+ пбсозф) Рф+ ОБР,.
(6) р ТЕОРИЯ ПАУЛИ [ч. П! 5 = соя — — 1оз я!и —, (8) + Ф Ф 2 з 2 при помощи которых коэффициенты при рр, рч н р, в выраже. нии (6) могут быть представлены н виде о, сояф+ озя!П[р= 8 о8 + — о[ яд п [р + оз соя р = Я оз5, ОЗ вЂ” — ~ ОЗ~ (9) (последние формулы эквивалентны формулам (14) 5 2). Применяя преобразование к Оператору (6) н полагая РР = ~РР~' Ре = ~рч~ ° (и) мы можем написать Р'=о,рР+ —.
Р,'+ озр.. Р (1 1) Так как матрица 8 пе содергкит координат р и г, она коммутирует с р„н р„так что этн операторы остаются без изменения, Оператор же р' уже был вычислен нами в 5 2 (формула (16) $ 2). Используя этот результат, мы будем иметь РР=РР Рт=рч 2 оз Р =Р* (12) и, следовательно, преобразованный' к цилиндрическим координатам оператор Р будет иметь внд = парр + „ оА Рч 2 оз) + озр* (13) или, после замены о.о, на !о„ [ах [ Р' = о [чр — — ) + — озр + о р, 2р! р (14) Чтобы принять во внимание вектор-потенциал, достаточно заменить в (14) рр, р, р, на е Р=р+ — Ар, Рт= Рч+ —, А, !', = Р, + —, А„(16) где Ар, А, А, суть обобщенные составляющие вектор-потенциала, вычисляемые по формуле А„[(х+АР[(у+Аз[(г=АР[[р+Ачз([р+Аз[(г. (16) Такое прсооразование уже изучении операторов момента там матрицы о = соя — + 1о я!и —, Ф ° % 2 3 2 ' было нами выполнено в $2 при количества движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
