Фок В.А. Начала квантовой механики (1185102), страница 34
Текст из файла (страница 34)
П и ф 8 гл. 1П. При изучении явления Штарка для водорода удобно, вместо непосредственного применения теории возмущений к уравнению Шредингера в сферических координатах, перейти сперва к параболическим координатам. Эгот прием имеет то преимущество,.что в параболических координатах уравнение для возмущенной задачи допускает разделение переменных, причем задача приводится к уравнениям, невозмущенные собственные значения которых являются простыми. Мы ограничимся здесь вычислением поправки первого порядка к уровням энергии. й 12.
Уравнение Шредингера в параболических координатах Мы напишем уравнение для собственных функций оператора энергии сразу в атомных единицах. Оно будет иметь вид — —,Лф — — Ч1 — й~гф =Еф. 1 1 2 Г (1) УРАВНЕНИЕ В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ э и! 223 Возмущающая энергия равна здесь — аг, где у есть электриче. ское поле в атомных единицах. Если обозначить поле в обычных единицах через О, то 21= — 2и =д 5,14 ° !02 в/см. (2) Поэтому даже для сильных полей порядка 102 или 10' в/см параметр а будет малым. Введем параболические координаты и=г+г„о=г — г. Поверхности и = сопэ1 и о = сопз1 представляют ортогональную систему параболоидов, как это видно из уравнений х2+ у2+ 2иг = и2, х2+у2 — 2о =о' / (4) и, наконец, выразить $, т! через и и о.
Отделяя в (5) вещественную и мнимую части, получим г = — (52 — 212) 2 (6) (7) у=121 а беря модуль, будем иметь г = —,(е'+ Ч') (8) Отсюда т)Е=à — г=о. (9) е2 = г + г = и, Беря квадрат модуля дифференциала (5) и выражая затем $, и через и, о, получим ,222+ 2(р2 Я2+ 212) ((52+ (т 2) (и + о) ( (и2 + с(о2) так что квадрат элемента длины дуги !22 .~22 1 (р2+ р2Дф2 будет равен аз2 = — "' " 2(и2-1- "+ ' 2(о2+ ио2(ф2.
4и 4Р (10) (11) Переход к параболическим координатам и, о удобно сделать в три приема, а именно, ввести сперва цилиндрические координаты г, р, ф, затем положить 2 (~ (5) теоРия шРединГеРА 1ч г! 224 Элемент объема равен корню квадратному из произведения трех членов выражения (1!) Г(т= 4 (и+ о)Г1и Г1ог(ф. 1 (12) (14) Применяя эту теорему к нашему случаю, мы получим Подставим это выражение в (!) и выразим Г и е при пои+о мощи (3) через и и о. После умножения на — =Г и пере- 2 носа всех членов в правую часть мы будем иметь + [1 + — Е (и + о) + ~ (и' — Г2)) г(г = О. (16) Нетрудно видеть, что это уравнение решается разделением переменных.
В самом деле, если мы положим г!2=У(и) Р'(о) е""'Р, (17) то уравнение (!6) будет выполняться, если У(и), )г(о) будут удовлетворять уравнениям г игг1и 1и)+1,и+2 Еи 4 + 4 и)У=О, (18) и (о и )+1,Ь+ 2Ео — — 4 о)$ =О, (19) где (20) а+Ь= 1. В этих формулах Рл есть не что иное, как «магнитное» квантовое число. Параметры а и Ь, связанные соотношением (20), подлежат определению из условия, чтобы уравнения (!8) и (!9) имели решения, конечные при всех значениях и и о от 0 до оо. Чтобы найти оператор Лапласа, проще всего воспользоваться известной теоремой, согласно которой оператор Лапласа в криволинейных ортогональных координатах 4гь о2, дг имеет вид Лф= где Ьь Ьм Ьг суть корни квадратные из коэффициентов в выражении для квадрата элемента дуги (зг А2 пгниг ! Ьг ( 2+ Ь2(<~2 з м! РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 225 % 13.
Расщепление уровней энергии в электрическом поле Наша цель в найти поправки к уровням энергии водорода для небольших значений главного квантового числа и в предположении, что параметр д весьма мал, Введем новые переменные и, = итl — 2Е, о, = о .у' — 2Е. Так как параметр Е у нас отрицателен (приближенное значе! ние его равно Е= — — ), то величины иг и ог будут веществен2лг ) ' ными и пределы их изменения будут 0 и ОО.
В новых переменных уравнения (!8) и (19) 4 12 примут вид „г и'Р г где (4) а параметры а, и б, равны ь тг — Ге ' а а, =- (5) так что 1 а,+5,= л/ — 2н (6) Из уравнения (4) следует, что постоянная дг будет малой только в том случае, если значения главного квантового числа л невелики, как это мы н предположили в самом начале. Если считать д! известным, то уравнения (2) и (3) представляют уравнения для собственных функций самосопряженных операторов, собственные значения которых равны а, и Ьь Определив эти собственные значения, мы найдем затем по формуле (6) собственные значения энергии Е.
В уравнениях (2) и (3) мы будем рассматривать члены, содеРжащие паРаметР Зг как возмУщение. УРавнениЯ невозмУщенной задачи будут вида ( й )+( +4 )Р Это уравнение было подробно исследовано нами в Я 3, 4 и 5. Мы знаем, что собственные значения его суть Л=р+ (р=о, 1, 2, ...), (8) [Ч. 11 ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА а собственные функции равны 1т1 ур(х) = х е е о (Е*1 '('х). (9) Поэтому собственными значениями и функциями уравнений (2) и (3) в нулевом приближении будут о и+ ~~~~1 (п 0 1 2 (1О) цо у [и) $/о у [о) Из (10) и (11) мы получаем, в том же приближении, — = ао + Ь', = п, + и, + ! т ~ + 1 = п, (13) 1 т7: ен где целое число и принимает значения п = 1, 2, 3, ... и представляет не что иное, как главное квантовое число.
Все собственные значения оператора (7) простые. Поэтому, чтобы получить поправку первого порядка к (10) и (11), достаточно найти диагональный элемент матрицы для возмущающей функции, каковой является для (2) величина — ~' и' и для 4 ! (3) величина 4 ои Интеграл вида ~ хе (ур (х))'ах о уже был нами вычислен; по формулам (19) и (21) $4 мы имеем Ю ~х'~ е [Я (х)) Ых=бр +бр(г+1)+(э+1)(з+2), (14) о Поэтому собственные значения в первом приближении будут а1 = п1 + — — — '[бпо + бп, (! т ~+ 1) + ( ! т!+1) (~ т ~+ 2)], (15) Ь! — — по+ — + ~' [бп'+ бп (! т !+1)+И т!+1)(! т!+2)).
(16) Сумма этих выражений равна 3 а, +Ь, =и+ — у,п(по — п,), (17) э 1з1 РАсщепление уРОВней В электРическом пОле 227 (19) Решая это уравнение относительно Е, получим в том же приближении 2л4 +2В з (20) Таким образом, уровни энергии фактически зависят лишь от двух квантовых чисел: от главного квантового числа и и от разности и, — пь При данном и эта разность может принимать все значения от — (и — !) до и — 1.
Придавая ей все допустимые значения, получим искомое расщепление терма во внешнем электрическом поле. Формула (20) находится в хорошем согласии с опытом. Мы видели, что состояние электрона в невозмущенном атоме водорода может быть описано либо при помощи квантовых чисел и, 1, 4и (сферические координаты), либо при помощи квантовых чисел иь им п4 (параболические координаты). Так как собственные функции ф„~„, не совпадают с собственными функциями 42„'„(одни являются линейными комбинациями других с теми же значениями и и т), то состояния (п(4п) и (п1пзги) будут разными. Может возникнуть вопрос: в каком же состоянии находится в самом деле электрон в невозмущенном атоме водорода? На этот вопрос можно дать следующий ответ.
О состоянии атома мы можем судить, измеряя его энергию Е. Так как невозмущенная энергия зависит только от п, то в невозмущенпом атоме с определенной энергией только это квантовое число имеет определенное значение, тогда как, например, иь пз и ги в отдельности остаются не только неизвестными, но и физически неопределенными. Все, что мы можем сказать о волновой функции такого атома — это, что оиа является линейной комбинацией собственных функций с данными и и разными значениями других квантовых чисел (причем эта комбинация может быть выражена как через 4р„4, так и через ф„'Й ).
Чтобы сделать, например, разность п4 — из определенной, нужно оказать на атом определенное физическое воздействие, а именно, поместить его в электрическое поле. Когда это сделано и разность и, — и, измерена, то состояние электрона фиксировано уже с большей оп- где и имеет значение (13). На основании (4) и (6) мы имеем, следовательно, приближенное равенство з — ~= и + ьп(пг п4) ' ( 7 — — )з ° (18) Здесь мы можем в поправочном члене заменить 4~ — 2Е его приближенным значением 1/и. Мы получим з =и+ — дп4(п, — и,). ч( — 2Е 2 ТЕОРИЯ ШРЕЛИИГЕРА Ре и ределенностью, и мы можем утверждать, что его волновая функция выражается через собственные функции не только с определенным п, но и с определенным значением разности п1 — пь Таким образом, различие в получаемых состояниях имеет своей причиной не математический произвол (тот или иной выбор координат илн собственных функций), а то или иное физическое воздействие на атом.
$ 14. Рассеяние а-частиц. Постановка задачи Положим, что в начале координат находится тяжелое ядро атома и со стороны отрицательных г (будем говорить, слева) падает на него плоская волна, представляющая а-частицу с определенным количеством движения р, = р ) О и энергией Е. Волна претерпевает дифракцию; справа (при г ) О) на пло скую волну налагается расходящаяся волна, идущая от рассеивающего центра. Это значит, что а-частица «отчасти» проходит мимо рассеивающего центра, «отчасти» отклоняется им (это нужно понимать в смысле принципа наложения состояний). Для большей наглядности мы можем вообразить себе много рассеивающих центров и целый поток а-частиц; слева весь поток будет идти в направлении положительной оси г (направо), а справа он разобьется на два потока: прошедший и рассеянный.
Наша цель — описать это явление посредством волновой функции ф и найти отношение плотности отклоненного потока к плотности падающего в зависимости от угла отклонения. Обозначим через 2е и лт„заряд и массу я-частицы, через Ме и М заряд и массу тяжелого ядра и положим (1) При столкновении к-частицы с атомом тяжелого элемента главную роль играет Кулоново отталкивание между к-частицей и ядром, тогда как роль электронной оболочки атома незначительна. Поэтому мы можем потенциальную энергию положить равной 2 1'е' и(г) =— Г Уравнение Шредингера нашей задачи будет иметь вид «2 2У«а д4, — — Лф+ ф — й — = О.
2п г а~ Р' Е=— 2и (4) Мы будем рассматривать состояние а-частицы с определенной энергией РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ а 151 229 где р — количество движения частицы на бесконечности, и предположим, что момент кочичества движения частицы вокруг оси г равен нулю, так что волновая функция не зависит от угла ~р По условию при отрицательных г и больших г волновая функция должна представлять плоскую волну ф=е" (5) при — оо < г < О и г-ь оо. Кроме того, чтобы сделать решение однозначным, мы должны формулировать как особое условие отсутствие сферических волн, приходящих из бесконечности. Так как энергия частицы имеет определенное значение, мы можем положить ф фое А (6) Для упрощения коэффициентов уравнения введем в единицы длины величину о 2уе2 качестве (8) так что новыми координатами будут Г ге е г ее Х г = —, ее н положим 2Мее Е=е —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
